El año 1987 fue el centenario del nacimiento del legendario matemático indio Ramanujan (Srinivasa Ramanujan, 1887-1920). En su honor, se organizaron una serie de actividades. El famoso estadístico contemporáneo, C. Radhakrishna Rao, nacido en la India, también fue invitado a dar tres conferencias.
Cuando era estudiante, me especializaba en matemáticas, una lógica para deducir resultados de premisas dadas. Más tarde, estudié estadística, un método racional para aprender de la experiencia y la lógica para verificar premisas de resultados dadas. Me he dado cuenta de la importancia de las matemáticas y las estadísticas en todos los esfuerzos de la humanidad para mejorar el conocimiento natural y administrar eficazmente las cosas cotidianas.
Yo creo que:
En el análisis final, todo conocimiento es historia.
En el sentido abstracto, todas las ciencias son matemáticas.
En el mundo de la razón, todos los juicios son estadísticos.
Este pasaje resume la importancia de las matemáticas y las estadísticas, y sus respectivas implicaciones.
Durante mucho tiempo, la matemática del instituto secundario ha abarcado temas de probabilidad, en los que las probabilidades clásicas (es decir, la explicación de la probabilidad con la misma probabilidad) también representan una proporción considerable. Por lo tanto, las probabilidades a menudo están asociadas con combinaciones de ordenes, mientras que las combinaciones de ordenes son más complicadas. Aunque a veces los estudiantes se sienten aturdidos por los problemas complejos, pero eso es solo un aspecto de habilidad, en términos cognitivos, generalmente no es demasiado confuso. En los últimos años, debido a la importancia de la estadística, en la matemática del instituto secundario se han agregado gradualmente temas de estadística.
La historia de la estadística, el intervalo de confianza, fue otra de las principales teorías de Neyman, nacido en Polonia y que emigró a Estados Unidos en 1938 (Jerzy Neyman (1894-1981), mi abuelo, mi profesor de instrucción), que fue presentada por primera vez en una conferencia en 1934. Al final de su discurso, el presidente de la conferencia, Arthur Lyon Bowley (1869-1957) dijo: "No estoy seguro de que esta confianza sea un truco de confianza".
Años y años, más de setenta años después, los estadísticos de hoy, por supuesto, han comprendido completamente el significado de los intervalos de confianza. Pero en las universidades, ya sea en probabilidad y estadística, estadística y estadística matemática, los intervalos de confianza generalmente pertenecen a la segunda mitad de los libros de texto. Es decir, los estudiantes universitarios en los cursos relacionados, cuando comienzan a tener contacto con los intervalos de confianza, en general, ya tienen una base estadística de probabilidad bastante suficiente.
¿Por qué este tema, que es un poco profundo, puede entrar en los libros de matemáticas de secundaria? La razón principal es su importancia.
En algunos libros de texto de estadística, el intervalo de confianza ocupa una parte de un capítulo. Para diferentes parámetros, diferentes distribuciones, se pueden tener diferentes intervalos de confianza; incluso con el mismo parámetro y la misma distribución, también se pueden obtener intervalos de confianza diferentes de diferentes maneras. A veces, por insuficiencia de condiciones o complejidad de cálculo, solo hay que retroceder y obtener un intervalo de confianza aproximado.
En su interpretación de la distribución normal, el intervalo de confianza y el nivel de confianza, Liu dice:
La deducción estadística a nivel de secundaria solo hace estimaciones de los valores esperados de las variables aleatorias, y su teoría detrás es la lógica del límite central. Para introducir la lógica del límite central, se necesita la introducción de una distribución normal. Esta parte es solo una introducción generalista para crear una visión intuitiva de la lógica del límite central para los estudiantes de manera activa.
Este pasaje no sólo tiene varios problemas de interpretación, sino que no puede ser dicho con claridad. Si la primera frase es la teoría detrás de la teoría de la lógica central extremadamente limitada, no se sabe de dónde nace. Esta no es una opinión de la estadística.
¿Por qué el concepto de intervalo de confianza, a menudo se convierte en un escenario similar al de los escritores de libros? Buscando a fondo, muchos estudiantes no entienden correctamente el significado de la probabilidad.
¿Por qué hay seis caras en un paquete, y por debajo de un paquete, se obtiene una probabilidad de número par? El paquete parece no ser diferente, suponiendo que todas las caras tengan la misma probabilidad, es decir, 1/6, mientras que las caras par tienen 2, 4, 6 y 3 etc. Por lo tanto, la probabilidad solicitada es de 3/6. Esta es la llamada probabilidad clásica, y la hipótesis básica es que la probabilidad es la misma.
A finales de julio y comienzos de agosto de 2009, el campeón mundial de golf Tiger Woods participó en el Buick Open de Michigan, Estados Unidos. Terminó la primera ronda, quedando 8 puntos por detrás del líder, en el puesto 95.
这时大家看法丕变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36(约0.972)。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。
Un hombre mira a una chica, asombrado, y piensa que es la novia de su vida. Después de la evaluación, está lleno de confianza, tiene un 80% de probabilidades de perseguirse. Pero los demás no están bien, le preguntan cómo se atrevió a este número de 8%.
La probabilidad subjetiva, por supuesto, también se puede basar en el conocimiento de la probabilidad 35 a algunos hechos objetivos. Pero incluso frente a la misma información, diferentes personas pueden tener diferentes juicios, por lo que se da una probabilidad subjetiva diferente.
Por ejemplo, si buscas a una chica, hay unas pocas chicas que te hacen experimentar, perseguirlas repetidamente, y luego contar algunas de ellas con éxito varias veces, para determinar la probabilidad de que la atrapes. Para este tipo de fenómenos que no se pueden repetir, la probabilidad subjetiva se usa cuando se habla de probabilidad.
A pesar de que se dice que es un tema subjetivo, pero todavía debe ser razonable. Por ejemplo, los exámenes tienen aptitudes y no aptitudes. Si se cree que la probabilidad de calificar es de 0.9, no hay problema, siempre hay que tener un poco de confianza, pero si al mismo tiempo se teme que haya una probabilidad de 0.8 de no ser adecuado, no se puede.
Las tres explicaciones anteriores son las más comunes sobre la probabilidad de que ocurran eventos, que son, por lo general, varias ideas sobre la magnitud de la probabilidad de que ocurran. Aunque se aplican a diferentes situaciones, a menudo se pueden usar de manera interactiva. Todos hemos escuchado el ejemplo de un asesino con el mismo nombre que su abuelo, un hombre de buena voluntad que le dijo a su madre que había matado a su abuelo.
Por supuesto, usted puede no creer en la mentira, cualquiera que sea el resultado de la tirada, todos piensan que es sólo una situación transitoria, la voluntad está firme en que es un plato de cobre justo. Esto no es imposible, como si hubiera una madre, incluso si más testimonios de personas, ella no cree que su hijo va a matar, siempre y cuando ella no lo vea con sus propios ojos. Es importante saber que los fenómenos aleatorios, los eventos siempre que la probabilidad sea positiva, sin importar cuán pequeño sea el valor de probabilidad, todo puede suceder.
Aunque las tres explicaciones anteriores a las probabilidades abarcan muchas situaciones de la vida real, los matemáticos, por supuesto, no se detienen aquí. Les gusta la abstracción y la generalización. Al igual que las ecuaciones, buscan fórmulas para expresar soluciones a ciertos tipos de ecuaciones, en lugar de limitarse a buscar soluciones en casos particulares. Además, cuando se conoce completamente el sistema de números reales, se define el sistema de números reales de manera axiomática.
¿Qué se llama una forma racionalizada para introducir probabilidades? Primero hay un conjunto, llamado espacio de muestra, que es el conjunto de todos los resultados posibles de una observación. Puede haber esta observación o solo virtual. Algunos subconjuntos del espacio de muestra, que nos interesan, son un evento individual. Todos los eventos también constituyen un conjunto.
Esto no requiere mucho espacio para la muestra, pero no puede ser un conjunto vacío. El conjunto de eventos debe cumplir con ciertas condiciones. En pocas palabras, es decir, no puede haber demasiados eventos de interés. Por ejemplo, no se puede tener interés solo en un evento A y no tener interés en A. Por lo tanto, el conjunto de eventos debe ser lo suficientemente grande como para incluir al menos lo que debería.
Bajo la estructura del espacio de probabilidades, cualquiera que interprete la probabilidad puede expresarla y encontrar el significado de la probabilidad que quiere. Pero una vez que se abstrae, ya no se limita a la tabla de cobre, los dados y las cartas de póquer, se puede discutir problemas más generales y hay suficientes teorías para explorar.
El desarrollo de la teoría de la probabilidad es más tardío que en otras áreas de las matemáticas. Pero después de la racionalización, la teoría de la probabilidad se ha desarrollado rápidamente y se ha convertido en una de las áreas más importantes de las matemáticas. Esto se debe a que el importante probabilista del siglo XX, el ruso Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) publicó en 1933 la base de la teoría de la probabilidad en su libreta de menos de 100 páginas, Foundationsof the Theory of Probability.
La teoría de la probabilidad como disciplina matemática puede y debe desarrollarse a partir de axiomas de la misma manera que la geometría y el álgebra.
El francés Pierre-Simon de Laplace (Marqués de Laplace, 1749-1827), conocido como Newton, dijo:
Esta ciencia, que se originó en la consideración de juegos de azar, debería haberse convertido en el objeto más importante del conocimiento humano. Las preguntas más importantes de la vida son, en su mayoría, realmente solo problemas de probabilidad.
Las probabilidades son para fenómenos aleatorios. Pero no todo en el mundo es aleatorio, ya hemos dicho que también es inevitable. Supongamos que lanzar un lado o dos es una placa de cobre de la cabeza de un hombre, y la observación obtendrá ese lado.
Algunos físicos creen que el lanzamiento de una placa de cobre, según la velocidad, el ángulo, la elasticidad del suelo, la forma y el peso de la placa de cobre, puede calcularse después de que la placa de cobre cae, por lo que no es aleatorio. En cuanto a la lotería, siempre que se detecten las condiciones iniciales, se abrirá la bola, y también se puede calcular, por lo que no es aleatorio.
Algunos teólogos pueden pensar que todo en realidad se lleva a cabo de acuerdo con la voluntad de Dios, pero no sabemos si es así. ¿Has visto a Jason y los Argonautas? Es una película basada en la mitología griega, con relación con el signo de Aries en el signo del duodécimo signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo del signo.
Con el progreso tecnológico, la gente se ha ido dando cuenta de muchos fenómenos. Por ejemplo, sabemos que una vez que una mujer está embarazada, el sexo del bebé ya está determinado. Pero para una mujer con un abdomen muy grande, la buena persona, debido a la ignorancia, todavía puede adivinar la probabilidad de que nazca un niño. La noche antes del examen, los estudiantes se preparan seriamente, pero aún así se llenan de conjeturas, y cada uno cree que inventan temas con una gran probabilidad. Cuando el profesor se entera, se siente bien.
Pero para el profesor de una tarea bien planteada, no tiene sentido juzgar la probabilidad de que una tarea sea elegida. Porque para él, cada tarea tendrá una probabilidad de 1 o 0, sin otros valores. Del mismo modo, para la persona que ve la fruta detrás, la probabilidad de que la fruta sea un mono o una manzana, solo dirá 1 o 0. El azar es diferente del azar.
En la sección 2 hemos introducido la probabilidad de la manera de un espacio de probabilidades. Como el espacio de muestra puede ser virtual, entonces el evento es virtual. Pero supongamos que realmente hay una observación, como proyectar un objeto de cuatro caras, con los puntos 1, 2, 3, 4 respectivamente, y observar el número de puntos obtenidos. Entonces el espacio de muestra es el conjunto de 1, 2, 3, 4. El conjunto de eventos puede ser el más grande, es decir, el conjunto que contiene todos los subconjuntos del espacio de muestra.
Incluso si usted ya ha aceptado el concepto de espacio de probabilidades, ya que los matemáticos suelen dar algunas definiciones arbitrarias, todavía puede ser curioso, ¿qué significa exactamente la probabilidad de que el número de puntos 1 aparece 0.1? ¿Es que cada 10 veces que se lanza, el punto 1 aparece una vez?
假设投掷n次，点数1出现a次，则相对频率a/n与0.1之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着n的趋近至无限大，而趋近至0。
Es muy probable que usted, el pragmático, no piense que esta explicación es muy práctica. Primero, pregunte: ¿qué es acercarse al infinito? ¿Es lanzar continuamente, sin parar, salir, sol, primavera y otoño, y continuar lanzando, incluso si el cuñado tiene éxito en la búsqueda del infinito, el infinito aún no se ha alcanzado, todavía se debe lanzar?. Ese graduado de matemáticas, al escuchar que usted pregunta: "el infinito, como un pez con agua, es uno de los pocos trucos que aprendió en la ventana fría de cuatro años de matemáticas".
Para explicar el significado de los valores de probabilidad, se va a invertir una y otra vez en la probabilidad y el infinito. Esto es como tratar de definir lo que se llama un punto, y el resultado será como caer en un grupo en línea, difícil de aprender. Por último, solo debo decir que el punto es un nombre indefinido. Pero, de todos modos, debe ser comprensible que para los cuatro aspectos anteriores, lanzar solo una vez, no puede mostrar que el punto 1 tiene una probabilidad de 0.1, lo que significa que el número 0.1 es pequeño.
La explicación del anterior graduado en matemáticas es entonces útil. Esta es una versión simplificada de una de las leyes de los grandes números. En matemáticas, significa que la frecuencia relativa de los eventos, la probabilidad de encuentro se reduce a la probabilidad de que ocurran.
Los eventos son posibles siempre y cuando la probabilidad es positiva. Por lo tanto, no se puede excluir que ocurran eventos muy desviados (por ejemplo, observaciones de 1.000.000 de veces y el número de veces que el punto 1 aparece es 0, o 1.000.000 de veces). Sin embargo, cuando los estadísticos saltan, se puede hacer una determinación para determinar si la probabilidad de que el punto 1 aparezca es realmente 0.1, lo que pertenece a la categoría de hipótesis de prueba en estadística.
Si pertenece a lo inusual, entonces la hipótesis inicial no es aceptable. Se añade que, si se supone que un tablero de cobre es justo, se lanzará 100 veces y aparecerá al menos 80 positivos, en comparación con 10 lanzamientos, que aparecerán al menos 8 positivos, el primero es más inusual, ya que su probabilidad de ocurrir es mucho menor que la del segundo. Por lo tanto, con el mismo número de positivos de más del 80%, el mayor número de lanzamientos nos hará creer más que este tablero de cobre es injusto, y aceptar que la probabilidad de que aparezca positivo es al menos de 0.8; Esto indica que en nuestras estadísticas, el mayor número de muestras hará que la conclusión sea más precisa.
En un mundo aleatorio, lo que es verdadero es, por lo general, desconocido. A menudo, no podemos demostrar que lo que está sucediendo es verdadero. Pero es una hipótesis, a pesar de que la acepte. La probabilidad de que el número de puntos de 4 caras de 1 sea verdadero es 0.1, y no se puede demostrar su falsedad aunque se lance varias veces.
Además, para una de las cuatro facetas, también se puede estimar la probabilidad de que el punto 1 aparezca, y hay diferentes métodos de estimación, que pueden obtener diferentes estimaciones. En matemáticas, el uso de diferentes métodos debe dar el mismo resultado. Se llama coincidencia de posibilidades. Pero en estadística, a menos que se hagan algunas limitaciones, no hay un método definitivo.
Es muy común hacer estimaciones sobre una cantidad desconocida. Las cantidades desconocidas pueden ser la probabilidad de que un evento ocurra, los parámetros de una distribución (como el valor esperado y el número de variables, etc.) o la vida de un objeto, etc. Estas cantidades desconocidas se conocen comúnmente como parámetros. A veces se estima un parámetro en un intervalo y se le da la probabilidad de que el parámetro se cubra.
Los datos son la base principal de las decisiones de los estadísticos. Si no hay datos, a menudo no se muestran. Veamos una situación simple y común. Supongamos que se quiere estimar la probabilidad de que una placa de cobre tenga un lado positivo p. Naturalmente, se proyecta varias veces, por ejemplo, n veces, y se observa el resultado n veces.
En este caso, debido a que se trata de dos distribuciones, el cálculo es más complejo, y si n es lo suficientemente grande (n no es demasiado pequeño), a menudo se puede aproximar a través de la distribución normal. Esta es otra ley importante en la teoría de la probabilidad, el teorema del límite central.
Para estimar la probabilidad de que aparezca un lado positivo de la placa de cobre p, antes de la muestra, el intervalo de confianza es un intervalo aleatorio, si el nivel de confianza se establece en el 95%, hay una probabilidad de (o, más exactamente, hay una probabilidad de 0,95 si el intervalo de confianza es solo aproximado), el intervalo de confianza contiene p. Después de la muestra, se obtiene un intervalo fijo. Entonces, p pertenece a este intervalo de probabilidades, y no será 1 sino 0, y ya no será p. ¿Por qué?
Primero vamos a dar el siguiente ejemplo. Supongamos que una empresa de supermercados celebra su aniversario y sus clientes compran una cierta cantidad, y pueden sacar una bola de 1 a 10. Si sacan el número 5, obtendrán el 30% de los bonos de hipoteca que gastaron en la empresa hoy. Antes de sacar la bola, usted sabe que hay una probabilidad de 0.1 de obtener un boleto de hipoteca, las posibilidades no son pequeñas.
Hay muchos ejemplos de este tipo. Antes de golpear el bastón, se puede decir que la probabilidad de jugar es de 0.341, después de jugar no se juega y no se juega, 0.341 ya no se ha puesto en juego. Dé un ejemplo más. Suponga que una lotería emitida por un banco, cada número de 1 a 42, abre 6 yardas como el número principal.
Además, como se dice en el plan de estudios, también se puede hacer un simulacro de tablas de números aleatorios que aparecen positivos (en el plan de estudios, hay menos dos palabras positivas en el acento, no entiendo) probabilidad de que p de la placa de cobre n veces, para obtener el intervalo de confianza. Verás, p es esencialmente predeterminado, una de las bandas fijas de los resultados de la simulación, ¿hay p que caiga en ella, un vistazo, ¿cómo se puede decir que la probabilidad de que la zona de cobertura p es de 0.95?
¿Para qué sirve ese 95%? 0.95 es un valor de probabilidad, y el valor de probabilidad nunca es el resultado de un experimento visto una sola vez. Se puede decir más o menos que, si se repite el experimento y se obtienen muchos intervalos de confianza, contendrán el número de intervalos de confianza de p, que representan aproximadamente el 95% de todo el número de intervalos. Por lo tanto, el significado de 0.95 es el mismo que el que explicamos en la sección anterior sobre probabilidades.
Como la probabilidad está relacionada con nuestros hábitos de vida, el uso adecuado de la probabilidad puede ayudar a tomar decisiones más precisas en un mundo aleatorio. Sin embargo, a menudo no es fácil de aplicar la probabilidad y los valores de probabilidad obtenidos a menudo se consideran erróneos.
En el pasado, en las clases de matemáticas, todos nos encontrábamos con lo que se llama problemas de aplicación. Los problemas se entienden, después de escribir una fórmula matemática, es resolver las matemáticas. En este momento, se puede desechar la narrativa original que era repetitiva.
En la película Final 21 (el nombre en inglés es 21), el profesor de matemáticas hace una pregunta en la clase. Hay tres puertas, una detrás de un automóvil y las otras dos detrás de una cabra. Después de elegir la primera puerta, el presentador abre la segunda puerta y ve a una cabra.
Sí, porque mis posibilidades de conseguir el coche aumentarán del 33,33% al 66,67% cambiando de puerta 1 a puerta 3.
El profesor dijo: "¡Very good! ¡Oh, estoy de acuerdo con su opinión, es decir, debería cambiarse. Algunos lo cuestionaron.
La forma más correcta sería que si el presentador sabía de antemano que el coche estaba detrás de esa puerta, él abriría una puerta y luego la puerta de la cabra (esto es una forma más razonable, de lo contrario el juego no podría continuar). Si se cambia la tercera puerta, como dice el estudiante de la película, la probabilidad de obtener el automóvil aumentará de 1/3 a 2/3. Pero si el presentador no sabe de antemano que el automóvil está detrás de esa puerta (esto es, por supuesto, un caso poco común), solo se abre una puerta al azar de la segunda y tercera puertas, y justo después de la puerta es la cabra, entonces no se necesita cambiar, ya sea que se cambie o no, la probabilidad de obtener el automóvil es de 1/2.
Sin embargo, el lector no se dará cuenta de que en el caso de que el presentador sabe de antemano que el coche está detrás de esa puerta, en realidad también implicamos hacer una suposición; es decir, si la segunda y tercera puerta son todas cabras, el presentador abre la segunda o tercera puerta al azar (es decir, con una probabilidad de 1/2). De hecho, puede haber una suposición más general. Cuando la segunda y tercera puerta son todas cabras, supongamos que el presentador abre la segunda o tercera puerta con una probabilidad de q1 y? q respectivamente, y 0 ≤ q ≤ 1; cambiamos la tercera puerta, obteniendo la probabilidad de que el automóvil sea 1/1 + q (ver apéndice 2).
Otro ejemplo: una pareja acaba de mudarse a un barrio donde todos saben que tienen dos niños, sin saber el sexo. Un día, un administrador de la comunidad ve a la abuela de la casa jugando con un niño en casa. Si el niño es una niña, la probabilidad de que los dos niños sean chicas. Muchas personas piensan que esto no es difícil, porque la probabilidad es de 1 / 3.
Por último, vea otro ejemplo que aparece a menudo en los libros de texto de probabilidad. Hay un círculo unitario en el plano, y se dibuja una cuerda al azar, la probabilidad de que el cordón sea más grande que la longitud del triángulo lateral. Se puede obtener la longitud del triángulo lateral utilizando la geometría, la intersección de la unidad del círculo. Pero ¿cómo dibujar una cuerda al azar?
Los ejemplos anteriores nos dicen que, cuando se trata de problemas de probabilidad, la situación debe definirse claramente. En términos de términos, el espacio de probabilidad debe ser dado claramente, de lo contrario, dará lugar a discusiones. A veces, aunque no se da el espacio de probabilidad, la situación es más simple, todos tienen una opinión común, por qué no se hace especial hincapié en el espacio de probabilidad, no hay problema.
Además de la interpretación de la situación, algunos conceptos únicos de la probabilidad, como la probabilidad condicional, la independencia y la toma de muestras al azar, también deben tenerse en cuenta cuando se aplica la probabilidad.