켈리 공식 - 위치 제어를 위한 강력한 도구

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** 가설 1: 당신이 이길 확률은 60%이고, 잃을 확률은 40%이다. 승리할 때의 순이익률은 100%이고, 패배할 때의 손실률은 100%이다. 즉, 승리하면, 당신은 1달러당 1달러를 얻을 수 있고, 패배하면, 1달러당 1달러를 잃을 것이다.

• 1 이 경우, 매번 내기면 내기 금액의 60%를 얻을 수 있습니다.*1-40%*1=20%, 기대수익은 긍정 ᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂ ᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂᄂ ᄂᄂᄂᄂᄂᄂ ᄂᄂᄂᄂ ᄂᄂ ᄂᄂᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ ᄂ

그래서 우리는 어떻게 내기를 해야 할까요?

만약 우리가 신중하게 생각하지 않는다면, 우리가 생각하기를, 내가 도박을 할 때마다 20%의 수익을 기대하고 있기 때문에, 장기적으로 최대한의 수익을 얻기 위해, 나는 내 도박을 할 때마다 최대한 많은 비율의 자본금을 넣어야한다고 생각할 것입니다. 이 비율의 최대 값은 100%입니다.

그러나 분명히 모든 도박에 100%의 자본금을 투입하는 것은 불합리하다. 왜냐하면 한번 도박을 하면 모든 자본금은 모두 손실되고, 다음 게임에 참가할 수 없게 되고, 그냥 나가야 한다. 그리고 장기적으로 볼 때, 도박을 한 번 잃는 것은 반드시 일어날 수밖에 없으므로, 장기적으로 볼 때 파산할 수밖에 없다.

그래서 여기서 결론이 나왔습니다. 만약 모든 자본을 한꺼번에 잃을 가능성이 있다면, 아주 작은 확률일지라도, 절대 포장을 채울 수 없습니다. 왜냐하면 장기적으로 볼 때, 작은 확률 사건은 반드시 일어날 것이고, 실생활에서 작은 확률 사건의 실제 확률은 이론적 확률보다 훨씬 크기 때문이다. 이것이 금융학에서 尾 효과이다.

• 2 째, 정지상태로 돌아갑니다. 매번 100%를 내기는 불합리하다면, 99%는 어떨까요? 매번 99%를 내면 절대로 파산하지 않을 수 있을 뿐만 아니라, 운이 좋다면 큰 수익을 올릴 수도 있습니다.

“이것이 현실인가요?”

우리는 이론적으로 문제를 분석하지 않고 실험을 할 수 있습니다. 우리는 이 공백을 시뮬레이션하고 매번 99%를 내기 시작해서 결과가 어떻게 되는지 볼 수 있습니다.

이 시뮬레이션은 매우 간단하며, Excel로 수행할 수 있습니다. 아래 그림을 참조하세요:

그림 1

위와 같이, 첫 번째 열은 횟수를 나타냅니다. 두 번째 열은 승리, Excel는 60%의 확률에 따라 1을 생성합니다. 즉, 60%의 확률은 1,40%의 확률은 -1을 생성합니다. 즉, 40%의 확률은 1을 생성합니다. 세 번째 열은 각 횟수의 끝에서 모든 자금을 해킹합니다. 이 실험은 각 내기 위치가 99%이며, 초기 자본은 100이며, 노란색과 녹색으로 표시됩니다.

그래프에서 볼 수 있듯이, 10번의 주전 후, 10번의 주전에서 승리하는 확률은 8번, 60%보다 더 큰 확률로, 단지 두 번만 패했다. 하지만, 그렇게 하더라도, 마지막 자금은 단지 2.46원밖에 남지 않았고, 기본적으로 손실되었다.

제가 실험을 1,000번, 2,000번, 3,000번으로 늘릴 때, 결국에는 돈이 0으로 줄어드는 것을 알 수 있습니다.

99%가 안되니까 다른 비율로 해보죠. 아래 그림으로 보죠. 그래프에서 볼 수 있듯이, 99%, 90%, 80%, 70%, 60%의 위치에서 점차적으로 감소 할 때, 같은 10 회의 결과는 완전히 다릅니다. 그래프에서 볼 수 있듯이, 위치가 점차적으로 작아짐에 따라, 10 회 이후의 자금은 점차적으로 커집니다.

여기 보시면, 이 공방전 문제는 그렇게 간단하지 않다는 것을 알게 될 것입니다. 커가 우세한 공방전이라 하더라도, 이 공방전에서 아무렇지 않게 돈을 벌 수 있는 것도 아닙니다.

그렇다면 어떻게 하면 장기적으로 이득을 극대화할 수 있을까요?

이 그림에서 보듯이, 비율이 작을수록 더 좋을까요? 아니죠, 왜냐하면 비율이 0이 되면 분명히 돈을 벌 수 없기 때문입니다.

그래서 이 비율이 얼마나 좋을까요?

이것은 유명한 케일리 공식이 해결해야 할 문제입니다!

도 2

여기서 f는 최적의 내기 비율이다。p는 승리할 확률이다。rw는 승리할 때의 순이익률이다, 예를 들어 1의 승부에서 rw=1。rl는 패배할 때의 순손실률이다, 예를 들어 1의 승부에서 rl=1。 여기서 rl>0。

켈리 공식에 따르면, 1차전에서 가장 많은 내기 비율이 20%인 것을 계산할 수 있다.

우리는 실험을 통해 이 결론에 대한 이해를 높일 수 있습니다.

도 3

그림처럼, 우리는 각각 포지션을 10%, 15%, 20%, 30%, 40%로 설정했다. 그들의 대응하는 열은 각각 D, E, F, G, H이다.

이 실험을 3000번이나 하면, 그리고 제가 실험을 5,000번이나 하면 여기서 F열의 대응 결과가 가장 크다는 것을 알 수 있는데, 다른 열과 비교하여 압축근은 하나의 계수가 아니다. 그리고 F열의 대응 위치 비율은 20%이다.

케일리 공식의 힘을 보실 수 있습니다. 위의 실험에서, 만약 당신이 불운하게도 비율을 40%로 선택한다면, 즉 H 줄에 해당하는 경우, 5000번의 도박을 한 후, 당신의 본금은 100에서 22799985.75로 바뀌었지만, 큰 수익을 얻었습니다. 하지만 20%의 비율의 결과와 비교하면, 그건 정말 돈을 벌지 못한 것과 같습니다.

이것이 바로 지식의 힘입니다.

• 3. 케일리 공식 이해

케일리 공식의 수학적 추론과 그 복잡성은 매우 높은 수학적 지식이 필요하기 때문에 여기서 논의하는 것도 의미가 없다. 여기서 나는 몇 가지 실험을 통해 케일리 공식에 대한 주관적인 이해를 심화시킬 것이다.

다시 한 번, 공모전을 봅시다. 공모전 2: 당신이 잃거나 이길 확률은 각각 50%입니다. 예를 들어, 동전을 던지는 것. 이기면 순이익률은 1입니다. 즉, rw = 1이고, 잃으면 순손실률은 0.5입니다. 즉, rl = 0.5입니다. 즉, 당신이 1달러를 내면, 승리하면 1달러를 얻을 수 있고, 잃으면 5달러를 지불해야 합니다.

2의 예상 수익은 0.25이고, 또 한 번은 해커가 큰 이점을 가지고 있는 상황입니다.

켈리 공식에 따르면, 우리는 한 바둑에 대한 최적의 배팅 비율을 얻을 수 있습니다.

도 4

그래서, 매번 반을 내기 시작하면, 장기적으로 볼 때 가장 큰 수익을 얻을 수 있습니다.

그리고 우리는 실험을 통해 평균 성장률 r의 개념을 얻을 수 있습니다.

실험 2.1의 다음 두 장의 그래프를 살펴봅시다.

도 5

이 두 도표는 모의상태 2에서 한 실험이다. 두 번째 열의 승부 열에서 실험이 50%의 확률로 발생한다. 1은 수익이 100%이다. 50%의 확률은 -0.5, 손실이 50%이다.

두 도표의 세심한 비교를 통해 결론 1을 발견할 수 있다. 즉, 동일한 횟수를 거친 후, 최종 결과는 이 횟수에서 승리한 횟수와 패배한 횟수에만 관련되어 있으며, 이 횟수에서 승리한 횟수와 패배한 횟수의 순서에 관계되지 않는다. 예를 들어, 앞의 두 도표에서도 4 횟수가 진행되었으며, 또한 각 도표에서 2 횟수에서 승리한 횟수가 2 횟수에서 패배한 횟수가 있었지만, 첫 번째 도표의 승패 순서는 승패 순서이며, 두 번째 도표의 승패 순서는 승패 순서이다. 그들의 최종 결과는 동일하다.

물론 이 결론은 매우 쉽게 증명할 수 있다 (배배 교환법칙, 초등학생들은 할 수 있다), 여기서 증명은 하지 않는다, 위의 두 가지 예는 충분히 잘 이해할 수 있다.

그래서 최종 결과는 승패 순서에 상관이 없기 때문에, 2번의 무작위전은 2.2번의 실험과 같은 방식으로 진행되었다고 가정해 봅시다.

그림 6

우리는 승자와 패가 번갈아 이루어진다고 가정합니다. 결론 1에 따르면, 장기적으로 볼 때 이 결과는 돈에 아무런 영향을 미치지 않습니다.

그림을 직접 보기 전에 먼저 정의를 해보자. 어떤 몇 개의 공백을 하나의 전체로 간주하고, 그 전체에서 다양한 결과의 발생 빈도가 그 확률과 정확히 같으며, 그 전체의 공백은 모든 조건이 충족되는 전체의 공백 중 가장 작은 숫자이다. 그러면 우리는 그 전체를 하나의 공백으로 부른다. 예를 들어 위의 그림의 실험에서, 하나의 공백은 두 개의 공백을 수행하는 것을 나타냅니다. 그 중 하나는 승리하고 하나는 패배한다.

위의 그림에서 파란색으로 표시된 숫자를 자세히 살펴보면, 이들은 한 집합의 끝이다. 당신은 이 숫자들이 안정적으로 성장하고 있음을 발견할 것이다. 위치가 100%일 때, 파란색으로 표시된 숫자의 성장률은 0%, 즉 한 집합의 끝 이후의 자본의 성장률은 0%이다. 이것은 또한 매번 포지션이 가득 차서, 중장기적으로 승부 2에서 돈을 벌 수 없다는 것을 설명한다. 위치가 50%일 때 (즉, 케일리 공식에서 얻을 수 있는 최적의 비율) 파란색으로 표시된 숫자의 성장률은 12.5%, 즉 한 집합의 끝 이후의 자본의 성장률은 12.5%이다.

이것은 일반적인 법칙입니다. 각 무더위 이후의 성장률은 포지션과 관련이 있습니다. 그리고 각 무더위 이후의 성장률이 더 높을수록 장기적으로 볼 때 최종 수익률도 더 높습니다.

각 무더위의 성장률에 따라 각 무더위의 평균 성장률을 계산할 수 있다. g. 위의 그림에서, 각 무더위에 두 개의 무더위가 포함되어 있다면, 각 무더위의 평균 성장률은

도 7

장기적인 관점에서 볼 때, 자본이 최대 성장을 얻으려면, 실제로 r를 최대화하면 g를 최대화한다. 그리고 최적의 베팅 비율 f는 실제로 max (g) 를 구하는 것으로 나온다.

• 4. 케일리 공식에 대한 다른 결론

켈리 전설

켈리 공식은 AT&T 벨 연구소 물리학자 존 래리 켈리 (John Larry Kelly) 에게 그의 동료 클라우드 알우드 샤논 (Claude Alwood Shannon) 의 장거리 전화선 간신화에 대한 연구를 바탕으로 만들어졌다. 켈리는 샤논의 정보 이론이 내선 정보를 가진 도박꾼에게 도박을 할 때 어떻게 적용되는지에 대한 문제를 해결했다. 도박꾼은 최적의 베팅 금액을 결정하기를 원하지만, 그의 내선 정보는 완벽하지 않아야 한다. 은 자신의 지식을 활용하여 하룻밤 사이에 지가 네바다 레노 시의 모든 카지노를 습격하고 21 개의 테이블에서 수 만 달러를 성공했습니다. 그는 미국 월 스트리트 양자 거래 제보 기금의 조상으로 1970 년대에 첫 번째 양자 거래 제보 기금을 만들었습니다. 1962 년에 그의 칼럼을 출판했습니다. 주사 을 물리치고 금융학의 고전적 책 중 하나가되었습니다.

시각을 사용하세요

켈리 공식은 어떻게 현실에서 돈을 벌 수 있을까요? 그리고 이것은 켈리 공식의 조건에 부합하는 공백을 만들어내는 것입니다. 제 생각에는 금융 시장에서 나온 공백이어야 합니다. 최근에 거래 시스템을 연구하고 있는데, 훌륭한 거래 시스템에서 가장 중요한 것은 무엇인가요? 수익을 기대하는 긍정적인 거래 규칙이 10%의 중요성을 차지하고, 좋은 자금 관리 방법이 40%의 중요성을 차지하고, 나머지 50%는 사람의 심리적 통제력을 조종하는 것입니다. 그리고 켈리 공식은 제가 자금의 위치를 통제하는 데 도움이 되는 도구입니다. 예를 들어, 내가 이전에 연구한 주식 거래 시스템, 매주 거래 성공 확률은 0.8이고, 실패 확률은 0.2입니다. 성공 할 때 3%를 얻을 수 있습니다 (위원회, 인쇄 세금을 빼고), 실패 할 때마다 5%를 잃습니다. 케일리 공식을 모르는 전에, 나는 맹목적으로 포지션 거래하고, 내 포지션 설정이 틀렸다는 것을 알지 못했습니다. 물론 켈리 공식은 실제 적용에서 그렇게 간단할 수는 없다. 많은 어려움을 극복해야 한다. 예를 들어, 레버드 거래소가 필요로 하는 자본 비용은, 예를 들어 현실에서 자금은 무한히 분할할 수 없다, 예를 들어, 금융 시장에서 앞서 언급한 간단한 정체처럼 간단하지 않다. 하지만 켈리 공식은 우리에게 앞으로 나아갈 길을 제시합니다.