スマイルカーブを使用したビットコインオプションのデルタヘッジ

まとめ

我々は、一連の暗示的なスマイル曲線とその他のスマイル調整デルタを使用して、ビットコイン オプションの堅牢な動的デルタ ヘッジを分析します。これらのデルタは、スケール不変の確率モデルやローカルボラティリティモデルすべてに対して同じであるという意味でモデルフリーであるか、またはローカルボラティリティの単純なレジーム依存のパラメータ化に基づいています。これらのデルタは実装が簡単なため、従来の資産のオプション市場のマーケットメーカーの間で人気があります。ダイナミックデルタヘッジに関するこれまでの実証研究は、株式指数オプションのみに基づいていましたが、ビットコインオプションの1時間ごとの過去の価格に関する独自のデータの分析により、ビットコインのインプライドボラティリティ曲線の動きが株式指数オプションの動きと大きく異なることが示されました。幅広い資金調達範囲と 10 日、20 日、30 日の合成固定満期を持つコール オプションとプット オプションについて、2 つの 1 年間の期間にわたって、異なるスマイル調整デルタの動的ヘッジ パフォーマンスを比較します。また、永久契約のベーシスリスクはカレンダー先物よりも大幅に低いため、ヘッジ手段として標準先物ではなく永久契約の使用についても調査します。結果は、ヘッジされたエラー分散比の検証可能な統計として提示されます。いくつかの期間では、暗黙のスマイルカーブヘッジ比率を使用すると、単純なブラックショールズデルタヘッジを大幅に上回ることができます。特に、永久スワップをヘッジツールとして使用する場合、アウトオブザマネープットオプションの効率性の向上は30％を超える可能性があります。一方、インプライド・ボラティリティ曲線が上向きに傾斜している期間中に短期のアウト・オブ・ザ・マネーのコール・オプションをヘッジすると、平均効率の向上は 15% に達する可能性があります。永久契約を使用する利点は、特にベースがまだかなり大きい長期契約の場合、2021 年に特に顕著になります。

キーワード ：デリバティブヘッジ、インプライドボラティリティカーブ、永久契約、堅牢な資金調達、動的増分ヘッジ

1. はじめに

動的デルタヘッジに関する研究はすべて、ブラック・ショールズ（1973）モデルに基づいています。ブラック・ショールズ (BS) デルタでは、原資産価格とそのボラティリティの相関がゼロであると想定しているため、モデルオプション価格の原資産価格に対する偏導関数のみが必要です。しかし、株価指数オプションは価格とボラティリティの間に大きな負の相関関係があり、それがインプライド・ボラティリティ曲線に大きな歪みをもたらすことはよく知られています。ベイツ（2005）の基本的な考え方とアレクサンダーとノゲイラ（2007a）のより一般的な結果に従うと、インプライドボラティリティ曲線の傾きは、モデルフリーのBSデルタの調整を暗示するために使用できます。スケールに依存しない任意のバリアントモデルに対して一定です。しかし、アレクサンダーとノゲイラ（2007b）は、取引可能な金融商品（金利以外）については、ジャンプやレヴィ過程などの追加要因に関係なく、すべての確率的および/または局所的ボラティリティの株式オプション価格設定モデルはスケール不変であるべきであることを示しています。特徴は次のとおりです。したがって、2 つのパラメトリック ボラティリティ モデル (取引可能な金融商品用) の実証的ヘッジ パフォーマンスの違いは、単にモデルのキャリブレーション エラーが異なることによるものです。取引可能な金融商品の価格に対するオプション価格のデルタ（実際にはガンマ）偏微分は、理論的にはモデルフリーのスケール不変デルタとまったく同じです。注 1 さらに、Bates (2005) によって提案された単純なスケール不変デルタは、スマイル曲線の傾きが負 (正) の場合、BS デルタよりも大きくなります (小さくなります)。 Coleman ら (2001) は、BS デルタはローカル ボラティリティ フレームワークで過剰ヘッジされる傾向があることを示しているため、インプライド ボラティリティが負に偏っている場合、スケール不変デルタは BS デルタよりも過剰ヘッジされることになります。

Alexander と Nogueira (2007a) が説明しているように、価格に関する最小分散 (MV) 総導関数は、ゼロ以外の価格とボラティリティの相関関係を考慮した別のデルタですが、モデルに依存します。しかし、これらの著者は、Lee (2001) のモデルフリー MV Delta と、異なるスケール不変モデルに基づく MV Delta を使用して得られた経験的結果を区別できませんでした。 Lee (2001) の MV デルタも「スマイル調整」されており、つまり、インプライド ボラティリティ スマイル カーブの実証的特性を使用して調整された項を BS デルタに追加します。 BS デルタを調整するもう 1 つの方法は、価格とボラティリティの相関関係を捉える項を追加して、Derman と Kani (1994) および Derman (1999) による Smile-Adjusted Delta という独創的な研究で提案されたアプローチを使用することです。これらは完全にモデルフリーというわけではありません。調整項はローカルボラティリティのパラメータ化に依存し、ローカルボラティリティ自体も市場の現在の体制に依存するからです。しかし、これらはモデルフリーであり、確率的局所ボラティリティジャンプ拡散など、原資産価格の進化を促すプロセスについて仮定が立てられておらず、オプション価格や原資産のヒストリカルデータを使用して調整する必要のあるパラメータもありません。データ。

株式オプションのマーケットメーカーが、BSデルタに対する単純なモデルフリー調整を使用してエクスポージャーをヘッジすることは標準的な慣行であり、これはいわゆる「堅牢な資金調達」、つまりヘッジ比率がモデルに依存しないと見なされているためです。多数の記事やフォーラムからもわかるように、インプライド スマイル カーブやその他のスマイル調整カーブ調整デルタ ヘッジは、実務家の間で特に人気があります。注 2: インプライド・スマイル・カーブおよび/またはスマイル調整カーブのデルタ・ヘッジに関する実証研究はこれまでにいくつかあるが、それらはすべて株式指数オプションを研究したものである。すべての結果が一貫しているわけではない。Vähämaa (2004) は、FTSE 100 オプションのスマイリング カーブ調整デルタが BS デルタを上回るパフォーマンスを示したが、これはボラティリティが過剰な期間に限られる。Crépey (2004) は、これらの結果が DAX 30 オプションにも当てはまることを確認している。Attie ( 2017年は、S&P500指数オプションのヘッジにおいて、スマイルインプライドデルタが一貫してBSデルタを上回ると主張している。アレクサンダーら（2012年）は、ダーマン（1999年）のフレームワークをマルコフスイッチング設定に拡張した。現在の市場に適用可能な正しいスマイル調整デルタを反映する。市場体制では、S&P 500オプションの場合、BSデルタはこのマルコフスイッチング拡張を使用することによってのみ改善できることが示されています。フランソワとステントフト（2021）もS&P 500インデックスオプションを研究し、標準調整ではBSデルタやデルタガンマを上回ることができないことを確認しています。ヘッジですが、新たに暗示されたスマイリング カーブ デルタ-ガンマ-ベガ ヘッジにより、BS モデルが大幅に改善されます。他の種類のオプションに関して、スマイル調整デルタヘッジの成功についてはほとんど知られていません。注3

この論文の目的は、ビットコイン オプションに適用されたさまざまな Smile インプライド カーブとその他の Smile 調整カーブのデルタ ヘッジ パフォーマンスを検証することです。本稿執筆時点では、ビットコイン オプションに関する研究はわずかしか発表されていません。 Siu and Elliott (2021)、Jalan et al. (2021)、Chen and Huang (2021) はいずれも確率的ボラティリティ価格設定モデルの実証的応用を研究していますが、ヘッジパフォーマンスを研究した論文はありません。 Hou et al. (2020) は、ビットコインのオプションの価格を決定するために一連の確率的ボラティリティモデルを検討しました。著者らは、ジャンプとコジャンプの重要性を強調する一連の重要な結果を提示し、ビットコイン オプションの価格設定に相関ジャンプ (SVCJ) を含む確率的ボラティリティ モデルを提案しています。これらのモデルは、クリケット オプションやラチェット オプションなどの特殊なオプションの価格設定に非常に役立ちます。 ChiとHao（2021）はGARCHベースのデルタヘッジ戦略を検討していますが、彼らの研究はさまざまな実現ボラティリティ予測モデルの比較に焦点を当てています。 Alexander et al. (2022b) は、ビットコインオプションのインプライドボラティリティスマイルカーブの挙動を研究し、マーケットメーカーの需要圧力が方向性トレーダーによって推進されているのか、ボラティリティトレーダーによって推進されているのかを推測しています。実際、私たちの知る限り、ビットコイン オプションのヘッジに関する詳細な研究は他に 1 つしかなく (Matic ら、2021 年)、この論文とはまったく異なるアプローチを採用しています。 Matic et al. (2021) は、Deribit 取引所が引用する日次のインプライド ボラティリティを使用して、パラメトリック ストキャスティクス ボラティリティに着想を得たインプライド ボラティリティ サーフェスを較正し、裁定取引を行わずに 1 か月から 3 か月の間のオプションのインプライド ボラティリティを補間しました。ボラティリティ。 2019年4月から2020年3月までのサンプルは、ダフィーら（2000年）とマクニールとフレイ（2000年）によって導入された確率的ボラティリティプロセスを使用して、3つのサブ期間（強気市場、平穏市場、COVID期間）に分割されます。基礎となる暗号通貨の価格をモデル化するための GARCH フィルター カーネル密度。次に、BS ギリシャのヘッジ パフォーマンスを、さまざまな確率的ボラティリティ ジャンプ拡散モデルから導出されたパフォーマンスと比較します。 1 か月満期のオプションについては、単純な BS ヘッジに比べて大きな改善は見られませんでしたが、3 か月満期のオプションについては、より複雑なモデルによってヘッジ パフォーマンスが大幅に向上しました。

Matic et al. (2021)とは異なり、異なる確率的ボラティリティモデルのオプションヘッジパフォーマンスを比較しません。私たちの研究の重要な実用的な利点は、すべてのデルタ値が非常に簡単に計算できることです。すべての情報はボラティリティ スマイル カーブから直接かつ堅牢なモデルフリーの方法で得られるため、モデルの調整は必要ありません。現在の市場状況、インプライド・ボラティリティ・スマイルの形状、および/または価格とボラティリティの相関関係に応じて異なる BS デルタ調整を使用したデルタ・ヘッジの結果。

私たちの焦点は、満期が10日から30日の短期オプションです。これは、Matic et al. (2021) で研究されたオプションよりもはるかに高い流動性と、より広い行使価格の範囲を持っています。私たちがこのようにしたのは、満期日が1～3か月のビットコインオプションは総取引量の20%を占めるに過ぎないのに対し、満期日が30日以内のオプションは総取引量の50%を占めているからです。取引量。さらに、BS デルタをスマイル調整するには適切なスマイル カーブが必要であり、これらの短期オプションの流動性ストライク範囲は非常に大きくなります。実際、私たちの実証分析で使用されたオプションのマネーネスは 0.7 から 1.3 の範囲です。

我々は、資金調達時に 8 時間ごと、または毎日 UTC 00:00 に行われる定期的なリバランスを伴う動的デルタ ヘッジのみを検討します。この実験設計の選択は、ビットコイン オプション市場の特性に基づいています。この特性は新しいため、後で詳しく説明します。先物の取引コストはオプションの取引コストよりもはるかに低くなります。例えば、先物契約のスプレッドは満期日に応じて約1～5ベーシスポイントの範囲であるが、ガンマヘッジによく使用される短期のアット・ザ・マネーオプションのスプレッドは通常約200～300ベーシスポイントである。ポイント。したがって、ガンマヘッジは通常の動的デルタヘッジよりもはるかに高価になります。ガンマ ヘッジの再バランスの取引コストは、ヘッジ エラーの削減によって得られる利益を減少させる可能性がありますが、デルタ ヘッジの再バランスの取引コストは、特に永久契約がヘッジ手段として使用されている場合は小さくなります。

次に、第2章ではビットコインオプションと先物市場について説明し、第3章ではビットコインと株価指数のインプライドボラティリティ面の特性を比較し、その特徴を区別します。第4章では、実証的枠組みについて説明します。各ヘッジ比率は、調整されたBS式として導入されます。 ; 第 5 節ではデータについて説明し、第 6 節では実証結果を示し、第 7 節で結論を述べます。

2. ビットコインのオプションと先物市場

本稿執筆時点では、6つの主要な暗号通貨取引所がビットコインやその他の通貨、およびいくつかのトークンのオプション取引を提供しており、2021年12月の1日平均取引量の合計は10億ドルに近づいています。特に、ビットコインオプションの取引量は最近過去最高に急増しており、2020年1月から2021年12月にかけて月間平均取引量は2倍以上に、未決済建玉は6倍以上に増加しています。取引の大部分はデリビットオプション取引所で行われており、同取引所は米国商品先物取引委員会（CFTC）などの政府機関が定めた国際基準や、顧客の利益を保護するためのその他の規制に従うことを避けるためにパナマに移転した。多くの場合、オフショアの租税回避地に登録されている、他の多くの規制されていない暗号通貨デリバティブ取引所と同様に、Deribit の取引プラットフォームは 24 時間年中無休で営業しており、「顧客確認」プロトコルをほとんどまたはまったく遵守していません。 2020年にはデリビットで430万件の契約（想定元本約550億ドル）が取引され、2021年には620万件の契約（想定元本約2,900億ドル）が取引されました。その結果、わずか2年で上場契約数は45%以上増加し、Deribitで取引される想定元本額は430%以上増加しました。注4 これを比較すると、シカゴ・オプション取引所（CBOE）のS&P 500オプション市場は2020年から2021年の間にわずか10%程度しか成長しませんでした。注5 ビットコインオプション市場では、ほぼ毎月、新しい契約サイズ、より広い行使価格範囲、より長い満期、新しい原資産がリリースされており、この新興デリバティブ市場は個人投資家と機関投資家の両方に拡大しています。ビットコインオプションはもはやニッチな商品ではありません。 。 2022年3月、シカゴ・マーカンタイル取引所（CME）は、個人投資家を対象とした自主規制プラットフォームに対抗するため、マイクロビットコインオプションを開始しました。しかし、大手機関投資家もオプション市場を非常に注意深く見守っており、中にはこれを「次の大きなステップ」と呼ぶ者もいる。注 6 一方、Opyn や Ribbon Finance などの新興の分散型金融 (DeFi) プロトコルは、規制に準拠せずにオプション取引を提供しています。 1日当たりの名目取引量が5億ドルを超えるこの市場は、もはや従来の投資家が無視できる市場ではありません。

Deribit での取引量が非常に多いため、あらゆる種類の暗号通貨オプションの調査にとって最も魅力的な取引所となっています。 CME（および他のいくつかの取引所）はビットコインオプションのみを上場していますが、ビットコインオプションの取引量のうち、これらの取引所が占める割合はわずか10%～15%です。 Deribitだけでビットコインオプション取引量の90%以上を占めています。注 7 理由の 1 つは、Deribit が 24 時間年中無休で営業しているのに対し、CME は平日のみ営業していることです。もう 1 つの理由としては、Deribit オプションの原資産は BTC インデックスの USD 価値であるにもかかわらず、ビットコインで証拠金が計上され、決済されるということが挙げられます。満期時の支払いを得るには、USD での BTC の価値とオプションの行使価格 (これも USD で提示) の差を計算し、その結果を満期時の BTC インデックス値を使用してビットコインに変換します。注 8 決済価格 (ビットコインなど) と原資産 (米ドルなど) の通貨単位の差は、反対方向に先物やオプションがないことを除いて、クオント FX オプションのペイオフと非常に似ています。つまり、1 ドルのビットコインの価値に関するデリバティブはなく、1 ドルのビットコインの価値を原資産として使用するオプションも存在しません。このため、ビットコイン オプションは「インバース オプション」と呼ばれ、実際には、多くの暗号通貨デリバティブ取引所で大量に取引されている、インバース先物を含むいくつかのインバース デリバティブ商品の 1 つにすぎません。これらは、法定通貨と暗号通貨のクロスデリバティブ取引を、証拠金口座の担保や契約決済に法定通貨を使用せずに実行できるため、魅力的です。

ビットコインが伝統的な意味でのマネー マーケットとして存在できるかどうかは議論の余地がありますが (Sauer、2016)、ビットコイン (およびその他の通貨やトークン) の非常に活発な分散型マネー マーケットは、多くのファーミング サイトやさまざまな流動性プールに存在しています。注9 したがって、米ドルでのモデルのヘッジ効果を測定するために、米ドルからビットコインに変換することができます。

どのヘッジ方法を選択しても、ヘッジ自体は簡単です。トレーダーはオプションでポジションを開き、オプションのデルタ値に等しいポジション サイズで原資産の反対のポジションを取ります。従来の市場では、決済価格が簡単に取引できる手段ではないため、ヘッジ手段は通常、オプションと同じ満期の先物契約です。 BTC インデックスについては、複数の異なる取引所のビットコイン価格の平均に基づいているため、同じコメントが当てはまります。しかし、これはヘッジ手段がオプションと同じ満期の逆先物契約でなければならないという意味ではありません。ビットコインで取引可能なヘッジ手段を選択するための革新的な代替手段がいくつかあるからです。まず、期限付き先物契約には3つの種類があります。伝統的な資産クラスの先物と変わらない標準的な線形先物、ビットコインと米ドルのステーブルコイン（テザーなど）の線形先物で、ステーブルコインの価格が変動するたびに取引されます。 USD ペッグから外れ、ベーシス リスクを導入する 、および USD リニア先物と同様の特性を持ちながら暗号通貨のように証拠金が設定され決済されるインバース先物です。注10

ビットコインオプションには、暗号通貨市場特有の契約を使用するヘッジツールもあります。このような契約は、永久先物、永久スワップ、または単に「永久契約」と呼ばれることが多く、これまでのところ最も人気のあるタイプの暗号通貨デリバティブです。これらの価格はスポット価格と密接に連動しており、8時間ごとにネットポジションの小額を自動的に支払ったり受け取ったりする「資金調達」メカニズムを使用しています。このパーセンテージの計算は「資金調達率」と呼ばれ、取引所によって異なります。注11 支払者と受取者は、永久契約価格がスポット（BTC）価格より高いか低いかによって決まります。永久契約価格がスポット価格を上回る場合、資金調達率はプラスとなり、永久契約のロングポジションを保有するユーザーは手数料を支払う必要があり、ショートポジションを保有するユーザーは手数料を受け取ります。永久契約価格がスポット価格よりも低い場合は、その逆が当てはまります。ロングポジションとショートポジション間の定期的な資金支払いにより、永久契約価格はスポット価格に非常に近い値に保たれます。

世界最大の暗号通貨現物およびデリバティブ取引所であるバイナンスでは、取引商品の3分の2が永久先物契約です。 CryptoCompare（2022）レポートが示すように、スポットとデリバティブのこの比率は暗号通貨市場では標準のようです。本稿執筆時点では、8つの暗号通貨取引所が平均1日先物取引量が10億ドルを超えていると報告しており、その大部分は永久契約によるものだ。注12 ここでは、Binance、OKEx、Bybitなどの規制されていない取引所が先物取引全体の65％以上を占めています。対照的に、規制された取引所、特にCMEとFTX USの市場シェアは25%程度とかなり低くなっています。 Deribit 先物の 1 日あたりの平均取引量は 40 億ドルを超えており、これらの先物を適切なヘッジ手段として検討するのに十分な流動性を提供しています。ただし、他の取引所と同様に、取引の大部分はカレンダー先物ではなく永久契約で行われます。これを確認するため、図 1 は、2020 年 1 月から 2 年間にわたり毎日記録され、7 日間の移動平均を使用して平滑化されたこれらの契約の名目上の取引額を示しています。明らかに、無期限先物契約の取引量は有限期限先物よりもはるかに多いですが、有限期限先物については、3 種類の先物すべての日次取引量データと、各満期日のデータも集計しています。 2021年、永久契約の取引量は前年比でほぼ4倍に増加しました。表 1 は、取引量のこの変化を経験的に示しています。これは、Deribit 取引所における 3 つの主要なビットコインデリバティブの 1 日あたりの平均取引量と未決済建玉を示しています。 2020年から2021年にかけて、すべての商品の取引量と未決済建玉が大幅に増加しましたが、これはおそらく大手銀行や自己勘定取引会社による暗号通貨分野への関心によるものと思われます。

図 1. Deribit 先物および永久契約の 1 日あたりの平均取引量。

図 1 は、2020 年 1 月から 2022 年 1 月までの永久スワップの 1 日あたりの平均取引量 (青) と、その他すべての先物契約の平均総取引量 (赤) を示しています。 1 日の取引量は、24 時間以内に Deribit で取引された契約の総数にその想定元本 10 ドルを乗じて計算され、その後過去 7 日間の平均が算出されます。結果は数十億ドルに上ります。

表 1. Deribit ビットコインデリバティブの取引量と未決済建玉。

3. ビットコインのインプライドボラティリティ

図 2 は、デリビット オプションから導出されたインプライド ボラティリティ カーブの実証的ダイナミクスを、日次構造で 2 年半にわたってプロットしたものです。マネーネス軸は、アウトオブザマネーのコールオプションからアウトオブザマネーのプットオプションまでの価格が示唆するボラティリティ曲線を表しており、ディープアウトオブザマネーのプットオプションのマネーネスは0.7、ディープ・アウト・オブ・ザ・マネーのコールオプションのマネーネスは1.3、アット・ザ・マネーのオプションのマネーネスは1.3である。コールオプションとプットオプションの両方のマネーネスは1であり、これらのマネーネスレベルを表すためにデータを補間する。有効期限は30日間固定です。データとそのフィルタリングの詳細については、次のセクションで説明します。

図 2. ビットコインの予想ボラティリティ曲線。

2020 年 1 月 1 日から 2022 年 6 月 30 日までの日次データをカバーする、30 日間の一定の満期期間を持つビットコイン オプションの暗示的ボラティリティ カーブ。アウト オブ ザ マネー オプションとアット ザ マネー オプションから導出されています。行使価格は、現在のビットコイン指数値より 30% 低い値から 30% 高い値までの範囲です。

曲線の形状は時間の経過とともに大きく変化します。 2020年3月の「ブラックサーズデー」イベントの直後、ビットコインの価格が数時間で30％以上下落したとき、インプライドボラティリティカーブは、株価指数オプションに典型的な負の歪みの形状を呈しました。つまり、アウトオブザマネーのプットオプションのボラティリティは、アウトオブザマネーのコールオプションのボラティリティよりもはるかに高くなります。ただし、一般的に、ビットコイン オプションは株価指数オプションよりもインプライド ボラティリティがはるかに高くなります。サンプル期間の大半では、インプライド・ボラティリティ曲線は「ホッケースティック」形状を示していますが、特に静かな時間帯にはわずかに左右対称のスマイル形状に平坦化しています。アウト・オブ・ザ・マネーのコールのボラティリティがアウト・オブ・ザ・マネーのプットのボラティリティよりもはるかに高い、正の歪度のケースもあります。これらの特性は、株式指数オプション市場では一般的ではなく、これらの特性を説明するために「スマイル」ではなく「スキュー」という用語がよく使用されます。この点を裏付けるために、図 3 はインプライド ボラティリティ スマイルの別の見方を示しています。これは、さまざまなレベルのマネーネスにおけるビットコインの暗黙のボラティリティ (上のグラフ) と、ATM ボラティリティからの偏差、つまり固定マネー ボラティリティと ATM ボラティリティの差 (下のグラフ) を示しています。ほとんどのサンプルでは、​​マネーネスが 0.7 のアウトオブザマネーのプットオプションのインプライドボラティリティが最も高くなります。伝統的な（株式）市場では、これらの大幅にアウトオブザマネーのプットオプションは、株価の下落に対する魅力的な保険となります。たとえば、S&P 500 では、インプライド ボラティリティ カーブの顕著でほぼ直線的に歪んだ形状は、原資産の下落後に価格が最も上昇するオプションは、最もマネー性が低いオプションであることを意味します。対照的に、図3は、2020年3月12日の暴落前は、ビットコインのインプライドボラティリティ曲線が比較的対称的であったことを示しています。 ATMオプションのボラティリティは約50%と最も低く、アウトオブザマネープットとアウトオブザマネーコールはほぼ同じボラティリティですが、どちらも高く、マネー0.7と1.3のオプションのボラティリティは約75％です。しかし、今回の暴落には明らかに非対称の笑みがあり、価格が再び急落した場合に備えて、アウト・オブ・ザ・マネーのプットオプションはリスク回避志向の投資家からより高いプレミアムを獲得した。 30日間の大幅にアウトオブザマネーのプットオプションのインプライドボラティリティは突然200%近くに跳ね上がった。ビットコインは初めて明確なマイナスの偏りを見せたが、その形状は、株式指数オプションで典型的に見られる偏りのある形状に比べると、まだずっと平坦である。この非対称性は持続しますが、インプライド・ボラティリティのレベルが低下すると、インプライド・ボラティリティ曲線の形状は再びスマイル形状になり始めます。

図 3. ビットコインのインプライドボラティリティと ATM バイアス。

この図は、期間が 30 日で、期間が 2020 年 1 月 1 日から 2022 年 6 月 30 日までのビットコイン オプションの予想ボラティリティ曲線を示しています。この曲線は、アウト・オブ・ザ・マネーおよびアット・ザ・マネーのオプションを使用して計算され、行使価格はビットコイン・インデックスの現在の値の 30% の低下から 30% の増加の範囲になります。

サンプル データに基づくと、ATM (アット ザ マネー) インプライド ボラティリティはスマイル カーブの最低点であり、ほとんどの場合、負に偏っているように見えます。しかし、株価指数オプションとは異なり、スマイルカーブはボラティリティが高い期間に顕著な正の歪度を示します。たとえば、2021年6月のビットコインの急騰時には、スマイルカーブの傾きが増加し、数か月間は正の偏りが続きました。株価指数価格とボラティリティの相関関係はほぼ常に大きく負であるのに対し、ビットコイン価格とそのインプライドボラティリティの相関関係は市場の状況に依存するようです。 2019年8月から2020年11月まで、ビットコイン価格と30日間のATMインプライドボラティリティの相関は約-0.42でした。その後5か月で相関は0.74に上昇し、2022年には相関は0.74に上昇しました。7月から11月まで2017年、価格とボラティリティの相関関係は0.08でした。

しかし、株価指数オプションのインプライドボラティリティと類似した特徴もいくつかある。(i) 図3に示すように、異なる仮想性のボラティリティは、同じ満期のアットザマネーボラティリティと高い相関関係にある。(ii)ビットコインのインプライド・ボラティリティは、ボラティリティ期間構造が、高ボラティリティの逆先物と比較的穏やかな先先物の間で定期的な変動を示していることです。図 4 は、株価指数のボラティリティ期間構造と同様に、ビットコインのインプライド ボラティリティは、逆先物期間のほとんどで変動が小さく、同様の傾向を示していることを示しています。

図4. ビットコインのインプライドボラティリティの期間構造。

2020 年 1 月 1 日から 2021 年 12 月 31 日までの、10 日、20 日、30 日の一定満期日を含むビットコイン オプションの暗黙のボラティリティ期間構造。アット・ザ・マネー オプションに基づいて計算されています。比較的穏やかな時期には、期間構造はプラスの将来を示しますが、暴落時（特に2020年3月と2021年6月）にはその逆が当てはまります。

この記事の残りの部分では、上で強調したビットコインのオプションと先物の特徴について説明します。ビットコインを長期保有している人は、大幅な価格下落から身を守るためにアウト・オブ・ザ・マネーのプットオプションを購入し、スポットポジションを適切にヘッジすることを検討するかもしれません。しかし、マーケット メーカーやその他のプロのトレーダーは、流動性プロバイダーとしてオプションのリスクをヘッジすることが非常に重要であるため、動的デルタ ヘッジに積極的に参加しています。このヘッジを実現するために BS Delta を使用することもできますが、株式オプション トレーダーの間では Smile Curve Delta 調整が普及していることを考えると、この Delta がビットコイン オプションにどの程度有効であるかを調べるのは興味深いでしょう。我々は、株式指数オプションのヘッジにおけるスマイルカーブ調整デルタの有効性について論じた文献を検討し、多くの場合、BS デルタはスマイルカーブ調整デルタと同程度に有効であることを示しました。しかし、ビットコインオプションについてこの問題を検討した研究はこれまでなく、先ほど議論したビットコインのインプライドボラティリティ曲線の非常に異なる動きと、ビットコインで利用可能な新しいヘッジ手段の配列から、単純に推測することはできないことは明らかです。ビットコイン オプションのヘッジに関する結論を導くために、株価指数オプションについて何がわかっているか。したがって、本研究の目的は、実務家が一般的に使用するさまざまなスマイルカーブ調整デルタを紹介して比較し、ヘッジ手段のさまざまな選択に基づいてビットコインオプションのヘッジエラーの標準偏差を最小限に抑える有効性を分析することです。実際、この研究は、オプション取引やヘッジが行われる取引所レベルまでさらに拡張される可能性があります。たとえば、Deribit 取引所に上場されているオプションをヘッジするには、Binance または Deribit の先物または無期限契約を使用する方が良いでしょうか?しかし、本研究ではビットコインオプションのヘッジ問題のこの詳細なレベルについては議論しません。少なくとも現時点では、本稿執筆時点では、Deribit オプション市場がビットコイン オプション取引高全体の 90% 以上を占めており、Deribit オプション マーケット メーカーとの個人的なやり取りによると、彼らはデルタ ヘッジ活動にのみ Deribit 先物プラットフォームを使用しているようです。

4. ヘッジ比率

私たちの実験設計では、1 ビットコイン相当のビットコイン指数先物に標準的なヨーロピアン オプションを作成し、一定数の先物契約でロング ポジションを取ることでヘッジします。 T 期限先物により、トレーダーは将来の時点 T に、現在合意されているビットコイン - USD 交換レートで一定量のビットコインを売買する契約を締結できます。先物とオプションの原資産は、取引不可能な複合指数である Deribit Bitcoin Index BTC です。ただし、T 満期先物契約の代わりに永久契約ポジションを使用して T 満期オプションをヘッジすることもできます。混乱を招くことなく、表記法では実行時間tを省略することができ、行使価格Kと満期日Tの逆オプションの時刻tにおける価格をf(K,T|F,σ)と表記する。ここでFはT で満期を迎える永久価格または先物価格、時刻 t、σ:=σt(K,T|F) はオプションの暗黙のボラティリティを表し、これは時刻 t におけるボラティリティでもあります。ボラティリティと原資産の関係をヘッジフレームワークに組み込むことで、BSデルタよりも正確なデルタ、つまり連鎖律に基づくスマイル調整デルタδadjを実現することを目指しています。

ここで、δBSは標準BSデ​​ルタ、νBSはBSオプション価格のボラティリティ感度（ベガ）、σF = ∂σ/∂Fは価格に対するボラティリティ感度、すなわち原資産の変化に対するインプライドボラティリティの変化である。 . . BS デルタとベガは閉形式の式を持ち、計算は簡単ですが、σF の定量化は比較的難しく、さまざまな方法があります。

私たちが議論した BS デルタの最初の調整は、市場の現状または「市場体制」に応じてローカル ボラティリティを異なる方法でパラメーター化するという異なる方法に根ざしています。局所的ボラティリティの概念は、Dupire (1994) や Derman ら (1996) による古典的な論文から始まり、幅広い学術文献で展開されてきました。ここで特に興味深いのは、株式指数オプションのヘッジの文脈でダーマン (1999) が提唱した「スティッキー モデル」です。これは、原資産価格の推移をモデル化するバイナリ ツリーのノードに、異なるローカル ボラティリティ パラメータ化を適用します。ダーマンら（1996）は、σFを行使価格に対するインプライドボラティリティの傾きとして近似することを提案した：注13

このうち、σK=∂σ/∂Kは行使価格に対するボラティリティの微分を表し、kは現在の市場メカニズムに依存するはずです。実際、ダーマン（1999）は、異なる市場体制下でのローカルなボラティリティの挙動を表すために、3つの異なる「粘着性モデル」を導入しました。スティッキーストライクモデル (SS) は、トレンドの市場状況を説明し、ボラティリティは原資産の将来の価格変動とは無関係であり、BS 仮定と同様に、各オプションに対して一定かつ同じであると仮定します。このメカニズムでは、デルタは BS デルタに等しくなります。注 14 スティッキーマネー (SM) (スティッキーデルタとも呼ばれる) モデルは、レンジ相場を想定しています。このメカニズムでは、オプションのボラティリティはその通貨価値（または同等のデルタ）のみに依存します。したがって、ローカル ボラティリティはツリーのすべてのノードで同じですが、オプションのマネー性に応じて、各オプションには異なるローカル ボラティリティを持つ異なるツリーがあります。原資産の価格が変化すると、オプションの金銭性も変化するため、オプションの価格を設定するために別のツリーに移動する必要があります。最後に、スティッキー ツリー モデル (ST) は、急激な市場下落時のローカルなボラティリティ挙動を捉えます。つまり、ボラティリティと原資産価格の間に強い負の相関関係がある場合のスマイリング カーブ調整を説明します。この隠しツリー モデルの名前は、Derman と Kani (1994) によって提案されたローカル ボラティリティ モデルに由来しています。同様に、ローカル ボラティリティは決定論的な関数ですが、ツリー内の各ノードで異なる場合があり、すべてのオプションの価格設定に同じツリーが使用されます。これら3つの異なるタイプの局所ボラティリティパラメータ化では、式（2）のkの値は、以下に示すように市場メカニズムによって異なります。

Crépey（2004）とAlexanderら（2012）はともに近似式（2）を拡張してkの状態依存性を含めた。また、Alexander et al. (2012)の式(1)と(2)をAlexander and Nogueira (2007b)の式(3)と組み合わせて代数操作を行うと、Batesのスマイル曲線( 2005) は暗黙的に、スケール不変デルタ (Alexander と Nogueira (2007a) で一般化) は粘着性貨幣 (SM) 近似と同一です。

ビットコインのボラティリティが高いため、利用可能な行使価格の範囲は時間の経過とともに大きく変化する可能性があります。したがって、より長い時間枠にわたって同じ特性を持つオプションを研究するための枠組みを提供するために、権利行使価格からイン・ザ・マネー指標に目を向けます。マネーネスmをm=K/Fと定義し、インプライドボラティリティを表すためにθ(m,T|F)=σ(mK,T|F)を使用します。 θ(m,T|F)のFとmに関する偏微分をそれぞれθF(m,T|F)とθm(m,T|F)と表すと、調整デルタ(7)は次のように書き直すことができる。

ボラティリティ価格感応度θFを推定するために、Derman（1999）が提案したローカルボラティリティ仮説を使用します。オプション価格の推移をシミュレートするために使用されるツリー構造は、安定トレンド市場 (SS)、レンジ市場 (SM)、ジャンプクラッシュ市場 (ST) の 3 つの市場モデルによって異なります。したがって、ダーマン（1999）の粘着デルタを貨幣的尺度に変換すると、（5）のκの値は市場モデルによって異なるはずである。

以前と同様に、Bates (2005) と Alexander および Nogueira (2007a) によって提案されたモデルフリー、スマイル暗黙的、スケール不変のデルタは、Derman および Kani (1994) の粘着性貨幣指標 (SM) デルタと同一です。

次に、最小分散 (MV) Delta δmv、つまりデルタヘッジポートフォリオの瞬間分散を最小化するデルタを検討します。ここでは、Bakshi et al. (1997) によって導入された、局所分散を最小化する近似法に従います。 Lee (2001) は、MV ヘッジ比率のこの調整は (SM) スマイル インプライド デルタと同じ大きさだが、符号が反対であることを示しています。

アレクサンダー（2008）の第4章や、インプライドボラティリティに関する他のテキストで詳しく説明されているように、スマイルインプライドデルタは、直感に反する「浮遊スマイル」ダイナミクスを生み出し、ボラティリティが金利と価格の相関が大きい場合、負の場合（つまり、大幅な負の偏りがある場合）、SM 調整によって生成されるヘッジ パフォーマンスは BS デルタよりも大幅に悪くなります。 MV 調整は SM 調整と反対の符号を持つため、株価指数オプションや、大幅な負の傾きを持つインプライド ボラティリティ カーブを持つオプションをヘッジする場合は、BS デルタよりも MV デルタを優先する必要があります。

最終的なスマイルカーブ調整デルタ（δhw と表記）は、Hull と White (2017) によって提案されています。これは、BS デルタ ヘッジ ポートフォリオの日次 PnL ΔP の絶対値と BS デルタの間の二次関係を経験的に推定することによって導出されます。つまり、

ここで、ΔF は先物の日次 PnL です。履歴データを使用してパラメータ推定値（aˆ、bˆ、cˆ）を取得した後、ハルとホワイト（HW）デルタは次のように計算されます。

ここで、δBS と νBS は古典的な BS デルタとベガを表します。現在の原資産価格は F で表され、その変化は ΔF で表され、τ はオプションの有効期限を表します。著者らは、36か月のローリングウィンドウを使用して推定値（aˆ、bˆ、cˆ）を計算し、2014年1月から11年間の毎日のヘッジエラーの標準偏差を最小化するHWデルタヘッジのパフォーマンスを分析します。S&P 500 およびその他の株価指数オプション。 HW Delta を使用するとパフォーマンスが最大 26% 向上することがわかりました。その他の結論は株価指数オプションのみに基づいており、HW Delta はコールに関してはプット オプションよりも優れており、アウト オブ ザ マネー オプションに関してはイン ザ マネー オプションよりも優れていると主張しています。さらに、彼らは、HW デルタは、株式指数オプションをヘッジする際に、さまざまな確率的ボラティリティおよびローカル ボラティリティ モデルから導出される他の多くのデルタよりも優れていると主張しています。

このセクションでは、株式指数オプションのヘッジやその他の従来の資産クラスに関するこれまでの研究で有効性が実証されている、BS Delta に対する一連の簡単な調整について説明します。ここで問題となるのは、ビットコイン オプション市場において、単純な BS デルタ ヘッジを上回るパフォーマンスを発揮できるかどうかだ。ビットコインのオプション市場は従来のオプション市場ほど成熟しておらず、そのボラティリティと方向性のある買い圧力はより顕著であり、マーケットメーカーはこれらの圧力からの情報に基づいて在庫のバランスを調整します。本研究で検討した BS 調整デルタ ヘッジ比率を次の 1 つの式にまとめます。

上記の内容について、以下のように説明します。

1. m=1の場合、つまりアット・ザ・マネーオプションの場合、MV調整はST調整と同じになります。それ以外の場合、m>1の場合、つまりアウト・オブ・ザ・マネーのコールオプションの場合、 MV 調整のサイズは ST 調整よりも大きくなります。m の場合、つまり、アウトオブザマネーのプットオプションでは、MV 調整のサイズは ST 調整よりも小さくなります。

2. MV調整は常�