Nous analysons la couverture dynamique robuste du delta des options Bitcoin à l'aide d'un ensemble de courbes de sourire implicites et d'autres deltas ajustés au sourire. Ces deltas sont soit sans modèle, dans le sens où ils sont les mêmes pour chaque modèle stochastique et/ou de volatilité locale invariant à l'échelle, soit ils sont basés sur de simples paramétrisations de volatilité locale dépendantes du régime. Ces deltas sont populaires parmi les teneurs de marché sur les marchés d’options pour les actifs traditionnels car ils sont faciles à mettre en œuvre. Les recherches empiriques antérieures sur la couverture delta dynamique se basaient uniquement sur les options sur indices boursiers, mais l’analyse de données uniques sur les prix historiques horaires des options Bitcoin montre que le comportement de la courbe de volatilité implicite de Bitcoin est très différent de celui des options sur indices boursiers. Pour les options d'achat et de vente avec un large univers de financement et des échéances fixes synthétiques de 10, 20 et 30 jours, nous comparons la performance de couverture dynamique de différents deltas ajustés au sourire sur deux périodes d'un an. Nous étudions également l’utilisation de contrats perpétuels plutôt que de contrats à terme standard comme instrument de couverture, car le risque de base des contrats perpétuels est bien inférieur à celui des contrats à terme calendaires. Les résultats sont présentés sous la forme d’une statistique testable du ratio de variance d’erreur couverte. Sur certaines périodes, l'utilisation du ratio de couverture implicite de la courbe du sourire peut considérablement surpasser la simple couverture Delta Black-Scholes, en particulier lors de l'utilisation de swaps perpétuels comme outil de couverture, le gain d'efficacité des options de vente hors de la monnaie peut dépasser 30 %, Lors de la couverture d'options d'achat à court terme hors de la monnaie pendant les périodes de courbes de volatilité implicite ascendantes, les gains d'efficacité moyens peuvent atteindre 15 %. Les avantages de l’utilisation de contrats perpétuels sont particulièrement évidents en 2021, notamment pour les contrats à long terme où la base est encore assez large.

Mots clés ：Couverture des produits dérivés, courbe de volatilité implicite, contrats perpétuels, financement robuste, couverture incrémentale dynamique

1. Introduction

Toute recherche sur la couverture delta dynamique est basée sur le modèle de Black et Scholes (1973). Le delta Black-Scholes (BS) ne nécessite que des dérivées partielles du prix de l'option du modèle par rapport au prix sous-jacent, puisque le modèle suppose que la corrélation entre le prix sous-jacent et sa volatilité est nulle. Cependant, il est bien connu que les options sur indices boursiers présentent une corrélation prix-volatilité importante et négative, ce qui conduit à une asymétrie significative de la courbe de volatilité implicite. Suivant l'idée de base de Bates (2005) et les résultats plus généraux d'Alexander et Nogueira (2007a), la pente de la courbe de volatilité implicite peut être utilisée pour impliquer des ajustements au BS Delta, qui est sans modèle, c'est-à-dire, elle est constante pour toute échelle indépendante. Les modèles variantes sont les mêmes. Cependant, Alexander et Nogueira (2007b) montrent que pour les instruments négociables (autres que les taux d'intérêt), chaque modèle de tarification d'options sur actions à volatilité stochastique et/ou locale devrait être invariant d'échelle, quels que soient les facteurs supplémentaires tels que les sauts ou les processus de Lévy. les caractéristiques sont. Par conséquent, toute différence entre les performances de couverture empiriques des deux modèles de volatilité paramétrique (pour les instruments négociables) est simplement due au fait que les modèles présentent des erreurs d’étalonnage différentes. La dérivée partielle delta (en fait gamma) du prix de l'option par rapport au prix de l'instrument négociable est théoriquement exactement la même que le delta invariant d'échelle sans modèle. Remarque 1 De plus, le Delta simple invariant à l'échelle proposé par Bates (2005) est plus grand (plus petit) que le Delta BS lorsque la pente de la courbe du sourire est négative (positive). Étant donné que Coleman et al. (2001) montrent que le delta BS a tendance à être sur-couvert dans un cadre de volatilité locale, lorsque la volatilité implicite est négativement biaisée, le delta invariant d'échelle sera plus sur-couvert que le delta BS.

Comme décrit par Alexander et Nogueira (2007a), la dérivée totale de variance minimale (VM) par rapport au prix est un autre delta qui prend en compte les corrélations prix-volatilité non nulles, mais elle dépend du modèle. Cependant, ces auteurs n’ont pas été en mesure de faire la distinction entre les résultats empiriques obtenus en utilisant le MV Delta sans modèle de Lee (2001) et le MV Delta basé sur différents modèles invariants d’échelle. Le delta MV de Lee (2001) est également « ajusté en fonction du sourire », c'est-à-dire qu'il ajoute un terme au delta BS qui est calibré à l'aide des caractéristiques empiriques de la courbe de sourire de volatilité implicite. Une autre façon d’ajuster le BS Delta est d’utiliser l’approche proposée dans le travail fondateur de Smile-Adjusted Delta de Derman et Kani (1994) et Derman (1999) en ajoutant un terme qui capture la corrélation prix-volatilité. Ceux-ci ne sont pas totalement indépendants du modèle, puisque le terme d’ajustement dépend de la paramétrisation de la volatilité locale, qui dépend elle-même du régime en vigueur sur le marché. Cependant, ils sont dépourvus de modèle dans la mesure où aucune hypothèse n'est faite sur les processus qui déterminent l'évolution du prix sous-jacent, comme la diffusion des sauts de volatilité locale stochastique, et il n'y a pas de paramètres qui doivent être calibrés à l'aide des prix des options et/ou des données historiques sous-jacentes. données.

Il est courant pour les teneurs de marché d'options sur actions de couvrir leur exposition en utilisant de simples ajustements sans modèle du BS Delta, car ceux-ci sont considérés comme ce que l'on appelle un « financement robuste », c'est-à-dire que le ratio de couverture est indépendant du modèle. Les courbes de sourire implicites et autres haies delta ajustées en fonction de la courbe du sourire sont particulièrement populaires parmi les praticiens, comme en témoignent de nombreux articles et forums. Remarque 2 : Il existe plusieurs études empiriques antérieures sur la couverture delta des courbes de sourire implicites et/ou des courbes ajustées au sourire, mais elles ont toutes étudié les options sur indices boursiers. Tous les résultats ne sont pas cohérents : Vähämaa (2004) montre que certains deltas ajustés par la courbe souriante surpassent les deltas BS pour les options FTSE 100, mais seulement pendant les périodes de volatilité excessive ; Crépey (2004) confirme que ces résultats s'appliquent aux options DAX 30 ; Attie ( (2017) affirme que le delta implicite du sourire surpasse systématiquement le delta BS dans la couverture des options de l'indice S&P 500 ; Alexander et al. (2012) étendent le cadre de Derman (1999) à un paramètre de commutation de Markov. pour refléter le delta ajusté correct du sourire applicable au marché actuel régime de marché, montrant que pour les options S&P 500, le BS Delta ne peut être amélioré qu'en utilisant cette extension de commutation de Markov ; François et Stentoft (2021) ont également étudié les options de l'indice S&P 500 et confirment que les ajustements standards ne peuvent pas surpasser le BS delta ou le delta-gamma haies, mais leur nouvelle courbe souriante implicite delta-gamma-vega améliore considérablement le modèle BS. On sait peu de choses sur le succès de la couverture delta ajustée au sourire par rapport aux autres types d’options. Note 3

L’objectif de cet article est d’examiner les performances de couverture delta de diverses courbes implicites Smile et d’autres courbes ajustées Smile appliquées aux options Bitcoin. Au moment de la rédaction de cet article, seule une petite quantité de recherches a été publiée sur les options Bitcoin. Siu et Elliott (2021), Jalan et al. (2021) et Chen et Huang (2021) étudient tous les applications empiriques des modèles de tarification de la volatilité stochastique, mais aucun des articles n'étudie leurs performances de couverture. Hou et al. (2020) ont considéré une série de modèles de volatilité stochastique pour évaluer les options Bitcoin. Les auteurs présentent un ensemble de résultats importants qui soulignent l'importance des sauts et des co-sauts et proposent un modèle de volatilité stochastique avec sauts corrélés (SVCJ) pour évaluer les options Bitcoin. Ces modèles sont très utiles pour évaluer les options exotiques telles que les options à cliquet ou à cliquet. Bien que Chi et Hao (2021) considèrent les stratégies de couverture delta basées sur GARCH, leurs recherches se concentrent sur la comparaison de différents modèles de prévision de la volatilité réalisée. Alexander et al. (2022b) étudient le comportement de la courbe de sourire de volatilité implicite pour les options Bitcoin afin de déduire si la pression de la demande des teneurs de marché est motivée par les traders directionnels ou les traders de volatilité. En fait, à notre connaissance, il n’existe qu’une seule autre étude détaillée sur les options de couverture Bitcoin (Matic et al., 2021), et elle utilise une approche complètement différente de celle de cet article. Matic et al. (2021) utilisent la volatilité implicite quotidienne cotée par la bourse Deribit pour calibrer la surface de volatilité implicite inspirée de la volatilité stochastique paramétrique, puis interpolent la volatilité implicite des options entre un et trois mois sans arbitrage. Volatilité. L'échantillon entre avril 2019 et mars 2020 est ensuite divisé en trois sous-périodes (marché haussier, marché calme et période COVID) en utilisant le processus de volatilité stochastique introduit par Duffie et al. (2000) et McNeil et Frey (2000). Densité du noyau de filtre GARCH pour modéliser les prix sous-jacents des crypto-monnaies. Ils comparent ensuite la performance de couverture des BS Grecs avec celle dérivée de divers modèles de saut de volatilité stochastique. Pour les options avec une expiration d'un mois, les auteurs ne trouvent pas d'améliorations significatives par rapport à la simple couverture BS, mais pour les options avec une expiration de trois mois, des modèles plus complexes améliorent considérablement les performances de couverture.

Contrairement à Matic et al. (2021), nous ne comparons pas les performances de couverture des options de différents modèles de volatilité stochastique. Un avantage pratique important de notre étude est que toutes les valeurs Delta sont très faciles à calculer. Étant donné que toutes les informations sont dérivées de la courbe de volatilité Smile de manière directe et robuste, sans modèle, aucun étalonnage du modèle n'est requis. Résultats de notre couverture delta utilisant différents ajustements BS Delta qui dépendent des conditions actuelles du marché, de la forme du sourire de volatilité implicite et/ou de la corrélation prix-volatilité.

Nous nous concentrons sur les options à court terme avec des échéances de 10 à 30 jours, qui présentent une liquidité beaucoup plus élevée et une gamme de prix d'exercice plus large que les options étudiées dans Matic et al. (2021). Nous avons choisi de procéder ainsi car les options Bitcoin avec des dates d'expiration comprises entre un et trois mois ne représentent que 20 % du volume total des transactions, tandis que les options avec des dates d'expiration de 30 jours ou moins représentent 50 % du volume total des transactions. Environ 80 % de toutes volume des échanges. De plus, nous avons besoin d'une courbe de sourire appropriée pour ajuster le BS Delta, et la plage de frappe liquide de ces options à court terme est assez large. En fait, le rapport entre la valeur monétaire des options utilisées dans notre analyse empirique varie de 0,7 à 1,3.

Nous examinons uniquement la couverture delta dynamique avec un rééquilibrage régulier, qui se produit toutes les huit heures au moment du financement ou quotidiennement à 00h00 UTC. Le choix de ce modèle expérimental est basé sur les caractéristiques du marché des options Bitcoin, qui sont nouvelles et donc expliquées en détail plus tard. Les coûts de transaction des contrats à terme sont bien inférieurs à ceux des options. Par exemple, les contrats à terme ont des spreads allant d'environ 1 à 5 points de base, selon la date d'expiration, mais les options à cours limité à court terme, qui sont souvent utilisées pour la couverture gamma, ont généralement des spreads d'environ 200 à 300 points de base. points. Par conséquent, la couverture gamma est beaucoup plus coûteuse que la couverture delta dynamique classique. Les coûts de transaction liés au rééquilibrage d’une couverture gamma peuvent éroder tout profit réalisé en réduisant l’erreur de couverture, alors que les coûts de transaction liés au rééquilibrage d’une couverture delta sont faibles, en particulier lorsque des contrats perpétuels sont utilisés comme instrument de couverture.

Ensuite, la section 2 décrit le marché des options et des contrats à terme sur Bitcoin ; la section 3 compare les caractéristiques des surfaces de volatilité implicite pour Bitcoin et les indices boursiers et distingue leurs caractéristiques ; la section 4 décrit notre cadre empirique. Chaque ratio de couverture est présenté sous la forme d'une formule BS ajustée ; La section 5 décrit nos données ; la section 6 présente les résultats empiriques ; et la section 7 conclut.

2. Options et marchés à terme sur Bitcoin

Au moment de la rédaction de cet article, six grandes bourses de crypto-monnaies proposent des options de trading en Bitcoin et dans d'autres devises, ainsi que sur certains jetons, avec un volume moyen quotidien total de transactions approchant 1 milliard de dollars en décembre 2021. En particulier, le volume des transactions sur les options Bitcoin a récemment atteint des sommets historiques, avec un volume mensuel moyen de transactions plus que doublé et un intérêt ouvert augmentant de plus de six fois de janvier 2020 à décembre 2021. La grande majorité des transactions se déroule sur la bourse d'options Deribit, qui a été délocalisée au Panama pour éviter de suivre les normes internationales établies par des agences gouvernementales telles que la Commodity Futures Trading Commission (CFTC) des États-Unis ou toute autre forme de réglementation visant à protéger les intérêts des clients. Comme de nombreuses autres bourses de produits dérivés de crypto-monnaie non réglementées, souvent enregistrées dans des paradis fiscaux offshore, la plateforme de trading de Deribit est ouverte 24h/24 et 7j/7 et adhère à peu ou pas de protocoles de « connaissance du client ». 4,3 millions de contrats (d'une valeur notionnelle d'environ 55 milliards de dollars) ont été négociés sur Deribit en 2020, et 6,2 millions de contrats (d'une valeur notionnelle d'environ 290 milliards de dollars) ont été négociés en 2021. En conséquence, en seulement deux ans, le nombre de contrats cotés a augmenté de plus de 45 % et le montant notionnel négocié sur Deribit a augmenté de plus de 430 %. Note 4 Pour mettre cela en perspective, le marché des options S&P 500 du Chicago Board Options Exchange (CBOE) n'a augmenté que d'environ 10 % entre 2020 et 2021. Note 5 Sur le marché des options Bitcoin, de nouvelles tailles de contrat, des fourchettes de prix d'exercice plus larges, des échéances plus longues et de nouveaux sous-jacents sont publiés presque chaque mois, élargissant ce marché émergent des produits dérivés aux traders particuliers et institutionnels. Faire des options Bitcoin plus qu'un simple produit de niche . En mars 2022, le Chicago Mercantile Exchange (CME) a lancé des options micro Bitcoin pour tenter de concurrencer les plateformes autorégulées ciblant les traders de détail. Mais les grands acteurs institutionnels surveillent également de très près le marché des options, certains le qualifiant même de « prochaine grande étape ». Note 6 D'autre part, les protocoles émergents de finance décentralisée (DeFi) comme Opyn ou Ribbon Finance proposent des options de trading sans suivre aucune conformité réglementaire. Avec un volume d’échange notionnel de plus de 500 millions de dollars par jour, ce n’est plus un marché que les investisseurs traditionnels peuvent ignorer.

Le volume considérable des échanges sur Deribit en fait la bourse la plus attractive pour tout type de recherche d'options de crypto-monnaie. Même si CME (et certaines autres bourses) ne répertorient que les options Bitcoin, seulement 10 à 15 % du volume de transactions d'options Bitcoin peut être attribué à ces bourses. Deribit représente à lui seul plus de 90 % du volume des transactions d'options Bitcoin. Note 7 Une raison pourrait être que Deribit fonctionne 24 heures sur 24, 7 jours sur 7, tandis que CME ne fonctionne qu'en semaine. Une autre raison pourrait être que les options Deribit sont marginalisées et réglées en Bitcoin, même si leur valeur sous-jacente est la valeur USD de l'indice BTC. Pour obtenir le paiement d'expiration, la différence entre la valeur BTC en USD et le prix d'exercice de l'option (également coté en USD) est calculée et le résultat est converti en Bitcoin en utilisant la valeur de l'indice BTC à l'expiration. Remarque 8 La différence d'unités monétaires entre le prix de règlement (c'est-à-dire Bitcoin) et le sous-jacent (c'est-à-dire USD) est très similaire au gain d'une option FX quanto, sauf qu'il n'y a pas de contrats à terme ou d'options dans la direction opposée. Autrement dit, il n’existe pas de produits dérivés sur la valeur d’un dollar de Bitcoin, ni d’options utilisant la valeur d’un dollar de Bitcoin comme valeur sous-jacente. Pour cette raison, les options Bitcoin sont appelées « options inverses » et ne sont en fait qu’un des nombreux produits dérivés inverses, y compris les contrats à terme inverses, qui sont largement négociés sur de nombreuses bourses de produits dérivés de crypto-monnaie. Ils sont attractifs car les échanges de produits dérivés sur les croisements fiat-crypto peuvent être effectués sans utiliser de monnaie fiduciaire comme garantie sur un compte sur marge ou pour le règlement d'un contrat.

La question de savoir si Bitcoin peut exister en tant que marché monétaire au sens traditionnel du terme est un sujet de débat (Sauer, 2016), mais des marchés monétaires décentralisés très actifs pour Bitcoin (et d'autres devises et jetons) existent sur de nombreux sites de farming et différents pools de liquidité. Note 9 Nous pouvons donc convertir de l'USD en Bitcoin afin de mesurer l'effet de couverture de tout modèle en USD.

Quelle que soit la méthode de couverture que vous choisissez, la couverture elle-même est simple. Le trader ouvre une position sur une option et prend une position opposée sur l’actif sous-jacent avec une taille de position égale à la valeur Delta de l’option. Sur les marchés traditionnels, l’instrument de couverture est généralement un contrat à terme ayant la même échéance que l’option, car le prix de règlement n’est pas un instrument facilement négociable. Pour l'indice BTC, étant donné qu'il est basé sur une moyenne des prix du Bitcoin sur plusieurs bourses différentes, les mêmes commentaires s'appliquent. Mais cela ne signifie pas que l’instrument de couverture doit être un contrat à terme inverse avec la même échéance que l’option, car il existe des alternatives innovantes pour choisir des instruments de couverture négociables en Bitcoin. Premièrement, il existe trois types différents de contrats à terme à échéance finie : les contrats à terme linéaires standard, qui ne sont pas différents des contrats à terme sur les classes d'actifs traditionnelles ; les contrats à terme linéaires sur Bitcoin contre des pièces stables en USD (comme Tether), qui se négocient chaque fois que le prix du stablecoin s'écarte de son ancrage au dollar américain, qui introduit un risque de base ; et des contrats à terme inverses, qui ont des propriétés similaires aux contrats à terme linéaires en USD, mais sont marginés et réglés comme des crypto-monnaies. Note 10

Les options Bitcoin disposent également d’un outil de couverture qui utilise des contrats propres au marché des crypto-monnaies. Ces contrats sont souvent appelés contrats à terme perpétuels, swaps perpétuels ou simplement « contrats perpétuels », et constituent de loin le type de dérivés de crypto-monnaie le plus populaire. Leurs prix sont étroitement liés au prix spot, utilisant un mécanisme de « financement » qui paie ou reçoit automatiquement une petite partie de la position nette toutes les huit heures. Le calcul de ce pourcentage, appelé « taux de financement », varie d’une bourse à l’autre. Note 11 Le payeur et le destinataire dépendent du fait que le prix du contrat perpétuel est supérieur ou inférieur au prix au comptant (BTC). Lorsque le prix du contrat perpétuel est supérieur au prix spot, le taux de financement est positif et les utilisateurs détenant des positions longues sur des contrats perpétuels doivent payer des frais, tandis que les utilisateurs détenant des positions courtes reçoivent des frais. L’inverse est vrai lorsque le prix du contrat perpétuel est inférieur au prix spot. Les paiements de financement réguliers entre les positions longues et courtes maintiennent le prix du contrat perpétuel très proche du prix spot.

Sur Binance, la plus grande bourse de cryptomonnaies au comptant et de produits dérivés au monde, les deux tiers des produits de trading sont des contrats à terme perpétuels. Ce ratio entre le spot et les dérivés semble être la norme sur le marché des crypto-monnaies, comme le montre le rapport CryptoCompare (2022). Au moment où nous écrivons ces lignes, huit bourses de crypto-monnaies signalent des volumes quotidiens moyens de transactions à terme dépassant 1 milliard de dollars, la majorité de ce montant étant attribuable aux contrats perpétuels. Note 12 Ici, les échanges non réglementés tels que Binance, OKEx et Bybit représentent plus de 65 % de toutes les transactions à terme. En revanche, les bourses réglementées, notamment CME et FTX US, ont une part de marché beaucoup plus faible, d’environ 25 %. Les contrats à terme Deribit ont un volume de transactions quotidien moyen de plus de 4 milliards de dollars, ce qui lui fournit suffisamment de liquidités pour considérer ces contrats à terme comme des instruments de couverture appropriés. Cependant, comme pour d’autres bourses, la majorité des échanges se fait sur des contrats perpétuels plutôt que sur des contrats à terme calendaires. Pour illustrer cela, la figure 1 illustre les montants notionnels des transactions de ces contrats enregistrés quotidiennement mais lissés à l’aide d’une moyenne mobile sur 7 jours sur une période de deux ans commençant en janvier 2020. De toute évidence, les contrats à terme perpétuels ont un volume bien plus important que les contrats à terme à échéance déterminée, même si pour ces derniers nous avons agrégé les données de volume quotidiennes pour les trois types de contrats à terme, ainsi que les données pour chaque date d'expiration. En 2021, le volume des transactions sur contrats perpétuels a presque quadruplé par rapport à l’année précédente. Le tableau 1 démontre empiriquement cette évolution des volumes d’échanges. Il montre le volume quotidien moyen et l'intérêt ouvert pour trois principaux dérivés Bitcoin sur la bourse Deribit. Les volumes et l'intérêt ouvert sur tous les produits ont augmenté de manière significative entre 2020 et 2021, probablement en raison de l'intérêt pour l'espace crypto de la part des grandes banques et des sociétés de trading pour compte propre.

Figure 1. Volume quotidien moyen des transactions sur les contrats à terme et perpétuels de Deribit.

La figure 1 montre le volume quotidien moyen des contrats perpétuels (bleu) et le volume total moyen de tous les autres contrats à terme (rouge) de janvier 2020 à janvier 2022. Le volume quotidien est calculé en multipliant le nombre total de contrats négociés sur Deribit sur une période de 24 heures par leur valeur notionnelle de 10 $, puis en prenant la moyenne des sept derniers jours. Les résultats sont en milliards de dollars américains.

Tableau 1. Volume et intérêt ouvert des produits dérivés Bitcoin de Deribit.

3. Volatilité implicite du Bitcoin

La figure 2 illustre la dynamique empirique de la courbe de volatilité implicite dérivée des options Deribit, tracée sur une période de deux ans et demi dans une structure quotidienne. L'axe de la valeur monétaire représente la courbe de volatilité impliquée par le prix des options d'achat hors de la monnaie aux options de vente hors de la monnaie, où la valeur monétaire des options de vente hors de la monnaie est de 0,7, Le moneyness des options d'achat hors de la monnaie est de 1,3 et le moneyness des options à la monnaie est de 1,3. Les options d'achat et de vente ont toutes deux un moneyness de 1, et nous interpolons les données pour représenter ces niveaux de moneyness à une période d’expiration fixe de 30 jours. Plus de détails sur les données et leur filtrage sont donnés dans la section suivante.

Figure 2. Courbe de volatilité implicite du Bitcoin.

Courbe de volatilité implicite pour les options Bitcoin avec une période d'expiration constante de 30 jours, couvrant les données quotidiennes du 1er janvier 2020 au 30 juin 2022, dérivée d'options hors de la monnaie et à la monnaie. Les prix d'exercice varient de 30 % en dessous à 30 % au-dessus de la valeur actuelle de l'indice Bitcoin sous-jacent.

La forme de la courbe varie considérablement au fil du temps. Peu de temps après l’événement du « jeudi noir » de mars 2020, lorsque le prix du Bitcoin a chuté de plus de 30 % en quelques heures, la courbe de volatilité implicite a pris une forme négativement asymétrique, typique des options sur indices boursiers. C’est-à-dire, la volatilité des options de vente hors de la monnaie est beaucoup plus élevée que celle des options d'achat hors de la monnaie. Cependant, en général, les options Bitcoin ont une volatilité implicite beaucoup plus élevée que les options sur indices boursiers. Pendant la majeure partie de la période d’échantillonnage, la courbe de volatilité implicite présente une forme de « crosse de hockey », tandis que pendant les périodes particulièrement calmes, elle s’aplatit en un léger sourire symétrique. Il existe également des cas d’asymétrie positive, où la volatilité des options d’achat hors de la monnaie est bien supérieure à celle des options de vente hors de la monnaie. Ces caractéristiques ne sont pas courantes sur le marché des options sur indices boursiers, où le terme « skew » plutôt que « smile » est souvent utilisé pour les décrire. Pour étayer ce point, la figure 3 fournit une autre vision du sourire de volatilité implicite. Il montre la volatilité implicite du Bitcoin à différents niveaux de valeur monétaire (graphique du haut), ainsi que l'écart par rapport à la volatilité ATM, c'est-à-dire la différence entre la volatilité de la monnaie fixe et la volatilité ATM (graphique du bas). Dans la plupart des échantillons, les options de vente hors de la monnaie avec un moneyness de 0,7 ont la volatilité implicite la plus élevée. Sur les marchés boursiers traditionnels, ces options de vente très hors de la monnaie constituent une assurance intéressante contre la chute des cours des actions. Par exemple, dans le S&P 500, la forme prononcée et presque linéairement asymétrique de la courbe de volatilité implicite signifie que les options dont le prix augmente le plus après une baisse de l'actif sous-jacent sont celles qui ont la plus faible valeur monétaire. En revanche, la figure 3 montre qu’avant le krach du 12 mars 2020, la courbe de volatilité implicite du Bitcoin était relativement symétrique. Les options ATM ont la volatilité la plus faible, autour de 50 %, tandis que les options de vente et les options d'achat hors de la monnaie ont à peu près la même volatilité mais sont toutes deux plus élevées, la volatilité des options hors de la monnaie étant de 0,7 et 1,3 environ 75%. Cependant, il y a eu un sourire asymétrique évident dans le krach, avec des options de vente hors de la monnaie rapportant des primes plus élevées aux investisseurs peu enclins au risque au cas où les prix chuteraient à nouveau fortement. La volatilité implicite des options de vente à 30 jours, très hors de la monnaie, a soudainement grimpé à près de 200 %. Le Bitcoin a connu pour la première fois une nette tendance négative, mais la forme est toujours beaucoup plus plate par rapport aux formes asymétriques généralement observées dans les options sur indices boursiers. Cette asymétrie persiste, mais à mesure que le niveau de volatilité implicite diminue, la forme de la courbe de volatilité implicite commence à reprendre la forme d’un sourire.

Figure 3. Volatilité implicite du Bitcoin et biais ATM.

La figure montre la courbe de volatilité implicite pour les options Bitcoin avec une durée de 30 jours et une plage horaire du 1er janvier 2020 au 30 juin 2022. La courbe est calculée à l'aide d'options hors de la monnaie et à la monnaie, avec des prix d'exercice allant d'une baisse de 30 % à une augmentation de 30 % de la valeur actuelle de l'indice Bitcoin.

Sur la base de nos données d'échantillon, la volatilité implicite ATM (at the money) semble être le point le plus bas de la courbe du sourire et est négativement biaisée la plupart du temps. Cependant, contrairement aux options sur indices boursiers, la courbe souriante présente une asymétrie positive significative pendant les périodes de forte volatilité. Par exemple, lors du rallye du Bitcoin en juin 2021, la pente de la courbe du sourire a augmenté et est restée positivement biaisée pendant plusieurs mois. Alors que la corrélation entre les prix des indices boursiers et la volatilité est presque toujours importante et négative, la corrélation entre les prix du Bitcoin et sa volatilité implicite semble dépendre des conditions du marché. D'août 2019 à novembre 2020, la corrélation entre le prix du Bitcoin et la volatilité implicite ATM sur 30 jours était d'environ -0,42 ; au cours des cinq mois suivants, la corrélation est passée à 0,74 ; et en 2022, la corrélation est passée à 0,74. De juillet à novembre En 2017, la corrélation entre le prix et la volatilité était de 0,08.

Cependant, certaines caractéristiques sont similaires à celles de la volatilité implicite des options sur indices boursiers : (i) la volatilité des différentes virtualités est fortement corrélée à la volatilité à parité de la même échéance, comme le montre la figure 3 ; (ii) la volatilité implicite des options sur indices boursiers est fortement corrélée à la volatilité à parité de la même échéance, comme le montre la figure 3 ; La structure des termes de volatilité montre des fluctuations régulières entre les contrats à terme inversés à forte volatilité et les contrats à terme à terme relativement calmes. La figure 4 montre que, de manière similaire à la structure des termes de volatilité des indices boursiers, la volatilité implicite du Bitcoin présente des fluctuations plus faibles et des tendances similaires pendant la majeure partie de la période des contrats à terme inverses.

Figure 4. Structure des termes de volatilité implicite de Bitcoin.

La structure à terme de la volatilité implicite des options Bitcoin, y compris les dates d'expiration constantes de 10, 20 et 30 jours, du 1er janvier 2020 au 31 décembre 2021, calculée sur la base d'options à la monnaie. Durant les périodes relativement calmes, la structure par terme montre des futurs positifs, alors que durant les krachs (notamment en mars 2020 et juin 2021), c'est l'inverse qui se produit.

Nous commençons le reste de cet article en utilisant les caractéristiques des options et des contrats à terme Bitcoin que nous avons soulignées ci-dessus. Un détenteur de Bitcoin à long terme peut acheter une option de vente hors de la monnaie pour se protéger contre une baisse de prix significative et envisager de couvrir la position au comptant de manière appropriée. Cependant, les teneurs de marché et autres traders professionnels participent activement à la couverture delta dynamique, car la couverture du risque des options est essentielle pour eux en tant que fournisseurs de liquidités. Ils pourraient utiliser BS Delta pour réaliser cette couverture, mais étant donné la prévalence de l'ajustement Smile Curve Delta parmi les traders d'options sur actions, il serait intéressant d'examiner l'efficacité de ce Delta pour les options Bitcoin. Nous avons examiné la littérature qui traite de l’efficacité du delta ajusté par la courbe souriante pour la couverture des options sur indices boursiers et avons montré que dans de nombreux cas, le delta BS est aussi efficace que n’importe quel delta ajusté par la courbe souriante. Cependant, aucune recherche antérieure n'a exploré cette question pour les options Bitcoin, et il est clair - d'après le comportement très différent de la courbe de volatilité implicite Bitcoin que nous venons de discuter et l'éventail de nouveaux instruments de couverture disponibles pour Bitcoin - que nous ne pouvons pas simplement extrapoler ce que l'on sait des options sur indices boursiers pour tirer des conclusions sur les options de couverture Bitcoin. Par conséquent, le but de cette étude est d'introduire et de comparer différents deltas ajustés de la courbe souriante couramment utilisés par les praticiens pour analyser leur efficacité à minimiser l'écart type des erreurs de couverture des options Bitcoin en fonction de différents choix d'instruments de couverture. En fait, ces recherches pourraient même être étendues au niveau des bourses où ont lieu les transactions d’options et/ou de couverture. Par exemple, est-il préférable d’utiliser les contrats à terme ou perpétuels de Binance ou de Deribit pour couvrir les options cotées sur la bourse Deribit ? Mais nous ne discutons pas de ce niveau détaillé du problème de couverture des options Bitcoin dans cette étude. Au moins actuellement, au moment de la rédaction de cet article, le marché des options Deribit représente plus de 90 % de tout le volume des options Bitcoin, et les communications personnelles avec les teneurs de marché des options Deribit indiquent qu'ils n'utilisent la plateforme à terme Deribit que pour les activités de couverture delta.

4. Ratio de couverture

Dans notre conception expérimentale, nous écrivons une option européenne standard sur des contrats à terme sur indice Bitcoin d'une valeur d'un Bitcoin et la couvrons en prenant une position longue sur un certain nombre de contrats à terme. Les contrats à terme expirant en T permettent aux traders de conclure un accord pour acheter ou vendre une certaine quantité de Bitcoin à un moment futur T à un taux de change Bitcoin-USD désormais convenu. L'actif sous-jacent des contrats à terme et des options est le Deribit Bitcoin Index BTC, qui est un indice composite non négociable. Cependant, nous pouvons également couvrir les options d’expiration T avec une position de contrat perpétuel au lieu d’un contrat à terme d’expiration T. Nous pouvons omettre le temps d'exécution t dans notre notation sans provoquer de confusion, et nous désignons le prix à l'instant t d'une option inverse avec un prix d'exercice K et une date d'expiration T comme f(K,T|F,σ), où F est Le prix perpétuel ou prix à terme expirant à T, à l'instant t, σ:=σt(K,T|F) représente la volatilité implicite de l'option, qui est également la volatilité à l'instant t. En intégrant la relation entre la volatilité et l'actif sous-jacent dans notre cadre de couverture, nous visons à obtenir un delta plus précis que le delta BS, à savoir le delta δadj ajusté par le sourire basé sur la règle de la chaîne.

Où δBS est le delta BS standard, νBS est la sensibilité à la volatilité du prix de l'option BS (vega), et σF = ∂σ/∂F est la sensibilité à la volatilité au prix, c'est-à-dire la variation de la volatilité implicite aux variations de l'actif sous-jacent . . Bien que BS delta et vega aient des formules fermées et soient faciles à calculer, la quantification de σF est relativement difficile et il existe de nombreuses méthodes différentes.

Le premier ajustement du delta BS dont nous avons discuté trouve ses racines dans différentes manières de paramétrer la volatilité locale différemment selon l’état actuel du marché ou le « régime du marché ». Le concept de volatilité locale a été développé dans un large éventail de littérature académique, à commencer par les articles classiques de Dupire (1994) et Derman et al. (1996). Le « modèle collant », préconisé par Derman (1999) dans le contexte de la couverture des options sur indices boursiers, qui applique différentes paramétrisations de volatilité locale aux nœuds d’un arbre binaire modélisant l’évolution du prix de l’actif sous-jacent, présente ici un intérêt particulier. Derman et al. (1996) ont proposé d'approcher σF comme la pente de la volatilité implicite par rapport au prix d'exercice : Note 13

Parmi eux, σK=∂σ/∂K représente la dérivée de la volatilité par rapport au prix d'exercice, et k devrait dépendre du mécanisme actuel du marché. En fait, Derman (1999) a introduit trois « modèles de rigidité » différents pour représenter le comportement de la volatilité locale sous différents régimes de marché. Le modèle Sticky Strike (SS) décrit une situation de marché en tendance et suppose que la volatilité est indépendante des mouvements de prix futurs de l'actif sous-jacent et, comme l'hypothèse BS, est constante et la même pour chaque option. Dans ce mécanisme, delta est égal au delta BS. Note 14 Le modèle Sticky Money (SM) (parfois également appelé Sticky Delta) considère un marché limité par une fourchette. Dans ce mécanisme, la volatilité d’une option dépend uniquement de sa valeur monétaire (ou de manière équivalente de son delta). Par conséquent, la volatilité locale est la même à chaque nœud de l'arbre, mais chaque option a un arbre différent avec une volatilité locale différente, en fonction de la valeur monétaire de l'option. À mesure que le prix de l’actif sous-jacent change, la valeur monétaire de l’option change et nous devons passer à un arbre différent pour évaluer l’option. Enfin, le modèle Sticky Tree (ST) capture le comportement de la volatilité locale lors des baisses rapides du marché, c'est-à-dire qu'il décrit un ajustement de la courbe souriante lorsqu'il existe une forte corrélation négative entre la volatilité et le prix de l'actif sous-jacent. Le nom de ce modèle d’arbre caché vient du modèle de volatilité locale proposé par Derman et Kani (1994). De même, la volatilité locale est une fonction déterministe, mais elle peut être différente à chaque nœud de l’arbre, et le même arbre est utilisé pour évaluer toutes les options. Dans ces trois types différents de paramétrisation de la volatilité locale, la valeur de k dans la formule (2) sera différente selon le mécanisme du marché, comme indiqué ci-dessous :

Crépey (2004) et Alexander et al. (2012) ont tous deux étendu l’approximation (2) pour inclure la dépendance de l’état de k. Notons également qu'en combinant les équations (1) et (2) d'Alexander et al. (2012) avec l'équation (3) d'Alexander et Nogueira (2007b) et en effectuant quelques manipulations algébriques, on peut constater que la courbe du sourire de Bates ( 2005) est implicitement Le delta invariant d'échelle (généralisé dans Alexander et Nogueira (2007a)) est identique à l'approximation de l'argent collant (SM).

Compte tenu de la forte volatilité du Bitcoin, la gamme des prix d’exercice disponibles peut varier considérablement au fil du temps. Par conséquent, pour fournir un cadre permettant d’étudier les options présentant les mêmes caractéristiques sur une période plus longue, nous passons des prix d’exercice aux indicateurs in-the-money. Nous définissons la monétisation m comme m=K/F, et utilisons maintenant θ(m,T|F)=σ(mK,T|F) pour représenter la volatilité implicite. En désignant les dérivées partielles de θ(m,T|F) par rapport à F et m comme θF(m,T|F) et θm(m,T|F) respectivement, nous pouvons réécrire le delta ajusté (7) comme :

Nous utilisons l’hypothèse de volatilité locale proposée par Derman (1999) pour estimer la sensibilité volatilité-prix θF. La structure arborescente utilisée pour simuler l'évolution du prix des options différera en fonction des trois modèles de marché possibles : Stable Trend Market (SS), Range Market (SM) et Jump Crash Market (ST). Par conséquent, en convertissant le delta collant de Derman (1999) en une mesure monétaire, la valeur de κ dans (5) devrait être différente selon le modèle de marché.

Comme précédemment, le Delta sans modèle, implicite au sourire et invariant à l'échelle proposé par Bates (2005) et Alexander et Nogueira (2007a) est identique au Delta de mesure de l'argent collant (SM) de Derman et Kani (1994).

Ensuite, nous considérons la variance minimale (VM) Delta δmv, c’est-à-dire le Delta qui minimise la variance instantanée du portefeuille de couverture Delta. Nous suivons ici une approximation introduite par Bakshi et al. (1997) qui minimise la variance locale. Lee (2001) montre que cet ajustement du ratio de couverture MV est de la même ampleur que le delta implicite Smile (SM), mais de signe opposé, c'est-à-dire :

Comme expliqué en détail dans le chapitre 4 d'Alexander (2008), et également dans d'autres textes sur la volatilité implicite, le delta implicite du sourire crée une dynamique de « sourire flottant » contre-intuitive qui signifie également que lorsque la volatilité Lorsque la corrélation taux-prix est importante et négatif (c'est-à-dire qu'il existe une asymétrie négative significative), la performance de couverture produite par l'ajustement SM est nettement pire que celle du BS Delta. Étant donné que l'ajustement MV a un signe opposé à l'ajustement SM, le delta MV doit être préféré au delta BS lors de la couverture des options sur indices boursiers et de toute option avec une courbe de volatilité implicite présentant une pente négative significative.

Notre ajustement final de la courbe du sourire Delta, noté δhw, est proposé par Hull et White (2017). Il est dérivé de l'estimation empirique de la relation quadratique entre la valeur absolue du PnL ΔP quotidien du portefeuille de couverture BS Delta et le BS Delta. C'est-à-dire:

où ΔF est le PnL quotidien des contrats à terme. Après avoir obtenu des estimations de paramètres (aˆ, bˆ, cˆ) à l'aide de données historiques, le delta de Hull et White (HW) est calculé comme suit :

où δBS et νBS représentent le BS classique Delta et vega. Le prix sous-jacent actuel est noté F, sa variation est notée ΔF et τ représente l'heure d'expiration de l'option. Les auteurs calculent les estimations (aˆ, bˆ, cˆ) en utilisant une fenêtre glissante de 36 mois, puis analysent la performance de la couverture HW Delta pour minimiser l'écart type de l'erreur de couverture quotidienne pour une période de 11 ans commençant en janvier 2014. S&P 500 et autres options sur indices boursiers. Ils ont découvert que l’utilisation de HW Delta pouvait améliorer les performances jusqu’à 26 %. D'autres conclusions sont basées uniquement sur les options sur indices boursiers et soutiennent que HW Delta surpasse les options de vente pour les appels et surpasse les options dans la monnaie pour les options hors de la monnaie. En outre, ils affirment que le HW Delta surpasse de nombreux autres deltas dérivés de divers modèles de volatilité stochastique et de volatilité locale lors de la couverture des options sur indices boursiers.

Cette section couvre une série d’ajustements simples du BS Delta qui ont prouvé leur efficacité dans des recherches antérieures sur la couverture des options sur indices boursiers et d’autres classes d’actifs traditionnelles. La question est maintenant de savoir s’ils peuvent également surpasser la simple couverture BS Delta sur le marché des options Bitcoin. Le marché des options Bitcoin est moins mature que les marchés d'options traditionnels, et sa volatilité et sa pression d'achat directionnelle sont plus importantes, et les teneurs de marché rééquilibrent leurs inventaires en fonction des informations provenant de ces pressions. Nous résumons les ratios de couverture delta ajustés BS considérés dans cette étude dans la formule unique suivante :

Nous expliquons le contenu ci-dessus comme suit :

Lorsque m=1, c'est-à-dire dans une option à la monnaie, l'ajustement MV est le même que l'ajustement ST ; sinon, lorsque m>1, c'est-à-dire dans une option d'achat hors de la monnaie, la taille de l'ajustement MV est supérieure à l'ajustement ST ; lorsque m<1, c'est-à-dire, dans une option de vente hors de la monnaie, la taille de l'ajustement MV est inférieure à l'ajustement ST ;
L'ajustement MV est toujours de taille égale et de direction opposée à l'ajustement SM, et le delta SM est également le delta invariant d'échelle (SI) sans modèle d'Alexander et Nogueira (2007a), c'est-à-dire le delta de tout type de processus de saut de volatilité stochastique dans les prix des options Bitcoin ;
Les signes des ajustements ST, SM et MV dépendent de la pente de la courbe de volatilité implicite, θm. Lorsque la pente est négative, les deltas MV et ST sont inférieurs au delta BS/SS, tandis que le delta SM/SI est supérieur au delta BS/SS. Lorsque la pente est positive, MV et ST Delta sont supérieurs à BS/SS Delta, tandis que SM/SI Delta est inférieur à BS/SS Delta.

5. Données

Nous avons créé une base de données unique en prenant des instantanés horaires des données du marché des options Deribit sur une période de plusieurs années à l'aide de l'API d'échange. Ces données contiennent les informations du carnet d'ordres de niveau 1 pour toutes les options, contrats à terme et contrats perpétuels. Dans cet article, nous utilisons uniquement des données avec des fréquences de huit heures et quotidiennes, couvrant une période de deux ans du 1er janvier 2020 au 1er janvier 2022.

La figure 5 représente le prix de règlement quotidien de l'indice BTC (c'est-à-dire le prix à 00h00 UTC) et le volume total de toutes les options et contrats perpétuels négociés sur Deribit au cours des dernières 24 heures (en montants notionnels, en milliards de USD). . Les contrats à terme ne sont pas inclus ici car leurs volumes de négociation sont bien inférieurs à ceux des contrats perpétuels et des options, comme le montre la figure 1. Au cours de l'année 2020, l'indice BTC a augmenté relativement lentement, passant de niveaux autour de 7 000 $ jusqu'à la première grande période haussière qui a débuté en novembre 2020, la valeur de l'indice atteignant près de 28 000 $ à la fin de 2020. En 2021, l'indice BTC a doublé de janvier (environ 28 000 $) à mi-avril 2021 (environ 59 000 $), puis a chuté de près de 50 % jusqu'à retomber à 30 000 $ à la mi-juillet. Il a atteint un sommet historique d'environ 69 000 $ le 8 novembre 2021. Le panneau central de la figure 5 montre qu'au cours de l'année 2020, le volume total des transactions sur 24 heures de toutes les options sur Deribit était relativement faible, dépassant à peine 500 millions de dollars. Cependant, en 2021, les marchés ont été clairement volatils ou en tendance, avec des volumes d'options quotidiens atteignant 3 milliards de dollars en moyenne. Le nombre de contrats d’options différents négociés a également presque doublé, passant de 4,3 millions en janvier 2021 à 6,2 millions à la fin de l’année. Le graphique ci-dessous montre le volume quotidien des transactions des contrats perpétuels, qui ont connu une activité commerciale plus élevée en 2021, en particulier au premier semestre de l'année. Il est intéressant de noter que la croissance des échanges de contrats perpétuels a été plus faible que celle des options au cours du second semestre 2021. Ce dernier est probablement dû à l’introduction d’un certain nombre de nouveaux contrats fin 2020 et début 2021, que les traders ont progressivement adoptés pour la couverture gamma et vega. Cela a peut-être allégé la pression sur la couverture delta dynamique extrêmement active au cours du second semestre 2021. En fait, comme le montre la figure 1, les volumes de transactions pour les contrats à terme ont également diminué au cours des six derniers mois de 2021, encore plus que pour les contrats perpétuels. Quoi qu’il en soit, le constat que les tendances commerciales en 2020 et 2021 étaient si différentes nous a incités à décider de diviser l’échantillon en deux périodes d’un an.

Figure 5. Évolution de l’indice BTC et du volume quotidien des échanges de produits dérivés.

Le graphique ci-dessus montre le prix de l'indice BTC à 00h00 UTC quotidiennement pour une période d'échantillonnage de deux ans commençant le 1er janvier 2020 (en haut, graphique bleu) ; le volume total correspondant sur 24 heures de toutes les options sur Deribit (au centre, noir) graphique) ; et le volume quotidien des échanges de contrats perpétuels (en bas, graphique rouge). La valeur de l'indice BTC est en unités de 10 000 $ et le volume des transactions est en milliards de dollars.

Alexander et al. (2022b) documentent de nombreuses différences entre les marchés d’options Bitcoin et S&P 500. L’une des principales différences réside dans la proportion d’options courtes, moyennes et longues négociées. Les options d’un mois sur le S&P 500 sont relativement à court terme, car la plupart des transactions ont lieu entre un et trois mois d’expiration. Cependant, une option Bitcoin avec une date d’expiration d’un mois entre dans la catégorie à plus long terme. Pour mettre cela en perspective, la figure 6 illustre la proportion de contrats négociés par heure d’expiration sur Deribit. La ligne continue sur l’échelle de droite représente le nombre de transactions pour tous les contrats expirant. Pour plus de clarté, nous présentons ces données en utilisant des moyennes hebdomadaires sur une fenêtre glissante. La tendance saisonnière de la proportion d'options à court terme (jusqu'à deux semaines) est le résultat de la politique de programmation des émissions, selon laquelle, à moins qu'une option mensuelle ou trimestrielle standard n'expire au cours de cette semaine (ou de ces deux semaines), une option Des options à échéance d'une semaine (et/ou de deux semaines) seront émises pour la semaine en cours (ou les deux semaines). Sur l'échelle de gauche, nous présentons la part des maturités à court terme (jusqu'à deux semaines), à moyen terme (entre deux semaines et un mois) et à long terme (plus d'un mois). Pour ce faire, nous regroupons tous les contrats négociés au cours de la journée dans chaque catégorie d'expiration et les présentons sous forme de pourcentage de tous les contrats négociés, en utilisant à nouveau une moyenne hebdomadaire sur une fenêtre mobile pour plus de clarté. Outre ce schéma saisonnier, sur l’ensemble de la période de deux ans, seulement 15 à 20 % des transactions ont été effectuées sur des options avec des dates d’expiration supérieures à un mois. Malgré l’augmentation du nombre de contrats négociés dans notre échantillon, la proportion de contrats avec des dates d’expiration de plus d’un mois est restée relativement stable, tout comme la proportion d’options à court terme expirant dans les deux semaines. En fait, environ 60 % de tous les contrats négociés se situent dans ces périodes d’expiration à très court terme. 20 à 25 % supplémentaires des contrats négociés correspondent à des options « à moyen terme » avec des périodes d’expiration comprises entre deux semaines et un mois. Étant donné que les options avec une période d’expiration d’un mois représentent 80 à 85 % de l’ensemble du volume des transactions sur Deribit, nous avons décidé de concentrer nos recherches de couverture sur ces options. Les options avec des échéances supérieures à un mois présentent trop de prix obsolètes pour être utiles dans notre analyse empirique, même à des fréquences horaires. Cela nous incite à considérer une option dans chacune des catégories d’expiration documentées ci-dessus. Pour faciliter la comparaison, nous avons sélectionné des options d’expiration constante de 10, 20 et 30 jours comme objets de recherche, chacune d’entre elles étant un proxy pour les trois principales catégories d’expiration.

Fig. 6. Date d’expiration des options négociées.

L'échelle de gauche montre la proportion d'options à court terme (jusqu'à deux semaines, gris foncé), d'options à moyen terme (entre deux semaines et un mois, gris moyen) et d'options à long terme (plus d'un mois, (gris clair) dans le volume total des échanges. La ligne noire (échelle de droite) représente le nombre total de contrats d’options négociés. Toutes les séries sont des moyennes hebdomadaires mobiles de données quotidiennes.

Nous discutons ensuite du filtrage des données. Même si nous nous concentrons uniquement sur les options avec une date d'expiration d'un mois, nous devons toujours filtrer certains prix obsolètes, c'est-à-dire les prix des options qui ont eu un volume de transactions nul au cours des dernières 24 heures. La liquidité est également un problème clé pour les données sur les contrats à terme à expiration limitée, car les prix à terme obsolètes peuvent entraîner des erreurs dans le calcul du delta de l'option. Par conséquent, nous préférons utiliser la relation de parité call-put (PCP) pour déduire le prix à terme correct plutôt que d'utiliser le prix du marché comme nous le faisons pour les contrats perpétuels très liquides. Si nécessaire, nous filtrons les prix moyens des options qui violent la condition de non-arbitrage proposée par Fengler (2009) et dérivons la volatilité implicite à partir des prix restants. Il convient de noter que la liquidité et l'activité de négociation des options OTM sont beaucoup plus élevées que celles des options ITM avec le même prix d'exercice, nous utilisons donc la volatilité implicite des options de vente pour calculer le cas de m<1, et utilisons la volatilité implicite des options d'achat. La volatilité est utilisée pour calculer le cas où m ≥ 1. Il est important de noter que la différence entre la volatilité implicite des options d’achat et de vente ATM est presque négligeable. Cela nous permet de créer une grille brute à partir de la surface de volatilité implicite du marché, puis d'interpoler pour obtenir des prix filtrés comme décrit ci-dessous.

Pour obtenir une série historique continue du prix de chaque option, nous construisons les prix de contrats synthétiques à expiration constante de date d'expiration et de propriétés monétaires données. Les options à court terme sont représentées par une date d'expiration fixe de 10 jours, le moyen terme est de 20 jours, tandis que pour le long terme nous considérons une date d'expiration de 30 jours. Étant donné que les prix du Bitcoin subissent souvent des changements de tendance, il est impossible de comparer le même prix d’exercice sur une longue période, nous avons donc également sélectionné une gamme appropriée de propriétés monétaires pour l’interpolation. Nous trouvons un volume important dans une fourchette de prix d'exercice d'environ 30 % au-dessus et en dessous des niveaux du Bitcoin. Par conséquent, nous interpolons les prix des options synthétiques pour chaque échéance constante et propriété monétaire m∈{0,7,0,8,0,9,1,1,1,1,2,1,3} Note 15. En fait, nous utilisons la méthode d'interpolation sur la surface de volatilité implicite sous la limite de non-arbitrage proposée par Fengler (2009), qui propose également une méthode d'interpolation par spline cubique naturelle pour lisser la surface de volatilité implicite. Cependant, la forme de la courbe de volatilité implicite du Bitcoin varie beaucoup plus que celle des autres types d’options, et nous constatons que l’interpolation par spline cubique est trop flexible et sensible aux grands intervalles entre certains prix d’exercice. Par conséquent, nous utilisons des polynômes Hermite cubiques par morceaux préservant la forme pour interpoler la surface de volatilité implicite et vérifier le prix par la suite pour garantir que la contrainte de non-arbitrage de convexité par rapport au prix d'exercice n'est pas violée. Cette technique a été appliquée dans de nombreuses autres études universitaires, telles que Malz (1997) et Bliss et Panigirtzoglou (2002).

Tout d'abord, nous interpolons la courbe de volatilité implicite du sourire pour obtenir une volatilité implicite de monétisation constante sous la restriction de non-arbitrage proposée par Fengler (2009) en utilisant des polynômes Hermite cubiques par morceaux préservant la forme. Ensuite, nous obtenons la volatilité implicite des options à expiration constante et à valeur monétaire constante en interpolant la structure des termes de volatilité et utilisons cette volatilité implicite pour créer des prix d'options synthétiques Note 16. Pour éviter toute possibilité d’arbitrage calendaire, nous veillons à ce que la variance totale implicite augmente avec la date d’expiration. Pour évaluer la performance de couverture, nous devons également enregistrer le prix de chaque option synthétique dans un incrément de temps sans modifier le straddle utilisé pour construire l'option correspondante. Seul ce cadre nous permet d’enregistrer les gains et les pertes d’un portefeuille de couverture dynamique. Nous avons donc créé des contrats à terme et des options synthétiques en utilisant les méthodes qui viennent d'être décrites pour obtenir des prix d'option et de valeur monétaire mis à jour avec des dates d'expiration de 9, 19 et 29 jours pour l'ensemble de données quotidien. De même, dans l’ensemble de données de 8 heures, nous construisons des contrats à terme et des options avec des dates d’expiration de 8 heures inférieures à 10, 20 et 30 jours. Au total, nous avons généré environ 175 000 prix d’options synthétiques à fréquence quotidienne et 88 000 ratios de couverture, ainsi que plus de 525 000 prix d’options synthétiques à fréquence de 8 heures et plus de 263 000 ratios de couverture.

Ensuite, nous examinerons certaines caractéristiques empiriques des contrats perpétuels Bitcoin et les comparerons aux contrats à terme à expiration fixe avant de passer à notre étude de couverture. Le prix de règlement des options Bitcoin n’est pas un contrat négociable, nous devons donc utiliser des contrats à terme ou perpétuels comme outils de couverture. Dans ce cas, l’efficacité de l’utilisation de contrats à terme pour couvrir les options dépend de facteurs tels que la variabilité de la base. Pour illustrer cette variabilité, la figure 7 représente la différence entre le prix du marché à terme (ou contrat perpétuel) et l’indice BTC, divisé par l’indice BTC. Cette base de pourcentage est exprimée en points de base (pb), l'échelle de gauche étant celle des trois contrats à terme synthétiques à échéance fixe et l'échelle de droite étant la base relative au contrat perpétuel. En raison du mécanisme de taux de financement, le risque de base des contrats à terme perpétuels est très faible – moins de ±10 pb la plupart du temps. Mais il est également très volatil : par exemple, lors du krach du COVID en mars 2020, la base perpétuelle a atteint près de -150 pb. Les contrats perpétuels présentent très peu de risque de base, ce qui suggère qu'ils peuvent constituer un meilleur outil de couverture que les contrats à terme calendaires avec la même date d'expiration d'option. Contrairement à la base perpétuelle, la base des contrats à terme à expiration fixe est presque toujours positive. Pour les contrats à terme à 10 jours, la base peut atteindre 100 points de base, tandis que pour les contrats à terme à plus long terme, la base peut même atteindre 450 points de base. De plus, comme on peut le voir sur ce graphique, les courbes des contrats à terme à 10, 20 et 30 jours sont généralement en prime positive - en fait, l'ordre est F30>F20>F10 sur 620 des 730 jours échantillonnés, et uniquement en mars 2020 L'ordre change-t-il ? L'action inverse s'est produite en juin/avril (le krach du COVID et ses conséquences) et en juin/juillet 2021 (la fin de la longue période haussière du Bitcoin).

Figure 7. Différences entre les contrats au comptant et perpétuels et les contrats à terme.

Le prix à terme moins l'indice BTC, divisé par l'indice BTC, exprimé en points de base. L'échelle de droite mesure le pourcentage de base pour les contrats à terme perpétuels (noir) et l'échelle de gauche mesure le pourcentage de base pour les contrats à terme avec des dates d'expiration fixes de 10, 20 et 30 jours (bleu, rouge et vert, respectivement). L'échantillon couvre une période de deux ans commençant en janvier 2020, avec des instantanés quotidiens pris à minuit UTC.

Un autre facteur qui affecte le succès d’une stratégie d’arbitrage delta dynamique sont les coûts de transaction. Si l'écart acheteur-vendeur de l'instrument couvert est important, un rééquilibrage fréquent de l'arbitrage delta (dans notre cas, pas seulement quotidiennement mais toutes les 8 heures) peut éroder la performance de la couverture. Cependant, pour une option donnée, le delta ne peut pas varier entre des valeurs extrêmement différentes, par exemple, une option d'achat proche de la valeur à prix coûtant aura toujours un delta proche de 0,5, quel que soit le modèle utilisé - voir Vähämaa (2004) pour un exemple. exemple. Par conséquent, différentes valeurs delta peuvent avoir un impact significatif sur la performance de la couverture uniquement lorsque l’écart acheteur-vendeur est important. Cependant, les écarts entre les cours acheteur et vendeur sur les contrats à terme perpétuels sont serrés, et même les écarts entre les cours acheteur et vendeur sur les contrats à terme calendaires sont serrés. Pour les contrats à terme perpétuels, l'écart acheteur-vendeur dépasse rarement un tick minimum de 0,50 $, ce qui équivaut à 0,1 à 0,25 point de base, selon le niveau de prix. Les contrats à terme calendaires présentent des écarts acheteur-vendeur légèrement plus importants et augmentent avec la date d'expiration, mais ces écarts sont également très faibles dans notre échantillon. Même pour les contrats à terme à échéance la plus longue, les spreads dépassent rarement 5 points de base et se situent la plupart du temps autour de 1 point de base. Un écart aussi faible a peu d’impact sur nos comparaisons entre différentes valeurs delta, nous l’ignorerons donc dans l’étude empirique suivante.

6. Recherche empirique sur la couverture

Inspirés par notre discussion dans les sections 2, 3 et 5, nous traitons les options inverses comme des options FX classiques, c'est-à-dire que nous utilisons la valeur actuelle de l'option sous-jacente pour convertir son prix Bitcoin en sa valeur USD correspondante. Nous choisissons des dates d'expiration fixes de 10, 20 et 30 jours pour les prix des contrats à terme et des options synthétiques continus, et la valeur monétaire des options est choisie entre 0,7 et 1,3. Nos données sont construites pour des couvertures qui sont rééquilibrées toutes les 8 heures ou quotidiennement, et l'échantillon couvre une période de deux ans du 1er janvier 2020 au 1er janvier 2022, divisée en deux périodes d'un an. Échantillons pour montrer les résultats. A chaque instant t, nous vendons une option européenne de devise m et de date d'expiration T, et la couvrons avec un contrat perpétuel ou un contrat à terme de même date d'expiration que l'option. Les gains et les pertes sont comptabilisés comme des erreurs de couverture en termes physiques, en de la manière habituelle – voir, par exemple, Hull et White (2017). La volatilité du marché intrajournalier peut être très importante et le rééquilibrage entraîne des coûts de transaction très faibles, comme indiqué précédemment. Nous avons donc fixé la fréquence de base du tableau des résultats à toutes les 8 heures. Nous faisons également correspondre le rééquilibrage de 8 heures aux heures de financement des contrats perpétuels, qui sont 00h00, 08h00 et 16h00 UTC. En effet, le rééquilibrage utilisant des contrats perpétuels à des fins de couverture peut également être utilisé pour tirer profit de ses paiements de financement. Note 17

À l’exception du delta HW, tous les deltas de (10) nécessitent que nous calculions la pente de la courbe de volatilité implicite lors du rééquilibrage du portefeuille de couverture. Nous avons étudié diverses techniques numériques pour calculer la dérivée de la courbe de volatilité implicite et avons constaté que l’ajustement d’un polynôme cubique est l’approche la plus simple et la plus précise. Sur la base des valeurs de pente que nous avons calculées numériquement, pour chaque option, en fonction de son potentiel monétaire et de sa date d'expiration, nous appliquons (10) pour calculer le delta et le vega BS en utilisant la formule BS standard. Pour le delta de Hull et White (2017), nous n’imitons pas leur période d’étalonnage de 36 mois dans l’échantillon qu’ils utilisent dans leur travail empirique sur les options sur indices boursiers. Il n’y a même pas 36 mois de données utiles disponibles pour les options Bitcoin. De plus, les prix du Bitcoin sont beaucoup plus volatils que la valeur du S&P 500, c'est pourquoi nous aimerions envisager de nous couvrir plusieurs fois par jour. En tenant compte de tous ces facteurs, nous étalonnons les paramètres delta HW en utilisant 30 fenêtres d’observation à fréquence quotidienne et 90 fenêtres d’observation à fréquence de 8 heures. Nos résultats comparent les erreurs de couverture en utilisant des contrats à terme à expiration fixe et des contrats perpétuels et exécutent deux régressions HW en fonction de l'instrument de couverture.

Nous présenterons nos résultats en utilisant un test F standard des différences de variance, en utilisant le delta BS comme référence, c'est-à-dire le delta Sticky Strike (SS) de (10). Tout d’abord, le tableau 2 présente les résultats de la couverture des options de 7 jours, 1 jour et 3 jours avec des degrés de change compris entre 10,20 et 30,0, où chaque option est couverte avec les contrats à terme à échéance fixe correspondants et rééquilibrée toutes les 8 heures. équilibre. Les entrées du tableau sont des ratios de variance, c'est-à-dire la variance des erreurs couvertes δadj par rapport à la variance des erreurs couvertes delta BS.

Tableau 2. Résultats de couverture du test F (rééquilibrage sur 8 heures, contrats à terme à date d’expiration fixe).

Remarque : Le niveau de signification du rapport de variance et du test F unilatéral concernent respectivement l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative /upload/asset/28dc6465a12c2e427a5ac.png. La couverture est basée sur un contrat à terme avec la même date d'expiration que l'option et est rééquilibrée toutes les 8 heures. Nous comparons la variance des erreurs provenant de différentes couvertures delta par rapport à la variance provenant de la couverture utilisant le delta BS et divisons l'échantillon de deux ans en deux parties. Nous avons utilisé des options de trois maturités différentes avec un moneyness allant de 0,7 à 1,3, en utilisant des options de vente OTM lorsque le moneyness < 1 et des options d'achat OTM lorsque le moneyness > 1. Pour H∗, , et sont utilisés pour représenter les niveaux de signification de 10 %, 5 % et 1 %, respectivement, et il en va de même pour H+.

Plus l’efficacité de la couverture est grande, plus la variance de l’erreur de couverture est faible et le gain d’efficacité résultant de l’utilisation du delta de la courbe du sourire ajusté est égal à 1 moins ce ratio de variance. Par exemple, lors de la couverture d'une option de 10 jours avec un moneyness de 0,8, le delta SM (Smile Implied) produit un ratio de variance de 0,562. Cela signifie que le gain d'efficacité par rapport à la couverture delta BS est de 1-0,562=43,8%, ce qui est très significatif, donc cette entrée est marquée +++. Dans les tableaux des ratios de variance, les exposants indiquent la signification des ratios de variance aux niveaux de signification de 10 %, 5 % et 1 % dans le test F unilatéral. Par exemple,***Cela indique que la variance de l'erreur de couverture δadj est plus grande que celle de l'erreur de couverture delta BS au niveau de 1 %. Et ++ indique que la variance de l'erreur de couverture δadj est significativement plus petite que l'erreur de couverture delta BS au niveau de 5 %.

Considérons d’abord les résultats de 2020 dans le tableau 2. Cette partie de l'échantillon est caractérisée par des augmentations de prix lentes mais régulières, cohérentes avec le modèle de tendance régulière de Derman (1999), où l'on s'attendrait à ce que le delta SS (delta BS) fournisse la couverture delta la plus efficace, ou dans le cas d'un modèle à portée limitée, le delta SM représente la majorité des deltas. Domination. Dans l’ensemble, les résultats de 2020 présentés dans le tableau 2 montrent un modèle dans lequel le succès d’un delta particulier surperformant une couverture BS dépend de la valeur monétaire de l’option, plutôt que de son échéance. Par exemple, pour les options à prix coûtant, le delta ST fonctionne mieux. Note 18 Les gains d'efficacité obtenus varient de 9,7 % pour l'option à parité de 30 jours à 12,3 % pour l'option de 20 jours et à 11 % pour l'option de 10 jours. La direction relative des performances des deltas implicites du sourire (c'est-à-dire SM) par rapport aux deltas ST et MV est opposée, non seulement pour les options à la monnaie, mais également pour toutes les options dans la monnaie. Il surpasse le delta BS dans la couverture des options de vente OTM, mais pas pour les appels OTM (à l'exception du call à 10 jours avec un moneyness de 1,2). Pour la couverture des options de vente OTM profondes de 20 jours, le gain d'efficacité en utilisant le delta implicite du sourire (SM) tout au long de 2020 est de 1-0,693=30,7%, ce qui est très significatif. Pour les options de vente OTM profondes de 30 jours, le gain d'efficacité est de 28,7 %, ce qui est presque le même. Pour les autres options de vente, les gains d’efficacité résultant de l’utilisation d’une couverture implicite du type « smile » sont bien plus faibles, allant seulement de 3,1 % à 7,6 %.

Cependant, pour toutes les autres options, tous les deltas de sourire ajustés sous-performent le delta BS. Cependant, cela n’est pas surprenant puisque le prix du Bitcoin a suivi une tendance constante pendant une grande partie de l’année 2020. Le ratio de couverture HW actuel proposé par Hull et White (2017) et la couverture de variance minimale (MV) de Lee (2001) n'améliorent pas non plus le delta BS (sauf que pour les options à la monnaie, la couverture MV est la même que ST couverture). L’un des principaux inconvénients du HW delta est qu’il utilise la régression pour estimer ses paramètres, ce qui rend l’hypothèse indépendante et identiquement distribuée invalide pour un actif comme Bitcoin, qui est très sujet aux sauts de rendement. L’impact de tout saut restera dans la fenêtre glissante pendant une longue période et aura donc un impact important sur le ratio de couverture HW.

Les figures 2 et 5 montrent que l’année 2021 a été caractérisée par des prix plus élevés, une plus grande volatilité et une augmentation des niveaux de volatilité globale, couplée à une courbe de volatilité implicite en forme de sourire plus plate, mais toujours asymétrique. Tout au long de l’année 2021, le prix du Bitcoin a fluctué énormément entre 30 000 $ et près de 70 000 $, et comme le montre la figure 2, la courbe du sourire sur 30 jours est devenue relativement plate vers la fin de cette période. Mais la courbe du sourire plate rend le composant clé du delta ajusté, la pente de la courbe du sourire, presque redondant. Il n’est donc pas surprenant qu’au cours de la deuxième année de notre échantillon, tous les deltas ajustés en fonction de la courbe souriante n’apportent pas d’amélioration significative des ratios de couverture BS standard pour toutes les options à 20 et 30 jours. Cependant, en 2021, la courbe du sourire à très court terme de 10 jours a présenté des caractéristiques étranges, avec une tendance à la hausse pendant la phase haussière du prix du Bitcoin. C'est pourquoi la couverture delta implicite Smile (SM) des options d'achat hors de la monnaie à 10 jours montre une amélioration d'efficacité très significative de 15,9 % par rapport à l'utilisation du delta BS.

Ensuite, les tableaux 3 et 4 testent la robustesse des résultats du tableau 2 de deux manières : d'abord en réexécutant l'analyse à une fréquence quotidienne (tableau 3), puis en utilisant des contrats perpétuels au lieu de contrats à terme à échéance identique comme instrument de couverture. . Les résultats du tableau 3 montrent une tendance similaire à ceux du tableau 2, sauf qu’ils sont globalement moins significatifs – mais cela ne devrait pas nous surprendre puisqu’il n’y a désormais que 365 observations par an au lieu de 1 095. Ils confirment notre conclusion du tableau 2 selon laquelle aucune courbe de sourire ajustée delta ne peut améliorer le delta BS en 2021. En 2020, nous avons également observé le même schéma de performance par rapport au delta BS, c'est-à-dire que le delta ST a surperformé BS sur les options ATM, mais il existe désormais des preuves que le delta HW surpasse les options ATM et les options de vente OTM. Il a également surperformé BS avec une moneyness de 0,9 – mais aucune de ces statistiques de rapport de variance n’était statistiquement significative.

Tableau 3. Résultats de couverture du test F (rééquilibrage quotidien, contrats à terme à expiration fixe).

Tableau 4. Résultats de couverture du test F (rééquilibrage de 8 heures, contrat perpétuel).

Le tableau 4 est exactement le même que le tableau 2, utilisant une fréquence de rééquilibrage de 8 heures pour l’analyse, mais utilisant des contrats perpétuels comme instruments de couverture pour toutes les options. Nous observons exactement le même schéma de sous-performance du delta BS que dans le tableau 2, avec des gains d'efficacité très significatifs pour la couverture des puts OTM en utilisant des deltas ST/MV avec des options delta implicites smile (c'est-à-dire SM) et ATM. À l'exception de la couverture delta implicite de la Smiling Curve (SM) qui a une fois de plus généré un gain d'efficacité important et significatif pour la couverture des options d'achat OTM à 10 jours, aucun delta ajusté de la Smiling Curve n'a pu surpasser de manière significative le delta BS en 2021. Pour les options ATM, il existe également de petits gains d’efficacité (< 5 %) en utilisant le delta ST/MV, et les ratios de variance du tableau 4 sont presque toujours inférieurs à ceux du tableau 2.

Ce constat nous amène à nous demander : les contrats perpétuels constituent-ils un meilleur outil de couverture que les contrats à terme ayant la même échéance que les options ? Pour répondre à cette question, nous examinons le ratio de variance, où le numérateur est la variance de l’erreur de couverture perpétuelle et le dénominateur est la variance de l’erreur de couverture à terme. Nous divisons à nouveau l'échantillon en deux périodes d'un an et présentons les résultats par delta (incluant désormais le delta BS) et par option, et le tableau 5 montre les résultats. Dans le tableau, un ratio de variance inférieur (supérieur à) 1 indique qu'un meilleur (pire) effet de couverture peut être obtenu en utilisant des contrats perpétuels. L'importance de la statistique F dépend du fait que le swap perpétuel offre un outil de couverture meilleur (+) ou pire (-) que les contrats à terme de même échéance.*). Il est clair que le résultat ne dépend presque pas de la valeur monétaire de l’option, mais plutôt de la date d’expiration de l’option et des conditions du marché à ce moment-là. Pour les options à 10 jours, les ratios d’appel OTM sont généralement inférieurs à 1. Pour les options à 20 et 30 jours, la couverture avec des options perpétuelles pourrait connaître des améliorations très significatives, notamment en 2021.

Tableau 5. Test F comparant les contrats à terme et les swaps perpétuels (rééquilibrage toutes les 8 heures).

Bien que le tableau obtenu fournisse l’efficacité relative globale des deltas par rapport à différents ajustements de la courbe du sourire, notre échantillon de deux ans couvre un large éventail de régimes de marché. Comme le montre la figure 5, le marché du Bitcoin fluctue rapidement entre des tendances stables, des fluctuations de gamme et des baisses et des hausses brutales. Par conséquent, pour aider à comprendre quel delta fonctionne le mieux dans quels états de marché, la figure 8 illustre la série chronologique du ratio de variance, qui est la variance de l'erreur de couverture delta ajustée de la courbe souriante divisée par la variance de l'erreur de couverture delta BS. Il s'agit de rééquilibrer la couverture toutes les 8 heures, et désormais chaque variance est calculée en utilisant uniquement les 90 observations les plus récentes - la même fenêtre utilisée pour l'estimation du paramètre delta HW. Nous soulignons que les valeurs supérieures à 1 indiquent une mauvaise performance de couverture du delta ajusté au sourire par rapport au delta BS. Pour plus de clarté, nous présentons les résultats sur une échelle logarithmique, donc dans ces figures, un rapport de variance de 1 est représenté par zéro . . Toute ligne inférieure à zéro indique que le delta s'améliore par rapport au delta BS, mais une ligne supérieure à zéro montre que le delta fournit une couverture moins efficace que le BS.

Figure 8. Performance de couverture de l’échantillon roulant. (a) Résultats des options sur 10 jours et (b) Résultats des options sur 30 jours.

Le ratio de variance montre comment différents ratios de couverture d'options perpétuelles se comportent par rapport au delta BS en utilisant un rééquilibrage de 8 heures, où la variance de l'erreur de couverture est calculée à l'aide des 90 premières observations. Nous présentons les résultats du journal pour (a) les options de 10 jours et (b) les options de 30 jours sur un échantillon de deux ans. La ligne continue 0 est une valeur de référence, un ratio supérieur à 0 indique une performance inférieure à BS, et un ratio inférieur à 0 indique une meilleure performance par rapport à BS. La figure (a) ci-dessus illustre la performance d'une option de vente OTM avec m=0,8, tandis que le graphique supérieur de (b) montre la performance d'une option de vente OTM avec m=0,7. Le graphique du milieu montre la performance de (a) et (b). Les performances des options ATM sont présentées ci-dessous pour les options d'achat OTM avec (a) un moneyness de 1,2 et (b) un moneyness de 1,3.

Les trois graphiques supérieurs (a) montrent les résultats pour les options sur 10 jours, et les trois graphiques inférieurs (b) montrent les résultats pour les options sur 30 jours. Dans chaque cas (a) et (b), les graphiques ci-dessus concernent les options de vente OTM. Ces graphiques confirment les résultats du tableau 2 : les deltas de ST (bleu) et MV (vert) ont sous-performé sur presque toute la période. que BS ; selon les attentes de classification du marché de Derman (1999), le delta SM surpasse le delta BS pendant les périodes où le marché est dans une fourchette, mais lorsque le marché est en tendance, comme la première période commençant en janvier 2021, pendant la deuxième Lors de la course haussière et de la deuxième course haussière plus tard cette année-là, le delta SM n'a pas eu d'aussi bons résultats que le delta BS ; tandis que le delta HW a eu des résultats différents. Le graphique du milieu de chaque ensemble de graphiques montre le ratio de variance des options ATM couvertes. Dans ce cas, tous les deltas ajustés au sourire sont très similaires, car le sourire de Bitcoin est généralement (mais pas toujours) très plat à ce stade. Le graphique du bas de chaque ensemble de graphiques montre les performances de différents deltas pour la couverture des options d'achat OTM. Encore une fois, le SM delta semble être la meilleure option, mais il n'est disponible que pour les options de 10 jours et ne constitue pas une amélioration aussi importante par rapport à BS que l'a déclaré l'OTM. Pour les options à 30 jours, aucun delta n'a été en mesure d'améliorer systématiquement les BS, en particulier en 2021.

7. Conclusion

Les études empiriques universitaires antérieures n’ont examiné que la couverture delta avec une courbe souriante implicite sans modèle et une courbe souriante dépendante de l’institution ajustée pour les options sur indices boursiers. Bien que les résultats soient mitigés, la conclusion générale est qu'un ratio de couverture ajusté en fonction de la courbe souriante ne peut qu'améliorer la performance du delta Black-Scholes pour les options de vente hors de la monnaie dans certaines circonstances. Mais nous avons démontré que la courbe du sourire de volatilité implicite du Bitcoin se comporte très différemment des options sur indices boursiers, il est donc très intéressant d'étudier l'efficacité du ratio de couverture ajusté à la courbe du sourire que les praticiens privilégient généralement.

Nous encourageons l’utilisation de diverses utilisations potentielles du delta ajusté, dont la plupart reposent uniquement sur la relation entre la volatilité implicite de l’option de couverture et la pente de la courbe de volatilité implicite du sourire au moment de l’expiration. En utilisant un ensemble de données unique sur les options Deribit, nous sommes en mesure de comparer les performances de couverture des options Bitcoin les plus actives sur la bourse Deribit, c'est-à-dire des options avec des prix d'exercice 30 % supérieurs et inférieurs à l'indice BTC actuel et des délais d'expiration allant jusqu'à un mois. Nous analysons la variance des erreurs de couverture delta, où l'instrument de couverture peut être un contrat à terme avec la même date d'expiration que l'option ou un contrat perpétuel - un produit innovant unique au marché des dérivés de crypto-monnaie. En rééquilibrant la couverture toutes les huit heures (coïncidant avec le temps de financement du contrat perpétuel) ou quotidiennement, et en utilisant des contrats à terme ou des contrats perpétuels avec le même temps d'expiration que l'instrument de couverture, nous obtenons des résultats très robustes. De plus, plutôt que de simplement tabuler les erreurs quadratiques moyennes de différents ratios de couverture comme l'ont fait Coleman et al. (2001), Vähämaa (2004), Alexander et al. (2012) et bien d'autres, nous appliquons un simple test de ratio de variance. qui fournit la signification statistique du gain d'efficacité de l'utilisation d'un delta donné par rapport au delta BS.

En utilisant cette approche, nous démontrons que pour les options hors de la monnaie, le delta implicite de la courbe souriante (sticky moneyness) est significativement meilleur que le delta Black-Scholes standard en matière de couverture, dans certains cas de plus de 40 % plus efficacement . Le delta de variance minimum surpasse également le delta BS, mais uniquement pour les options in-the-money, car il coïncide avec le delta de l'arbre collant. Aucun autre delta ajusté par la courbe souriante ne s'est systématiquement amélioré par rapport au delta BS, et même les couvertures delta implicites par le sourire et à variance minimale ont eu de mauvais résultats pendant une grande partie de 2021. La seule exception est la couverture implicite du sourire sur les options d’achat à court terme hors de la monnaie lorsque la pente de la courbe de volatilité implicite devient positive. Comparé aux indices boursiers comme le S&P 500, les prix du Bitcoin ne fluctuent pas à la hausse de manière constante pour ensuite s'effondrer soudainement - ses augmentations de prix peuvent être aussi importantes que ses baisses de prix, de sorte que sa courbe du sourire peut être très symétrique ou même complètement inclinée vers le haut. . Nous démontrons également que les contrats perpétuels sont de meilleurs instruments de couverture que les contrats à terme ayant la même maturité que les options, quelle que soit la valeur monétaire des options. Cela est particulièrement évident dans le cas des options à plus long terme, où la base entre les contrats perpétuels et les contrats à terme est la plus grande.

Nos recherches se concentrent sur des cadres robustes sans modèle, qui sont également le choix préféré de nombreux praticiens. Nous n'envisageons pas de couverture à l'aide de modèles stochastiques paramétriques et/ou de volatilité locale pour la simple raison que l'invariance d'échelle de ces processus signifie que le delta est effectivement sans modèle et coïncide donc avec le delta implicite du sourire utilisé dans cette étude. Étant donné que nous introduisons le delta de variance minimale robuste de Lee (2001) dans notre étude, nous pensons que l’ajout de différents processus de volatilité stochastique pour la couverture delta dynamique est une question de recherche moins pertinente pour l’industrie actuelle du trading de crypto-monnaies.

Cet article se concentre sur la couverture delta dynamique avec rééquilibrage fréquent, ce qui peut aider les teneurs de marché des options Bitcoin à obtenir un avantage concurrentiel sur un marché qui ne commence vraiment à mûrir qu'en 2021. Cependant, le marché du Bitcoin a connu une croissance si rapide que de grands traders professionnels comme Jump Trading, Jane Street, XBTO et Cumberland DRW négocient des options Bitcoin, souvent avec des volumes quotidiens dépassant 1 milliard de dollars. De nombreuses nouvelles options d'expiration et tailles de contrats d'options sont également introduites pour répondre à la demande. Par exemple, CME a récemment lancé des options micro Bitcoin pour les traders de détail. Malgré cela, l’écart entre les cours acheteur et vendeur des options Bitcoin reste relativement important, bien supérieur à celui des contrats à terme ou perpétuels Bitcoin. Par conséquent, la rentabilité du market making sur le marché des options Bitcoin repose davantage sur une couverture delta dynamique précise que sur une couverture delta-gamma-vega. Si le spread bid-ask des options Bitcoin diminue à l'avenir, il peut être intéressant d'étudier la couverture gamma et vega du carnet d'options Bitcoin. Cependant, au moment de la rédaction du présent document, les coûts de transaction liés à l’utilisation d’options pour couvrir les risques de prix et de volatilité peuvent éroder les bénéfices supplémentaires qui pourraient être réalisés grâce à des spreads plus faibles.

déclaration

Nous remercions les évaluateurs anonymes dont les commentaires ont considérablement amélioré l’article.

Déclaration de divulgation

Les auteurs déclarent ne pas avoir de conflits d’intérêts.

Remarques

En revanche, les deltas dérivés de modèles non invariants d’échelle, tels que le modèle de volatilité locale de Dupire (1994) ou le modèle d’arbre collant de Derman et Kани (1994), ne sont pas théoriquement équivalents aux deltas invariants d’échelle. La variance minimale Delta n'est pas non plus un Delta invariant d'échelle, c'est la dérivée totale qui inclut l'effet Vega des corrélations de volatilité des prix non nulles.
Par exemple, voir le récentArticles de la CAIA, un autre article sur mediumarticle,ainsi que risklatte et stackexchange Et plusieurs forums de finance quantitative.
Dans cette littérature, Nastasi et al. (2020) calibrent un modèle de cohérence du sourire pour les options sur matières premières afin de capturer la dynamique du sourire, tandis que Malz (2000) explique comment prendre en compte les ajustements du sourire lors de la mesure du risque des options de change. À l'intérieur.
Les options Deribit ont une expiration biquotidienne, bihebdomadaire, bimensuelle et trimestrielle, et peuvent durer jusqu'à 9 ou 12 mois. Son actif sous-jacent est le « Deribit BTC Index » (BTC), qui est une moyenne pondérée de manière égale des derniers prix du Bitcoin sur 11 bourses, excluant les prix les plus élevés et les plus bas. Les 9 prix restants sont utilisés pour calculer l'indice. Actuellement, ces échanges incluent Binance, Bitfinex, Bitstamp, Bittrex, Coinbase Pro, Gemini, Huobi Global, Itbit, Kraken, LMAX Digital et OKEx, et l'indice est mis à jour toutes les secondes. Il existe plus de dates d'expiration d'options que de dates d'expiration de contrats à terme. Ainsi, pour que Deribit puisse répertorier les prix des options pour Bitcoin et USD, ils utilisent les mêmes prix à terme (éventuellement synthétiques) que les dates d'expiration des options. Cela ne signifie pas que le contrat à terme (éventuellement synthétique) est le sous-jacent. En fait,Spécifications des options de Deribit Il est clairement indiqué que l'actif sous-jacent est l'indice Deribit BTC. Pour les options à court terme, la plage d'exercice varie de 50 % à 150 % du prix actuel du BTC, et pour les options avec des échéances supérieures à 6 mois, la plage d'exercice peut atteindre 800 % du prix actuel du BTC.
Voir aussiDonnées historiques sur les options du CBOE, pour comprendre le volume de négociation des options SPX sur CBOE.
Voir aussiVolume de négociation des options Bitcoinet Options Bitcoin de Goldman Sachs。
Viennent ensuite CME (5 %), puis OKEx (2,5 %), puis FTX et Bit.com, voirThe Block Options。
Pour calculer le rendement final, Deribit utilise l'indice BTC moyen 30 minutes avant l'expiration comme valeur de règlement. Pour plus de détails, consultez le site officielSpécifications des options de Deribit . Il est important de noter que le marché des options Bitcoin de Deribit n'est pas complet. Les indices eux-mêmes ne sont pas négociables et nécessitent une réplication coûteuse et un rééquilibrage fréquent. Le marché est incomplet pour les traders en raison du manque d’informations sur le calcul précis de la valeur de règlement. Cependant, une discussion détaillée de cette question dépasse le cadre de cet article, et nous renvoyons à Alexander et al. (2022a) pour une discussion approfondie.
Veuillez vous référer à 2022Marché décentralisé des crypto-monnaies Classement.
Les contrats à terme inverses sont des contrats à terme libellés en Bitcoin basés sur le prix en USD du Bitcoin ou sur la valeur d'un indice Bitcoin. Les contrats à terme standard et inverse utilisent tous deux la valeur USD comme valeur sous-jacente, mais ils diffèrent dans la méthode de règlement : les contrats à terme standard du CME ont un montant notionnel de 0,1 ou 5 bitcoins et sont payés en USD, tandis que le montant notionnel des contrats à terme inverses est de 1 $ ou 10 $. , et payable en Bitcoin. En revanche, ce mécanisme de paiement conduit à un calcul de profits et pertes (PnL) différent. Pour les contrats à terme standard, vous devez soustraire le prix de clôture du prix d'ouverture du contrat à terme et multiplier le résultat par le montant notionnel pour obtenir le profit ou la perte en dollars américains. Les contrats à terme inverses (et les options) ont une procédure de règlement différente, qui prend l'inverse du prix d'ouverture moins l'inverse du prix de clôture, puis multiplie le résultat par le montant notionnel de la position pour obtenir le profit ou la perte mesuré en Bitcoin. Le « prix d'ouverture » et le « prix de clôture » font ici référence à la valeur en dollars du contrat à terme au moment de l'entrée et de la sortie de la position.
Voir aussiTaux de financement perpétuel de Deribit, pour une description du calcul du taux de financement de Deribit.
Voir aussiThe BlockouCoinglass. Il est important de noter que plus de huit bourses ont affiché des volumes de transactions anormalement élevés. Cependant, nous avons négligé les nombreuses bourses qui avaient artificiellement gonflé leurs volumes en raison du wash trading.
Cette approximation a également été préconisée par Coleman et al. (2001) et bien d’autres.
Derman (1999) a qualifié le modèle SS de « tentative du pauvre » de reproduire le modèle BS en utilisant un arbre de volatilité implicite.
À l’exception des options de vente (m=0,7) et des options d’achat (m=1,3) très hors de la monnaie, ces options sont sous-négociées dans la catégorie des expirations à court terme. Nous n’avons pu calculer les prix synthétiques que 75 % du temps, nous avons donc exclu ces options de nos résultats finaux.
Bien entendu, la valeur PCP pour chaque niveau d’exercice sera différente. Étant donné que les échanges sont généralement concentrés sur les options ATM, il est difficile de trouver un niveau d'exercice ITM/OTM où les appels et les puts sont activement négociés, nous utilisons donc la valeur PCP dérivée du rétrocalcul des options ATM. Nous interpolons les valeurs ATM PCP pour deux dates d'expiration adjacentes et utilisons ces valeurs pour obtenir des prix d'options fixes synthétiques si nécessaire.
Par exemple, étant donné que nous détenons toujours un contrat perpétuel dans notre construction, l’opérateur de couverture doit payer un financement lorsque la base du contrat perpétuel est positive et reçoit un financement lorsque la base est négative. L’inverse est vrai pour la couverture des positions d’options longues. En tout cas, à partir de la figure 7, nous pouvons voir que la base du contrat perpétuel est en train de changer, parfois positivement et parfois négativement. Il n’est pas difficile d’écrire un algorithme de couverture pour sortir complètement d’une position couverte avant l’expiration du financement, mais il ne sortira pas si la position couverte reçoit un financement. Ce type de « stratégie de frais de financement » est très courant aujourd’hui parmi les hedge funds, sur des marchés où il n’existe aucune réglementation empêchant ces robots de trading stratégiques d’opérer. Dans tous les cas, nous suggérons simplement d’ajouter des stratégies de financement aux stratégies de couverture et nous n’explorons pas les profits ou les pertes potentiels car il ne s’agit pas d’une étude des stratégies de trading à haute fréquence.
Pour les options ATM, les deltas ST et MV sont les mêmes, donc les résultats sont les mêmes, mais uniquement dans ce cas.

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Source originale : https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/14697688.2023.2181205

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