確率における取引哲学

1987年は,インドの伝説的な数学者ラマンヌヤン (Srinivasa Ramanujan,1887-1920) の百年記念日である.彼を記念するために,一連のイベントが行われた.現代の大名な統計学者,インド生まれのラウ氏 (C. Radhakrishna Rao,1920) も3つの講演を招待された.その後,インド統計研究所 (Indian Statistical Institute) はラウ氏による講演を基に,1989年に,彼のために統計と真実 (Statistics and Truth) を出版した.この本は1997年に第2版を発行した.

• ### ローシュは最初の版の序文でこう述べています.

学生の頃,私は数学を専攻してある前提から結果を推論する論理を習いました.その後,私は統計学を,経験から学ぶ理性的な方法と,与えられた結果から前提を検証する論理を習いました.私は,数学と統計が,自然知識の向上,そして日常の事務を効果的に管理するために人類が行うすべての努力において,重要であることを認識しました.

私は信じている.

• 究極的には,知識は全て歴史だ.

• 抽象的な意味では,すべての科学は数学である.

• 理性の世界では,すべての判断は統計的なものです.

  この文は,数学と統計学の重要性,そしてそれぞれの意味について概説しています.

  高校数学では,長期にわたり,確率の題材がカバーされており,その中では古典的確率 (すなわち,確率を確率と同じ確率で解釈する) が相当を占めている.したがって,確率はしばしば排列組の特徴と結びついている.排列組は比較的にな数学のである.生徒は,時には複雑な題材に惑わされ,昏睡状態に陥る場合もある.しかし,それはテクニカルな面のみであり,認知的な面では,ほとんどそれほど迷惑にはならない.近年では,統計学の重要性を考慮して,高校数学では,統計の題材が徐々に追加されている.このうち95学年より実施される普通高校数学科目綱に,新しい信頼区間と自信の基準が求められているが,教師は,この統計の小難しさのために悩まされない.この新しい題材が加えられたため,統計学は,確率理論が,確率の特異な性質を明らかにする際の有意性を理解できるようになった.従来の数学における特異な概念とは全く異なる概念が存在し,確率の特異性とはまったく異なる概念が,必ずしも数学に備わされることは容易ではないと考えられている.しかし,

  統計学の歴史に目を向けるなら,信頼区間は,もう一人の著名な統計学者,ポーランド生まれで,1938年にアメリカに移民したナイマン (JerzyNeyman,1894-1981 〜 彼は私の師祖,つまり私の指導教授の指導教授である) が1934年の演説で最初に提唱したものである.彼の演説の後,大会の議長であるアーサー・ライオン・ボウリー (Arthur Lyon Bowley, 1869-1957) は演説で”,この信頼は信頼の遊びではないことを私は確信していない”と言及した.ナイマン・信頼区間という概念が提唱されたとき,ほとんどの統計学者,現代統計学の創始者と見なされるイギリスのフィッシャー (Sir Ronald Aylmer Fisher, 1890-1962, R. A. Fisher とよく呼ばれる) を含む大部分は,受け入れ難しかった.

  歳月が過ぎ,70年以上が経ち,今日の統計学者は,当然,信頼区間の意味を完全に理解している.ただし,大学では,確率と統計学,統計学,数学統計などの教科書において,信頼区間は通常,後半のテーマに属している.つまり,大学生は,関連する課程で,信頼区間に接触し始める時,概率統計の基礎は,ほぼ十分にある.しかし,このテーマは,現在,数学家の好意を得て,次第95課程が加えられた後,第98課程 (99学年度に変更された後) は,このテーマを保留している.しかし,十分な予備知識がないため,高校生は吸収しやすくない,むしろ予想される.

  なぜ,深遠なテーマが,高校の数学教材に広く浸透するのでしょうか? 推測される主な理由は,その重要性です. これは,メディアで,様々な調査結果がよく掲載される信頼区間や,信頼のレベルを見ればわかります.

  統計学の教科書では,信頼区間が1章の割合を占める.異なるパラメータ,異なる分布に対して異なる信頼区間があり,同じパラメータが同じ分布であっても,異なる方法によって異なる信頼区間が得られる.時には条件が不十分,計算が複雑であるなどの理由から,ただ次々に退いて,近似した信頼区間が得られる.もちろん,この時にはいくつかの条件が必要であり,いくつかの定理を用いる.信頼区間も比較が優れている.統計には様々な推論方法があるが,ランダムな現象を扱うため,天はほとんど出てこない.誰と争っているかは,比較方法によって決定される.そうでなければ,まるで止まらぬ一瞬の時計,そして一日1分遅い時計があるように,どの時計が正確であるかを判断できるのか.前者は毎日完璧な時間を持っているが,後者は毎日41,401,440と話すが,完全に正確な時間を持っている. (※) 各々の評価は,どのように語られるのか不明である.

  の常態分布,信頼区間,信頼レベルについての解釈はこうです:

  高校レベルの統計推論は,ランダム変数の期待値の推定のみを行う.その背後にある理論は,中央極限定理である.中央極限定理を紹介するには,通常の分布を導入する必要がある.この部分は,一般的説明のみを行うため,活動的に中央極限定理に対する生徒の直感を確立する.一定の信頼レベルに対して,信頼区間公式を与え,そして,生徒にランダムな数表の模擬または実験を投じ,正面にpの確率が出現する銅板をn回入力し,信頼区間公式を代入して,信頼区間公式の意味を説明する.そして,この方法で,ほとんどの生徒の信頼区間がpをカバーするかを解読する.

  この解読にはいくつかの問題があるだけでなく,はっきりとは言えません。最初の文での背後にある理論は中央極限理であるので,どこから生まれたのかわかりません.これは統計学の見解ではありません。教科書の解読が不明であるため,真剣に教え,生徒に教えたい高校の数学教師は,その原理を掘り下げて,それぞれ解読するだけです。これらの概念を明確にできる自認の文章も提出しています。それはただ解読であり,しばしば正確性が欠けているだけです。

  なぜ信頼区間の概念は,しばしば書のような下場に堕ちるのか? 根底を突き詰めると,多くの学習者は,確率の意味を正しく理解できていない. これが本文の執筆の動機である.

• 確率の意味

には6つの面があり,一の下には偶数の確率がどれか?は,各面が同じである,すなわち1/6であると仮定して,異なることなく見えます.偶数の面は2,4,6など3つあります.したがって,求められる確率は3/6です.これは,いわゆる古典的な確率であり,基本的な仮定はが同じである可能性です.最初に観測された現象は,いくつかの可能性があり,そのうちのいくつかが私たちの興味があります.後者を除き,すなわち,求められた確率です.は古典的なであるにもかかわらず,この確率の意味は,今日でもどこでも見られます.採用の範囲は,抽選,ポーカー,ゲーム,そして宝くじなどのものを含みます.ある種の仕事には,才能があり,82人が応募し,5人が採用されます.

2009年7月下旬から8月初旬にかけて,世界ゴルフ王タイガー・ウッドズはミシガン州で開催されたビュイック・オープンに出場した.第1ラウンドを完走し,先輩から8ポイントも落として95位に並んだ.彼のキャリアで逃れられない可能性のある2連勝がはじまった.前回戦はイギリス・オープン (イギリス以外ではイギリス・オープンと呼ばれている) で,提前淘汰の話題となった.しかしタイガー・ウッドスは小球を落とせなかった.第3ラウンドを完走した後,ウッドズはトップに躍り込んだ.

このとき,皆の意見が変わり,このチャンピオン・クローンは,ほぼ彼のポケットに入っていると考えられた.過去の記録によると,ウッズは54洞の先頭で決勝ラウンドに進出することができ,35勝1敗だった.あなたは後に彼が勝ったかどうか推測しないのですか?スポーツ競技は,往々にして過去のデータがありますが,この時点で同じ確率は使用してはいません.36回の成功のうち35回,クローンの相対的な頻度は35/36 (約0.972) でした.この相対的な頻度で確率を解釈することは,一般的な方法です.

ある紳士は,ある女の子を見て,驚いて,これが彼の今生のお嬢さんだと思っている.評価した後,自信満々で,自認した追及のチャンスは8パーセントだ.他の人は,見栄えが悪いが,彼にこの数字の8パーセントは,どうやって出てきたのかと尋ねる.彼は,その女の子が彼に好意を示していることを示している,一から一の兆候を示す経歴を挙げている.この0.8の確率は,主観的確率と呼ばれる.

主観的確率はもちろん,知覚した確率35のいくつかの客観的事実にも基づくことができる。ただし,同じ情報に直面しても,異なる人が異なる判断を下し,それゆえ異なる主観的確率を与えるかもしれない。核発電所の事故や彗星が地球に衝突するなど。

例えば,女の子を追いかけるのは,ほとんど女の子がいないので,実験をして,繰り返し追いかけて,数回成功して,彼女が追われる確率を決めるだろう.このような繰り返し観察できない現象について,確率について語るとき,主観的な確率がよく用いられるだろう.毎朝外出する時,私たちは天を見上げて,明日の雨の確率を何パーセントか判断する習慣ではないだろうか.ただ,しばしば親が考える確率がより多く,その帯はで,子供が考える雨の確率はより少ないだろう.

は主観的ではあるが,それでも理にかなっている。例えば,試験には合格と不合格がある。合格の確率が0.9だと考えれば,それは問題ない,人は常に少し自信を持つべきだが,0.8の確率が不合格になると心配するならば,それは許されない。あらゆる可能性の発生確率が加わると1である。主観的であっても,独占論でよいが,それでも自発的に言わなければならない。主観であるからこそ,各事件の確率を任意に自律的に決定することができるとは言えない。したがって,その確率に対する解釈は,いずれも自然に満足する,あるいは,いくつかの共通の規則を言わなければならない。これは誰もが理解すべき点である。

上記の3つは,概率に関する一般的な解釈であり,大抵は,事件の起こる可能性の大きさを評価する人々のいくつかの考え方である。異なる状況に対してであるが,しばしば相互に適用できる。誰もが殺人の例を聞いたことがある!曾孫と同名の人殺しがあり,善意ある人は曾祖母に曾祖母が殺人の確率が高かったことを語った。母が曾孫が殺さないと言ったので,織り続けた。しばらくすると,また誰かが曾祖母が殺人の確率が高かったことを語った。曾祖母がまだ織り続けたので,こんなにも良い息子は,どうして人を殺すことができるのだろうか?しかし,第三者が,曾祖母が殺人の確率が高かったことを言ったとき,祖母は怖れて,織り具を捨てて,壁を転覆して逃げた。母が投げるのを恐れて,壁を転覆して逃げたのだ。この物語は自国の策略である。したがって,銅板が2回取られたとき,主観者は,政府が偏見がないことが起こりそうである,その概率は,すべて正面にある,と説いた.これは,銅板が2回投げたときと同じであると考えられ,これは奇妙

もちろん,あなたは信じてもよいが,投射の結果がどうであれ,それは一時的な状況であると確信し,これは公正な銅板であると確信する意志は固くある.これは,母親が,たとえより多くの目撃者がいても,彼女が目で見ていない限り,彼女は息子が人を殺すことを信じないのと同じく,無理はない.ランダムな現象を知れば,事件は,確率が正である限り,確率の価値がどれほど小さいにせよ,起こりうることである.なぜ銅板が正面に出現する確率は,結局は,天だけが知っている.しかし,確率と統計を導入することは,意思決定を助けるために,より精密に決定することができる.そして,決定は時と共に進み,局面で変化しない限りありえない.気象が風にどれだけの雨をもたらすか,新しいことを正確に把握し,時折修正する必要があります.ローシュは,前述の考えに従って,実験の結果から証明した.したがって,100人の場合の投票率は,多数が正面に出現した前提で,80回,そして,その結果が,80回,80,80,5回,または,その後に,その結果が,80回,80,5回,またはそれと少し異な

確率に関する上記の3つの解釈は,実生活で遭遇する多くの状況もカバーしているが,数学者はもちろんここで止まらない.彼らは抽象化や一般化が好きだ.解方程式のように,ある種の方程式の解を表現するために公式を探し,ただ一つの特例の解を求めることに満足する.また,実数体系を完全に理解した後に,合理的な方法で実数体系を定義する.すなわち,集合,つまり数字の集合を,その中の要素について二項演算を定義し,その後に続く10の公理 ((axiom,規則) を与える.この二項演算が加算法であるかどうか,減算法であるかどうか,なぜ除算法でないのか,不思議だ.名前のある数学者は,あなたが重要な問題を提起するとは思わない.しかし,原体を使って,あなたは最終的に二項演算法を発見し,その二項演算法に,その二項演算法に加算法等しく,その二項演算法に等しく,その二項演算法にも,その集合に等しくなるものを見るだろう.しかし,あなたはまだ,この集合の基本的な要素に同意できない.しかし,あなたはまだ,この

概率を公理化して導入するには,まず,ある集合,つまりサンプル空間が,あるある観測の全ての可能な結果の集合として存在する.この観測は,実際に存在するかもしれない,あるいは,仮想的なものである.サンプル空間の特定の子集合が,我々が興味を持っているので,これらは1つの事件である.すべての事件も集合を形成する.最後に,確率関数,すなわち,それぞれの事件に対して,0,1の間の値を与え,その事件の確率を決める.サンプル空間,イベントの集合,および確率関数,三つとも確率空間 (probability space) を構成する.

これは,サンプルスペースの要求はあまり大きくはないが,空集合であるべきではない。そして,イベントの集合は,いくつかの条件を満たす必要がある。簡単に言えば,あなたが興味のあるイベントはあまり少なくならない。例えば,あるイベントAにのみ興味があるが,Aに起こらないことに興味がないということである。したがって,イベントの集合は十分に大きく,少なくともいくつかはすべて含まれなければならない。これは,結婚式の前にゲストリストを整えるようなものです。非常に少数の人しか招待できない,例えば両者の親族のみである。ある人を複数列挙すると,その人の親しい人達も一緒に招待されるはずです。したがって,複数列1人ごとに1人だけでなく,それに伴って数桁の増加になります。概率関数,概率の名前で,もちろん,過去の概率の認識に適合し,いくつかの基本的条件を満たす.

確率空間の構造の下では,どの方法で確率を解釈するであろうと,それぞれがそれぞれ表現し,その理由の確率の意味を見つけることができる。しかし抽象化されてから,銅板,,ポーカーカードなどに限定されることはなく,より一般的な問題について議論できるので,理論が十分に掘り下げられる。

確率論は数学における他の分野と比較して後期的に発展した.しかし,公理化されてから,確率論は急速に深遠に発展し,数学における重要な分野となった.これは,20世紀の重要な確率学者,ロシアのコモゴロフ (Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903年-1987年) が1933年に出版した,その100ページ未満の小冊子『Foundationssof the Theory of Probability』で確率論の基礎が置かれたことに起因する.その書物の中で,彼は次のように述べている.

確率論は数学分野として,幾何学や代数学のように,公理から発展できるし,発展すべきです.

• ### 可能性はどこにあるのでしょう?

フランスのニュートンとして知られるラプラスはこう言った:

この科学は,ゲーム ofchanceの考慮に起源,人間の知識の最も重要なオブジェクトになったはずである. 人生の最も重要な質問は,ほとんどの部分,本当に確率の問題のみです.

確率とはランダムな現象を対象とするものである。しかし,世界にあるものはすべてランダムではない,我々は必然性もあると言った。仮説として,一面または二面を投げるのはすべて人間の頭の銅板であり,そして観察すればその一面が得られる。あなたはこれが必然的な現象であることを知っているが,それでも人間の頭の出現の確率は1であり,他の状況の出現の確率は0であると言える。つまり,これを退廃したのランダムな現象とみなす。

投げる銅板について,投げる速度,角度,地面の弾性,銅板の形状,重量などの条件から,銅板が着地した後に,その一面が上向きになる計算ができるという物理学者もいるが,これはランダムではない.

神学者の中には,事実は神の意志に従って行われていると考える人もいるかもしれませんが,それは確かにそうでしょう.あなたはジェイソン王子の戦いの悪魔を見たのですか? (Jason and the Argonauts) これは,ギリシャ神話に基づく映画で,十二星座の座に関連しています.これは,1963年に作られたものです.私は子供の頃に観たにもかかわらず,今でも印象に残っています.この映画でジェイソン王子が遭遇した様々な突然の災害,そして何度も何度も勇敢な凶暴化吉,しかし,天皇ヘラ (Hera) と天使ゼウス (Zeus) は,対立し,それぞれ攻撃し,助けている.神の意志を理解しない場合,未来については,偶然として見ることが良いです.

テクノロジーの進歩とともに,人は徐々に多くの現象の来来脈を理解している。例えば,女性が妊娠すると,赤ちゃんの性別は確定している。しかし,大きな腹便をした女性については,善行者は知らないために,まだ男の子や女の子の誕生の確率を推測することができる。試験の前夜,生徒たちは,真剣に準備したにもかかわらず,それでも頭から推測を消し尽くし,それぞれが非常に高い確率で問題を考案したと考えます。教師が知ると,良い笑いを感じる。授業では,すでに試験を受けた問題のほとんどすべてが確定されていることを繰り返し暗示しています.なぜさらに推測する必要があるのですか?実際には,題名が正しく印刷され,生徒は試験について知らず,先生の暗示や明示を早期に受けていないので,まだ大きなドアを推測することができます.また,誰かがドアを叩くと,先生は好奇心旺盛ですか?先生は,あなたが推測した後に,や果物の割合を教えてくれるのですか?または,逆のは,水面に落下したのようなものですか?または,それは,あなたが推測した結果ではなく,水面に落下した銅板のようなものですか?それは,あなたが推測した結果ではありません.

しかし,その課題を用意した教師にとって,その課題が考案される確率を判断することは,あまり意味がありません。彼にとって,それぞれの課題が考案される確率は,1か0しかありません。同様に,後ろの果実を見た人のために,果実がかリンゴになる確率は,1か0しかありません。ランダムとは随意とは異なります。私たちは,確率の論理は,人が揺れるように十分な弾性があり,ただ,それでも合理的であり,そうでないと,それを上げていると言います。あなたがそれがリンゴであることを知りたかったら,それはである確率は0.5です。または,医者からすべての情報を掌握している産婦人,また,生来する確率は,男と女の確率は0.5です,そうでないと,確率について話しています。

• ### 解釈の確率

2節では,確率空間という形で確率を導入する。サンプル空間が仮想である場合,事件も仮想である。しかし,実際に観察があったとする.例えば,4面を投げるなら,4面それぞれに点数1,2,3,4を表示し,点数を得る。サンプル空間は1,2,3,4の集合である。イベントの集合は,この空間のすべての子集合から構成される最大の集合,すなわち,確率の集合をとることができる。排列組を習った場合,この最大のイベントの集合には,合計162の4次方) の要素がある。確率関数については,仮点数1,2,3,4の出現確率は,それぞれ0.1、0.2、0.3、0.4とされ, 1に相乗する。特定のイベントの確率は,そのイベントが1,2,3,4を含むと仮定し,その数に相乗する確率を足す。また,この空間には,多くの異なるイベントの確率が含まれる場合,この空間は,2、2、0.4と定義される。これは,2、0.2、0.6の確率と一致する.

確率空間という概念を 受け入れていても,数学者は,その定義を 満足のいくものにしてくれるが, 疑問に思うかもしれません. “点数”の出現確率が0.1というのは,どういう意味なのか? 10回投げたごとに,点数”が1回現れるということですか?

投げたn回,点数1がa回出現すると仮定すると,相対頻度a/nと0.1の差の絶対値は,与えられた正数 ((どんなに小さいとしても) の確率より大きい,nに近づくにつれて無限大まで近づいて,0に近づくだろう.

実践的なあなたには,このような説明が現実的ではないだろう。まず疑問を投げて,無限大に近づくことは何なのか? 投げ続け,止まらない,日出と日没,春と秋,投げ続け,たとえ父追うことが成功しても,無限大はまだ達成されていないが,投げ続けなければならない。その数学部の卒業生は,あなたが無限大について尋ねると,魚が水を得るように,これは彼が数学部の4年間の寒い窓で学んだ数つの独り言の1つである。あなたは無限大を止めなければならない.この話題は,父追うことから,あなたは成功していると感じているだろうか? 確率をどのように解釈すれば,無限大にも関わるのか? しかし,また,あなたが少し不快なのは,私は確率の価値を理解していないことであり,どのように確率の概念を使って私に説明を聞かせているかである.

確率値の意味を説明しようとすると,確率と無限大で,層から層へと転がるだろう。これは,点と呼ばれるものを定義しようとすると,結果として,線团に閉じ込められるような学習困難である。最後に,点は定義のない名詞である。しかし,とにかく,前述の4面に対して,単に投げる1回だけで,点数1が確率0.1で現れるのを示すことができないことを理解すべきだ。確率は,数回数回投げる結果を見るだけの意味ではない。確率は,大きなサンプル (nが非常に大きい) の下で,威力が現れるだけである。確率値の意味は,受け入れられる論理で説明できないので,その意味は,後退して説明できるだろうか。その場合,微小確率値の意味を軽く理解できるだろうか?あるいは,仮想的な検索は,単に確率の1値である場合を除いて) あなたは4面をとり,点数1が確率として現れるのをどのように知るか,本当に知っているのか,あるいは,誤った記録を打つということではない,と理解すべきだ。

前回の数学系卒業生の説明では,このとき,応用できるだろう。これは大数法則 (law of large numbers) の1つである簡略版である。数学的に意味するところは,事件の発生の相対的な頻度,出会いの確率が事件の発生の確率に収束する。ランダムな世界では,まだ従うべき法則がいくつかあるが,大数法はその中の重要な1つである。もちろん,我々はすでに指摘した通り,事実上,事件を無限回観測することは不可能である。それでは,事件の発生の相対的な頻度,観測数が十分に大きいとき,事件の発生の確率に近付く必要がある,ということではないでしょうか。

イベントは,確率が正である限り,発生する可能性がある。 だから,観測数が大きいとしても,非常に偏った (例えば,観測1,000,000回,点数1が現れる回数は0,または1,000,000回) イベントが発生することを排除することはできない。 しかし,このとき,統計学者が飛び出して,点数1が現れる確率が本当に0.1であるかどうかを検査することができる.これは,統計学の仮定を検査する (testing hypothesis) の范である。 簡潔に言えば,あるある仮説の下,このような結果が観測されるということは,不尋常であるのか.不尋常とは,発生の確率が非常に小さい,あるある予期値より小さいことを意味する。

意外な場合,最初の仮定は受け入れられない. 附属事項として,銅板が公正であるとする場合,投射100回で少なくとも80回正面が出る,投射10回で少なくとも8回正面が出る,前者はより異常である,なぜならその発生の確率は後者よりはるかに小さいからである. したがって,同じく80%以上の正面を得ている投射数が大きいほど,銅板が不公平であるということをより確信させ,その正面が出る確率は少なくとも0.8であることに同意する. これは,統計的に,同じ本数が大きいほど,我々の推論がより正確になることを示している.

ランダムな世界では,どちらが真であるかは,通常未知である。私たちは,しばしば,どちらが真であるかを証明することができません。ただ1つの仮説であり,あなたがその仮説を受け入れているかを見るだけです。4面点数1の出現の確率が,真であるかどうか,0.1であり,何度も投げたとしても,その真偽を証明することができません。ただ単に,データが,どちらが真であるかを受け入れることができ,どちらが真でないかを受け入れることができないことを示していると言えます。どちらが真であるかの確率が0.1です。ここに,受け入れないか否かを決定する仕組みがあります。

また,一4面に対して,点数1の出現確率を推定することも可能であり,いくつかの異なる推定法があり,異なる推定量を得ることができる。数学において,異なる方法を用いれば,同じ結果をもたらす必要がある。特異性といわれる。しかし,統計学においては,何らかの制限を設けるかぎり,通常,一本一体の方法が決まっていない。予測不可能な将来に対して,我々はしばしば推定を行うが,統計学はこの点で,非常に良い役割を果たす。銅板の出現確率や人の生存率などなど,すべて推定できる。しかし,時には,明確なものの,推定値が真値に等しくなることは難しいと感じて,一瞬にして,しばしば不正確な推定を伴って,信任区間の概念が生じます。

• ### 信頼区間

私たちはしばしば,ある未知量について推定を行う.未知量とは,ある出来事の起こる確率,ある分布のパラメータ (期待値や変数数など) またはある物体の寿命などである.これらの未知量とは,パラメータと呼ばれる.時には,パラメータを1区間で推定し,その区間にはそのパラメータの確率を含まれる.これは,区間推定と呼ばれる,結果として得られる区間である.区間にはそのパラメータの確率をカバーする,この区間の信頼基準 (con?dencelevel) と呼ばれる.確率と同じく,信頼基準は0,1の間隔の値であり,通常は事前で与えられ,百分比で表現される.90%、95%,および99%は,通常は,値が取られる.

統計学者が意思決定する主な根拠はデータである。データがない場合,彼らは往々にして一つも動かない。簡単な,一般的な状況を見てください。銅板が正面になる確率を推定したいと仮定しますp。自然に,数回投げる,例えばn回,そしてn回の結果を観察します。このプロセスは取ることと呼ばれます。同じように,この場合,各投げた結果の合計は重要ではありません。合計の正面の数を得て,aを表します。aを知れば,すべての情報掌握されている。(aは十分な統計量 (sucient? statistic) と呼ばれます。水に自信を与え,nとaを利用して,信頼区間を得ることができますが,方法は唯一のものではありません。つまり,pには,異なる信頼区間公式があります。しかし,課程の書き方は,信頼区間唯一の公式のように見える。

ここで,二項分布が関わっているため,計算は複雑で,nが十分に大きい場合 (nが小さすぎると無理である場合) は常規分布を用いて近似することができる.これは,確率論のもう一つの重要な法則である中央極限定理 (Central limit theorem) を用いることである.ただし,常規分布を用いて近似する時のみ,中央極限定理を使用する必要があり,信頼区間間はすべてこの定理を使用する必要はない.

推定銅板の正面出現の確率pは,サンプリング前に,信頼区間がランダムな区間であり,信頼レベルが95%に設定された場合, (または正確には,信頼区間が近似的な場合) 0.95の確率があり,信頼区間にはpが含まれます.サンプリング後に,固定区間が得られれば,pがその区間に属する確率は,1ではなく0であり,pではなくなります.なぜそうなるのでしょうか?多くの人々は,このことにしばしば困惑します.

まず,以下のような例を挙げます。ある百貨店の記念日に,顧客が一定の金額の買い物をすると,1から10までの数字から1つの色球を抽出できます。抽出した数字が5なら,今日その会社の支出で,30%の抵当券を得ることができます。抽出する前に,あなたは0.1の確率で抵当券を得ることができると知っていて,その確率は小さいものではありません。抽出すると,一見3号で,抵当券を得る確率はもちろん0になります。

このような例はたくさんあります。打つ手振りの前に,安打の確率は0.341で,安打でないと安打ではない,0.341は使えません。別の例をあげましょう。銀行が発行するロッテーは,毎期1から42の数字から6ヤードをトップ賞番号として開きます。あなたは6ヤードを賭けて,開く前に,少なくとも1ヤードを打つのは簡単だと知っています,なぜなら確率は0.629 ((附記1) を参照してください。例えば開く後に,あなたの宝くじの少なくとも1ヤードの確率は,1 ((少なくとも中1ヤードの場合) または0 ((もし1ヤードがすべて打たれていない場合) になります。

また,教科書で言うように,乱数表模擬の正面出現も可能である (教科書には正面の2つの単語が不足しているので,意味は通じません) 確率pである銅板のn回,信頼区間を求めます。pは根本的に事前に設定され,模擬所得の1つの固定区間,pがそこに落ちているかどうか,一目瞭然ですが,その区間がpの確率0.95をカバーしているとはどのように言えるでしょうか?たとえあなたが模擬ではなく,実際の銅板投球を取ったとしても,pは単に不明ですが,一定の値 (つまり,銅板を投球する単位は知られています) 投球の結果の固定信頼区間は,無機制であり,それはpのみをカバーするか,pをカバーしないでしょう。このように考えれば,同じ銅板,各人の95%の信頼区間には個別の信頼区間があり,その区間がp950.の確率をカバーしているとはどのように宣言できるでしょうか.

その95%は何のためにあるのか?0.95は確率値であり,確率値は一度の実験結果を見るだけでは決してない.大まかに言えば,もし繰り返し実験を繰り返して,多くの信頼区間が得られれば,その中にpの信頼区間数が含まれ,全体の区間数の約95%を占めるだろう.だから,0.95の意味は,前節で私たちが確率についての説明と同じである.しかし,同じpについて,もし全クラス40人の間で,pの個数が85%以下 (すなわち34個を超えない) の4095%の信頼区間が得られても,それほど驚かないでください.この概率は約0.01388 (注2) である.これはそれほど大きくはないが,クラス数が十分多い限り,容易に起こる.

• ### 状況解釈

確率は私たちの生活習慣と関連しているので,確率をうまく利用できれば,ランダムな世界において,より正確な意思決定を助けるだろう.ただし,確率はしばしば適用し難い,得られた確率値は,しばしば誤りであると考えられる.また,様々な説があり,それぞれ異なる確率値は提案されている.その理由の一つは,状況の解釈が誤っていることにある.

昔は数学科目では,応用問題 (Application Problem) と呼ばれていました。題目を理解し,数学式を書いた後,解数ということになります。このとき,元の長文の記述は捨てられます。しかし,確率では,単純に見える状況があり,解釈が異なるため,南北の結論に至ります。以下にいくつかの例を挙げます。

映画『決勝21点』 (英語の片名は21) で,数学教授が教室で質問する. 3つのドアがあり,1つのドアの後ろに車があり,もう2つのドアの後ろにヤギがある.あなたが1つ目のドアを選んだ後,司会者は2つ目のドアを開けてヤギを見ます.

Yes, because my chance of getting the carwill increase from 33.33% to66.67% by switching from door 1 to door 3.

教授は”Very good!“と答えました. 教授の意見に賛同し,その通りです.

より正しい言い方としては,主催者が事前に車がそのドアの後ろにあることを知っていた場合,彼は1ドアを開けて1ドアの後ろが山羊のドアになる (これはより合理的な行動である,そうでなければゲームは進行できません) このとき,3ドアを選択すると,映画でその学生が述べたように,車の確率が1/3から2/3に増加します.しかし,主催者が事前に車が1ドアの後ろにあることを知らなかった場合 (これは当然,珍しい場合です) ランダムに2番目と3番目から1ドアを開けて,ちょうどそのドアが山羊であった場合,交換は不要です,理由によって,交換は不要です,車の交換の確率は,すべて1/2です.

しかし,読者は気づいていないだろうか? 司会者がそのドアの後ろに車を預かっていることを事前に知っている場合,私たちは実際には暗黙的に仮定している.つまり,2番目と3番目の後ろがヤギであった場合,司会者はランダムに (すなわち1/2の確率で) 2番目または3番目を開いたのだ.実際には,より一般的な仮定がある.つまり,2番目と3番目の後ろがヤギであった場合,司会者はそれぞれq=1?qの確率で,2番目または3番目を開いたのだとする場合,その場合0≤q≤1である.そして,3番目を選んだ場合,車の確率が1/(1+q) となるのだ.注2) この確率は,司会者が2番目を開いた方法に影響される.多くの方がこの点について考えていないかもしれないので,1/ (q) +1/ (q) +1/ (q) がまだ良い選択である.

また別の例を挙げましょう. ある夫婦が,ある地域に移住したばかりで,彼らの子供たちの性別は知られていません. ある日,地域管理者が,この家のを,家の中の小さな子供と一緒に遊んでいるのを見てきました. もし,この子が女の子なら,この家の子供たちは皆女の子の確率です. 多くの人は,この問題を簡単だと考え,求められる確率は1/3だと考えます. 実際は,この問題は,私たちが想像するよりもはるかに複雑です.

最後に,確率論の教科書でよく見られる別の例を見てください。平面に単位円があり,ランダムに弦を描いて,弦がこの円の内接等辺三角形の長さを求めます。 単位円の内接等辺三角形の長さを求めることができます。しかし,どのようにランダムに弦を描くのですか? 1からnの正整数から1をランダムに取ると,その意味はより明確です,それぞれの確率で取られた数は1/nである。[ランダムに 1 を取ると,[0,1] の任意の子区間の確率は,その子区間の長さである。しかし,ランダムな弦は,どのように描画するのですか?ここでは,ランダムなという単語について,多くの解釈が可能です。解釈が異なる場合,弦を描画する方法が異なるため,結果の確率も異なる。

上記の例は,確率の問題に対処する際,状況が明確に定義されるべきであることを教えてくれます。用語的には,確率空間が明確に与えられなければ,議論が起こるだろう。時には確率空間が与えられていないが,状況が単純で,誰もが共通の見解を持っているが,このとき,確率空間が何であるかを特に強調していないことは問題ありません。が公正なを投げた場合,得点数が4の確率よりも大きい.は単純に記述されたものの,疑わしい意味はない。状況に疑いがあるときは,庄子が秋水で語ったように,を参考にして確率空間を調整してください。これには,政治的にまたは社会的に,重大な論争が起きたとき,憲法が違反していないか,大法によって解釈されるべきである。官僚が与えられた状況については,非常に慎重である.そうでなければ,統計学者の専門家でさえ,確率を誤って読む可能性があります。

文脈解釈以外にも,確率のいくつかの独特な概念,例えば条件確率,独立性,ランダムサンプリングなども,確率を適用する際には注意を払うべきである.