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数学中的哲学思想

Author: 小小梦, Created: 2017-04-06 10:49:05, Updated:

数学中的哲学思想

  • 理想主义

    认为数学在被定义之前客观存在,并且一直存在于一个理想的纯数学的世界中。一些基本的概念,如抽象的点,线,圆、数,在这个理想世界中都是客观存在的主体。

    记得初中第一次上几何课,说老师讲点、线段的定义,说点是无限小的,线段的宽度是无限窄的,总之这些几何概念都是现实中都不存在的。而在柏拉图主义的范畴,这些抽象的理想的概念都是在某个完美世界中客观存在的。而现实世界只是这个理想世界的不完美的投影。甚至,人,猫,狗,星星,沙子。。。现实世界上的一切东西,在理想世界中都对应着其完美的化身。

  • 逻辑主义

数学是逻辑的自然衍生,并且和逻辑等价(数学和逻辑一样,有一定客观存在性)。

逻辑主义的代表人物是罗素,他想要由逻辑一步步出发,先推理出数,再推理出各种运算,直至重建整座数学大厦。罗素先提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理,由此推出逻辑规则以及数学定性。然而,罗素很快就发现了现有逻辑体系的重大缺陷——罗素悖论。这便是著名的第三次数学危机。

  • 形式主义

形式主义的奠基人是希尔伯特。他提出可以把命题和证明用符号逻辑方法加以形式化,而把这些形式化的公式及证明直接当做研究对象。从而用完全的公理化体系来构建整个数学,这一认识是变革性的。

用通俗的话来说,希尔伯特做了个这样子的事情。大家对数学的第一印象往往是形形色色的公式和符号。的确如此,我们用阿拉伯数字(符号)1,2,3,4,5……来表示自然数,用+,-,×,/来表示加减乘除四则运算,用x y z来表示未知数,blablabla……但是,正所谓:“道可道,非常道;名可名,非常名。无名,万物之始;有名,万物之祖。”

符号所代表的内容和符号本身无关,我们就算用1234来代表加减乘除,用范冰冰的的某一张照片来代表开根号,所构建的算术体系也不会和我们现在所用的有什么本质区别。这一点很早之前的数学家就已经认识到了。希尔伯特发现,我们已经用符号来表示数(如阿拉伯数字),变量(abcxyz),运算(±×/),集合(A N),逻辑()……那么,为什么不把证明的过程也这样符号化,形式化呢?于是,整个数学的严格形式化工作便轰轰烈烈的开始了。

  • 直觉主义

数学在人类发现之前不存在,任何数学对象都只是人类思维构造的产物。同理,数学对于没有智慧的生物如蚂蚁和猩猩没有任何意义。

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