সম্ভাব্যতার ক্ষেত্রে ট্রেডিং দর্শন

১৯৮৭ সালে, ভারতীয় কিংবদন্তি গণিতবিদ রামানুজন (শ্রীনিভাস রামানুজন, ১৮৮৭-১৯২০) এর জন্মশতবার্ষিকী ছিল। তাঁকে স্মরণ করার জন্য, বিভিন্ন অনুষ্ঠানের আয়োজন করা হয়েছিল। সমসাময়িক বিশিষ্ট পরিসংখ্যানবিদ, যিনি ভারতের রাও জন্মেছিলেন (সি. রাধাকৃষ্ণ রাও, ১৯২০) তাকে তিনটি বক্তৃতা দেওয়ার জন্য আমন্ত্রণ জানানো হয়েছিল। পরে, ভারতীয় পরিসংখ্যান ইনস্টিটিউট (Indian Statistical Institute) রাওর বক্তৃতা উপর ভিত্তি করে, ১৯৮৯ সালে, তার জন্য পরিসংখ্যান ও সত্যের একটি বই প্রকাশ করেছিল। এই বইটি ১৯৯৭ সালে দ্বিতীয় সংস্করণে প্রকাশিত হয়েছিল।

• ### প্রথম সংস্করণের প্রারম্ভে, রাউশ বলেছেনঃ

ছাত্রকালে, আমি গণিতকে একটি যুক্তি হিসাবে অধ্যয়ন করেছি যা প্রদত্ত পূর্বশর্ত থেকে ফলাফলের সিদ্ধান্ত নিয়েছে। পরে আমি পরিসংখ্যানকে একটি যুক্তিসঙ্গত পদ্ধতি হিসাবে অধ্যয়ন করেছি যা অভিজ্ঞতা থেকে শিখেছে, এবং প্রদত্ত ফলাফল থেকে যাচাইকৃত পূর্বশর্তের যুক্তি। আমি বুঝতে পেরেছি যে প্রকৃতির জ্ঞানের উন্নতি এবং প্রতিদিনের কার্যক্রমকে কার্যকরভাবে পরিচালনা করার জন্য মানবতার সমস্ত প্রচেষ্টায় গণিত এবং পরিসংখ্যান গুরুত্বপূর্ণ।

আমি বিশ্বাস করিঃ

• কিন্তু, শেষ পর্যন্ত, সব জ্ঞানই ইতিহাস হয়ে যায়।

• অক্ষরে অক্ষরে, সকল বিজ্ঞানই গণিত।

• “একটি যুক্তিসঙ্গত বিশ্বে, সমস্ত বিচার পরিসংখ্যানগত হয়।

  এই অনুচ্ছেদটি গণিত এবং পরিসংখ্যানের গুরুত্ব এবং তাদের প্রাসঙ্গিকতা সম্পর্কে একটি সাধারণ ধারণা প্রদান করে।

  দীর্ঘদিন ধরে, উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিতের বিষয়বস্তুতে সম্ভাব্যতার বিষয়বস্তু অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যার মধ্যে ক্লাসিক সম্ভাব্যতা (অর্থাৎ সম্ভাব্যতাকে একই সম্ভাব্যতা দিয়ে ব্যাখ্যা করা) এর একটি উল্লেখযোগ্য অংশ রয়েছে। সুতরাং, সম্ভাব্যতা প্রায়শই সারিবদ্ধ সংমিশ্রণের সাথে যুক্ত থাকে। এবং সারিবদ্ধ সংমিশ্রণটি তুলনামূলকভাবে জটিল গণিতের একটি ঝাঁকুনি। যদিও শিক্ষার্থীরা কখনও কখনও জটিল বিষয়গুলির দ্বারা বিভ্রান্ত হয়ে পড়ে। তবে এটি কেবলমাত্র কৌশলগত দিক থেকে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি জ্ঞানীয় দিক থেকে খুব বেশি বিভ্রান্ত হয় না। সাম্প্রতিক বছরগুলিতে, পরিসংখ্যানের গুরুত্বের কারণে, উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিতের মধ্যে পরিসংখ্যানের বিষয়গুলি ধীরে ধীরে যুক্ত করা হয়েছে।

  পরিসংখ্যানের ইতিহাসে, আস্থা বিভাগটি আরেকজন বিখ্যাত পরিসংখ্যানবিদ, পোল্যান্ডে জন্মগ্রহণকারী এবং ১৯৩৮ সালে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে অভিবাসনকারী জর্জি নেইম্যান (1894-1981) দ্বারা প্রথম প্রস্তাবিত হয়েছিল। তাঁর বক্তৃতা শেষ হওয়ার পরে, সম্মেলনের চেয়ারম্যান বউলি (আর্থার লায়ন বউলি, ১৮৬৯-১৯৫৭) তার বক্তৃতায় বলেছিলেন যে আমি নিশ্চিত নই যে এই আস্থাটি বিশ্বাসের একটি কৌতুক নয়। যখন এই ধারণাটি উত্থাপিত হয়েছিল, তখন বেশিরভাগ পরিসংখ্যানবিদরা, আধুনিক পরিসংখ্যানের প্রতিষ্ঠাতা হিসাবে বিবেচিত ব্রিটিশ ফিসার (স্যার রোনাল্ড অয়েল ফিসার, ১৮৯০-১৯৬২, প্রায়শই আর.এ. ফিশারের নামে পরিচিত) সহ বেশিরভাগ পরিসংখ্যানবিদরা এটি গ্রহণ করতে অসুবিধা পেয়েছিলেন।

  অনেক বছর পেরিয়ে গেছে, সত্তর বছরেরও বেশি সময় পেরিয়ে গেছে, আজ পরিসংখ্যানবিদরা অবশ্যই বিশ্বাসের ব্যবধানের অর্থ পুরোপুরি বুঝতে পেরেছেন। তবে বিশ্ববিদ্যালয়ে, সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যান, পরিসংখ্যান এবং গণিতের পরিসংখ্যানের মতো পাঠ্যপুস্তকগুলিতে, বিশ্বাসের ব্যবধানটি সাধারণত দ্বিতীয়ার্ধের বিষয়গুলির অন্তর্ভুক্ত। অর্থাৎ, বিশ্ববিদ্যালয় শিক্ষার্থীরা যখন সংশ্লিষ্ট পাঠ্যক্রমে বিশ্বাসের ব্যবধানের সাথে যোগাযোগ শুরু করে তখন প্রায় পর্যাপ্ত সম্ভাব্যতার পরিসংখ্যান ভিত্তি রয়েছে। এখন এই বিষয়টি গণিতের পক্ষে জনপ্রিয় হয়ে উঠেছে, ৯৫ তম পাঠ্যক্রম যোগ করার পরে, ৯৮ তম পাঠ্যক্রম (৯৯ তম শিক্ষাবর্ষের পরে প্রতি বছর বাস্তবায়িত) এখনও এই বিষয়টি ধরে রেখেছে। তবে পর্যাপ্ত প্রস্তুতিমূলক জ্ঞানের অভাবের কারণে উচ্চ মাধ্যমিক শিক্ষার্থীদের শোষণ করা সহজ নয়, বরং প্রত্যাশিত।

  কেন এই গভীর বিষয়বস্তু উচ্চ মাধ্যমিকের গণিতের পাঠ্যবস্তুতে প্রবেশ করেছে? অনুমান করা হয় যে এর গুরুত্বের প্রধান কারণটি হল। এটি কেবলমাত্র মিডিয়াতে প্রকাশিত বিভিন্ন জরিপের ফলাফলের বিশ্বাসের স্তর এবং আত্মবিশ্বাসের স্তরগুলি দেখে বোঝা যায়।

  কিছু পরিসংখ্যান পাঠ্যপুস্তকে, বিশ্বাসের ক্ষেত্রটি একটি অধ্যায়ের অংশ। বিভিন্ন প্যারামিটার, বিভিন্ন বন্টন, বিভিন্ন বিশ্বাসের ক্ষেত্র থাকতে পারে; এমনকি একই প্যারামিটার এবং একই বন্টন, বিভিন্ন পদ্ধতিতে, বিভিন্ন বিশ্বাসের ক্ষেত্র থাকতে পারে। কখনও কখনও শর্তের অভাব, বা গণনার জটিলতা ইত্যাদির কারণে, কেবল পিছনে ফিরে আসা, কাছাকাছি বিশ্বাসের ক্ষেত্র পেতে। অবশ্যই, কিছু শর্ত প্রয়োজন, এবং কিছু সূত্র ব্যবহার করে। বিশ্বাসের ক্ষেত্রটি তুলনামূলকভাবে দুর্বলও হতে পারে। পরিসংখ্যানের বিভিন্ন অনুমানের পদ্ধতি রয়েছে, তবে কারও কারও সাথে ঝগড়া-ঝগড়া করার জন্য, কারও উপর নির্ভর করে না।

  “আমি মনে করি, এটি একটি অদ্ভুত ঘটনা, কিন্তু আমি মনে করি, এটি একটি অদ্ভুত ঘটনা, কিন্তু আমি মনে করি এটি একটি অদ্ভুত ঘটনা।

  উচ্চ মাধ্যমিক স্তরের পরিসংখ্যানগত অনুমানগুলি কেবলমাত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মানের অনুমান করে, এর পিছনে তত্ত্বটি হল কেন্দ্রীয় পোলার সীমাবদ্ধতা। কেন্দ্রীয় পোলার সীমাবদ্ধতাটি পরিচয় করিয়ে দেওয়ার জন্য, স্বাভাবিক বন্টনটি প্রবর্তন করা দরকার। এই অংশটি কেবলমাত্র একটি সাধারণ পরিচিতি হিসাবে কাজ করে, শিক্ষার্থীদের কেন্দ্রীয় পোলার সীমাবদ্ধতা সম্পর্কে সক্রিয়ভাবে অন্তর্দৃষ্টি তৈরি করে। একটি নির্দিষ্ট আত্মবিশ্বাসের স্তরের জন্য, একটি নির্ভরযোগ্যতার ব্যবধানের সূত্র দেওয়া হয়, তারপরে শিক্ষার্থীদের একটি র্যান্ডম সংখ্যা টেবিলের মডেলিং বা পরীক্ষামূলকভাবে একটি ধনাত্মক সম্ভাব্যতার সাথে একটি তামা প্যানেল প্রবেশ করানো হয় যা p এর সম্ভাব্যতা n বার, আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সূত্রটি ব্যাখ্যা করার জন্য, আত্মবিশ্বাসের স্তরের অর্থ কী তা ব্যাখ্যা করার জন্য; এবং এইভাবে ব্যাখ্যা করুন, কেন বেশিরভাগ শিক্ষার্থীর নির্ভরযোগ্যতা ব্যবধান p এর আওতায় থাকবে?

  এই অনুচ্ছেদটি ব্যাখ্যা করার সময় কিছু সমস্যা রয়েছে, তবে এটি পরিষ্কারভাবে বলা যায় না। প্রথম বাক্যে যেমন বলা হয়েছে যে এর পিছনে তত্ত্বটি কেন্দ্রীয় পোলের সীমাবদ্ধতা যুক্তিবিজ্ঞান, তবে এটি কোথা থেকে এসেছে তা জানা যায় না। এটি পরিসংখ্যানবিজ্ঞানের দৃষ্টিভঙ্গি নয়। পাঠ্যক্রমের ব্যাখ্যাটি অস্পষ্ট হওয়ায়, যারা গুরুতরভাবে শিক্ষাদান করে, তারা শিক্ষার্থীদের শেখানোর জন্য উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিত শিক্ষক, কেবল তাদের নীতিগুলি অনুসন্ধান করে এবং তাদের নিজস্ব ব্যাখ্যা করে। কেউ কেউ এই ধারণাগুলির বিভ্রান্তিকে স্বতঃস্ফূর্তভাবে ব্যাখ্যা করার জন্য প্রবন্ধগুলিও উত্থাপন করে। এটি কেবল ব্যাখ্যা করা হয়, প্রায়শই এটি সঠিক হয় না।

  কেন বিশ্বাসের ব্যবধানের ধারণাগুলি প্রায়শই কুইক বুকশিওর মতো নিম্নস্থানে পড়ে? গভীরভাবে অনুসন্ধান করার পরে, অনেক শিক্ষার্থী সম্ভবত সম্ভাব্যতার অর্থ সঠিকভাবে বুঝতে ব্যর্থ হয়েছে। এটিই এই নিবন্ধটি লেখার উদ্দেশ্য।

• সম্ভাব্যতার অর্থ

একটি জালের 6 টি দিক রয়েছে, এবং একটি জালের নীচে, একটি এমনকি সংখ্যার প্রবণতা কি? জালটি দেখতে আলাদা কিছু মনে হয় না, যদি প্রতিটি দিকের সম্ভাবনা একই হয়, অর্থাৎ 1/6। এবং এমনকি সংখ্যার দিকটি 2, 4, 6 ইত্যাদি 3। সুতরাং, সম্ভাব্যতা 3/6। এটিই বলা হয় ক্লাসিক সম্ভাব্যতা, মূল অনুমানটি হল একই রকমের সম্ভাবনা। প্রথমত, পর্যবেক্ষণের ঘটনাগুলি বেশ কয়েকটি সম্ভাব্যতা রয়েছে, এর মধ্যে কয়েকটি আমাদের আগ্রহের বিষয়।

২০০৯ সালের জুলাইয়ের শেষের দিকে এবং আগস্টের শুরুতে, টাইগারউডস, বিশ্ব গল্ফের রাজা, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের মিশিগান রাজ্যে অনুষ্ঠিত বেইক ওপেনের অংশগ্রহণ করেছিলেন। প্রথম রাউন্ডটি শেষ হয়ে গিয়েছিল, নেতার পিছনে 8 টি পয়েন্ট ছিল এবং 95 তম স্থানে ছিল। এটি তার ক্যারিয়ারের সম্ভবত অনিবার্য ঘটনা, প্রথমবারের মতো পরপর 2 টি টুর্নামেন্ট (প্রথমটি ছিল ব্রিটিশ ওপেন (দ্য ওপেন চ্যাম্পিয়নশিপ, যা ব্রিটেনের বাইরে ব্রিটিশ ওপেন হিসাবে পরিচিত) ।

ক্রীড়া প্রতিযোগিতায়, প্রায়শই অতীতের তথ্য পাওয়া যায়, তবে একই সম্ভাবনাটি ব্যবহার করা অনুচিত। ৩৬ টির মধ্যে ৩৫ টি সাফল্য, আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি ৩৫/36 (প্রায় .৯৭২) । এই আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা সম্ভাব্যতা ব্যাখ্যা করার জন্য, এটি একটি সাধারণ পদ্ধতি। এটি পুনরাবৃত্তিমূলক পর্যবেক্ষণের জন্য প্রযোজ্য। শীতল ব্রেক আউট হবে না? অবশ্যই কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট ইভেন্টের জন্য। অতীতের একই পরিস্থিতিতে এই ইভেন্টের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি ব্যবহার করে, পরবর্তী ইভেন্টের ঘটনার সম্ভাবনা অনুমান করা হয়, আরও তথ্য না থাকলে, যা সাধারণত একটি পর্যবেক্ষক পদ্ধতি হিসাবে বিবেচিত হয়।

একজন ভদ্রলোক একটি মেয়েকে দেখে অবাক হয়ে মনে করেন যে এটি তার আজীবন বান্ধবী। মূল্যায়নের পরে আত্মবিশ্বাসী, আত্মসমর্পণের সম্ভাবনা ৮ শতাংশ। অন্যরা ভাল দেখায় না, তাকে জিজ্ঞাসা করে ৮ শতাংশ এই সংখ্যাটি কীভাবে বেরিয়ে এসেছে? ভদ্রলোক ক্যালেন্ডারটি দেখান, একের পর এক লক্ষণ, দেখায় যে মেয়েটি তার প্রতি খুব ভাল লেগেছে। এই 0.8 এর সম্ভাবনা, যা তথাকথিত বিষয়গত সম্ভাবনা।

অবশ্যই, একটি বিষয়বস্তুগত সম্ভাব্যতা কিছু বস্তুনিষ্ঠ তথ্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা যেতে পারে। কেবলমাত্র একই তথ্যের মুখোমুখি হলেও, বিভিন্ন ব্যক্তির বিভিন্ন বিচার থাকতে পারে, তাই বিভিন্ন বিষয়বস্তুগত সম্ভাব্যতা দেওয়া যেতে পারে। (যেমন, পারমাণবিক বিদ্যুৎকেন্দ্রের দুর্ঘটনা, এবং ধূমকেতু পৃথিবীর সাথে সংঘর্ষ ইত্যাদি) ।

উদাহরণস্বরূপ, মেয়েদের পিছনে দৌড়ানো, প্রায় কয়েকজন মেয়ে, আপনাকে পরীক্ষা-নিরীক্ষা করতে, বারবার তাড়া করতে এবং তারপরে কয়েকবার সফল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করতে দেয়। এই ধরণের পুনরাবৃত্তিযোগ্য পর্যবেক্ষণযোগ্য ঘটনাগুলির জন্য, সম্ভাব্যতা সম্পর্কে কথা বলার সময়, বিষয়গত সম্ভাব্যতা প্রায়শই ব্যবহার করা হয়। প্রতিদিন সকালে বাইরে যাওয়ার সময়, আমরা কি আকাশের দিকে তাকাতে অভ্যস্ত নই এবং পরের দিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত শতাংশ তা বিচার করতে পারি? কেবলমাত্র প্রায়শই বাবা-মা মনে করেন যে সম্ভাবনা বেশি হবে, তবে বাচ্চাদের মতে বৃষ্টির সম্ভাবনা কম হবে।

যদিও বিষয়বস্তুটি বেশ বিষয়বস্তু, তবে এটি এখনও যুক্তিযুক্ত। উদাহরণস্বরূপ, পরীক্ষায় যোগ্যতা এবং অসমর্থতা রয়েছে। যদি আপনি মনে করেন যে পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা 0.9 হয়, তবে এটি ঠিক আছে, তবে আপনি সর্বদা কিছুটা আত্মবিশ্বাসী হবেন, তবে একই সাথে যদি আপনি আশঙ্কা করেন যে 0.8 এর সম্ভাবনা নেই তবে তা ঠিক নয়। বিভিন্ন সম্ভাবনার সম্ভাব্যতা যোগ করা হয় 1। এমনকি যদি এটি বিষয়বস্তু হয় তবে এটি একচেটিয়াভাবে আলোচনা করা যেতে পারে, তবে এটি অবশ্যই বলা উচিত। এটি বলা যায় না যে এটি বিষয়বস্তু হওয়ার পরে, আপনি যে কোনও ঘটনার সম্ভাব্যতা নির্বিশেষে নির্ধারণ করতে পারেন। অতএব, সম্ভাব্যতার ব্যাখ্যাটি যে কোনওভাবেই সন্তুষ্ট হবে, স্বাভাবিকভাবেই, বা কিছু সাধারণ নিয়ম বলতে হবে। এটি সবার বোঝা উচিত।

উপরের তিনটি সম্ভাব্যতার সাধারণ ব্যাখ্যা, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে লোকেরা ঘটনার সম্ভাব্যতার মাত্রা মূল্যায়ন করে। যদিও বিভিন্ন পরিস্থিতির জন্য, তবে প্রায়শই ইন্টারঅ্যাক্টিকভাবে প্রয়োগ করা যায়। আমরা সবাই শুনেছি যে একজন হত্যাকারীকে হত্যা করা হয়েছিল! একজনের সাথে একই নামের একজন হত্যাকারী ছিল, এবং একজন ভাল মনের মানুষ তার পূর্বপুরুষকে বলেছিল যে তার পূর্বপুরুষ হত্যাকারী ছিল। মা বলেছিলেন যে তার পুত্র হত্যাকারী ছিল না, তাই সে তার কাপড়টি জালিয়েছিল। কিছুক্ষণ পরে, অন্য একজন বলেছিল যে তার পূর্বপুরুষ হত্যাকারী ছিল। মা এখনও তার কাপড়টি জালিয়েছিল, এত ভাল ছেলে কীভাবে একজনকে হত্যা করতে পারে?

অবশ্যই, আপনি বিশ্বাস করতে পারেন যে, যাই হোক না কেন ফলাফল, সবাই মনে করে যে এটি কেবলমাত্র একটি স্বল্পমেয়াদী পরিস্থিতি, দৃঢ়ভাবে বিশ্বাস করে যে এটি একটি ন্যায্য ব্রোঞ্জ প্লেট। এটি সম্ভব নয়, যেমন একটি মা, এমনকি যদি আরও সাক্ষী থাকে, তবে সে বিশ্বাস করে না যে তার পুত্র একজনকে হত্যা করবে যদি সে নিজের চোখে না দেখে থাকে। এটি একটি এলোমেলো ঘটনা, এবং ঘটনাটি যতক্ষণ সম্ভব হয় ততক্ষণ ঘটতে পারে, যতক্ষণ না সম্ভাব্যতার মানটি ইতিবাচক হয়। সর্বোপরি, ব্রোঞ্জ প্লেটের ইতিবাচক হওয়ার সম্ভাবনা কেন, কেবল ঈশ্বরই জানেন। তবে সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানগুলি প্রবর্তন করা আমাদের সিদ্ধান্ত গ্রহণে সহায়তা করার জন্য আরও নির্ভুল হতে পারে। এবং সিদ্ধান্তগুলি সময়ের সাথে সাথে স্থানান্তরিত হতে পারে, তবে এটি পরিবর্তন হওয়া ছাড়া নয়। আবহাওয়া ঘূর্ণিঝড়ের জন্য কতটা বৃষ্টিপাত আনতে পারে, নতুন পদক্ষেপগুলি নিবিড়ভাবে পরিচালনা করতে হবে, এবং সময়মতো সংশোধন করতে হবে।

যদিও উপরের তিনটি সম্ভাব্যতার ব্যাখ্যা রয়েছে, যা বাস্তব জীবনে দেখা যায় এমন অনেকগুলি পরিস্থিতিকে কভার করে, তবে গণিতবিদরা অবশ্যই এখানে থামবেন না। তারা বিমূর্ততা এবং সাধারণীকরণ পছন্দ করে। সমীকরণের সমাধানের মতো, তারা কোনও একক উদাহরণে সন্তুষ্ট না হয়ে কোনও ধরণের সমীকরণের সমাধান প্রকাশ করার জন্য সূত্রটি সন্ধান করবে। আবার, যখন আপনি একটি বাস্তব সংখ্যা সিস্টেমকে পুরোপুরি বুঝতে পারবেন, তখন আপনি একটি বাস্তব সংখ্যা সিস্টেমকে যৌক্তিক পদ্ধতিতে সংজ্ঞায়িত করবেন। অর্থাৎ, একটি সেট দেওয়া, যদি এটি সংখ্যাগুলির একটি সেট না হয়, তবে এর উপাদানগুলির জন্য একটি বিভাজক অপারেশন সংজ্ঞায়িত করুন এবং 10 টি নীতি অনুসরণ করুন (অক্ষীয়ম, নিয়ম) । আপনি কি জানতে চান যে বিভাজক অপারেশনটি যোগ ও বিয়োগের জন্য একটি পদ্ধতি কি? বিভাজক পদ্ধতি ছাড়াই কীভাবে? নামটি খুব পরিচিত, আপনি গণিতবিদদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ বলে মনে করেন না। তবে মূলত, আপনি মূলত এটি আবিষ্কার করেন যে বিভাজক অপারেশনটি বিভাজক পদ্ধতির সাথে সমান, তার বিভাজক পদ্ধতির সাথে সমান, এবং আপনি

একটি সম্ভাব্যতা প্রবর্তন করার জন্য একটি ধারণাগত পদ্ধতি কী? প্রথমে একটি সংগ্রহ আছে, যা নমুনা স্থান বলা হয়, যা একটি নির্দিষ্ট পর্যবেক্ষণের সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সংগ্রহ। এই পর্যবেক্ষণটি সত্যই থাকতে পারে, বা কেবলমাত্র ভার্চুয়াল। নমুনা স্পেসের কিছু উপ-সমষ্টি, আমরা আগ্রহী, যা একটি ইভেন্ট। সমস্ত ইভেন্টও একটি সংগ্রহ গঠন করে। অবশেষে একটি সম্ভাব্যতা ফাংশন নির্ধারণ করা হয়, অর্থাৎ, প্রতিটি ইভেন্টের জন্য, 0, 1 এর মধ্যে একটি মান দেওয়া হয়, যা সেই ঘটনার সম্ভাব্যতার জন্য। নমুনা স্থান, ইভেন্টের সংগ্রহ, এবং সম্ভাব্যতা ফাংশন, তিনজনই সম্ভাব্যতা স্থান গঠন করে।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি কেবলমাত্র একটি ইভেন্ট A এর প্রতি আগ্রহী হতে পারবেন না, তবে A এর প্রতি আগ্রহী নন। সুতরাং ইভেন্টের সংগ্রহটি যথেষ্ট বড়, কমপক্ষে কিছু অন্তর্ভুক্ত করা উচিত। এটি বিবাহের আগে অতিথি তালিকার মতো। খুব কম লোককে আমন্ত্রণ জানানো যেতে পারে, যেমন উভয় পক্ষের পিতা-মাতা। একবার আপনি যদি কাউকে তালিকাবদ্ধ করেন তবে তার সাথে ঘনিষ্ঠ ব্যক্তিদেরও আমন্ত্রণ জানানো উচিত। সুতরাং প্রতি 1 জনের তালিকায় কেবল 1 জন যোগ করা হবে না, তবে তার সাথে আরও কয়েক ডিগ্রি বাড়ানো হবে। সম্ভাব্যতা ফাংশন, যেহেতু সম্ভাব্যতার নামটি গুরুত্বপূর্ণ, অবশ্যই অতীতের সম্ভাব্যতার স্বীকৃতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, কিছু মৌলিক শর্ত পূরণ করে।

সম্ভাব্যতা স্থান কাঠামোর অধীনে, সম্ভাব্যতা ব্যাখ্যা করার যে কোনও পদ্ধতি অবলম্বন করুন না কেন, লোকেরা নিজেরাই এটি প্রকাশ করতে পারে এবং তার সম্ভাব্যতার অর্থ খুঁজে পেতে পারে। তবে বিমূর্তকরণের পরে, তামার ফলক, ছুরি এবং জুজু কার্ড ইত্যাদির মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়, আরও সাধারণ সমস্যা নিয়ে আলোচনা করা যেতে পারে, যথেষ্ট তত্ত্ব রয়েছে যা খনন করা যেতে পারে।

গণিতের অন্যান্য শাখার তুলনায় সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বিকাশ অনেক দেরিতে হয়েছিল। কিন্তু ধারাবাহিকীকরণের পরে, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব দ্রুত এবং গভীরভাবে বিকাশ লাভ করে এবং এটি গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্র হয়ে ওঠে। এটি একবিংশ শতাব্দীর গুরুত্বপূর্ণ সম্ভাব্যতাবিদ, রাশিয়ার আন্দ্রে কোমোগোরভ (অ্যান্ড্রে নিকোলায়েভিচ কোলমোগোরভ, ১৯০৩-১৯৮৭) এর 1933 সালে প্রকাশিত বইয়ের জন্য দায়ী, যা সম্ভাব্যতার তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপন করে।

একটি গাণিতিক শাখা হিসেবে সম্ভাব্যতা তত্ত্বকে অক্ষর থেকে বিকাশ করা যেতে পারে এবং হওয়া উচিত, যেমন জ্যামিতি এবং বীজগণিত।

• ### কোন সম্ভাবনা আছে?

ফরাসি নিউটন নামে পরিচিত পিয়ের-সাইমন, মার্কস ডি ল্যাপ্লাস, ১৭৪৯-১৮২৭ বলেছেনঃ

এই বিজ্ঞান, which originated in the consideration of games ofchance, should have become the most important object of human knowledge. Themost important questions of life are, for the most part, really only problemsof probability. (জীবনের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নগুলি বেশিরভাগ অংশে সত্যই কেবল সম্ভাব্যতার সমস্যা) ।

সম্ভাব্যতা হলো এলোমেলো ঘটনার জন্য। কিন্তু পৃথিবীতে সব কিছুই এলোমেলো নয়, আমরা বলেছি যে, এলোমেলোতাও আছে। ধরুন, আপনি এক বা দুইটা তামার ফলক নিক্ষেপ করেন, এবং আপনি দেখেন যে, আপনি সেই ফলকটি পেয়েছেন। আপনি জানেন যে, এলোমেলোতা অবশ্যই আছে, কিন্তু আপনি বলতে পারেন যে, এলোমেলোতার সম্ভাবনা ১, এবং অন্য সব কিছুর সম্ভাবনা ০। অর্থাৎ, এটাকে অবনতিশীল এলোমেলোতার ঘটনা হিসেবে বিবেচনা করুন।

কিছু পদার্থবিজ্ঞানী অবশ্যই বিশ্বাস করেন যে তামার প্লেট ছুড়ে ফেলার জন্য, প্রদত্ত গতি, কোণ, স্থলটির স্থিতিস্থাপকতা, তামার প্লেটের আকৃতি এবং ওজন ইত্যাদির শর্তাদি দ্বারা গণনা করা যেতে পারে, তামার প্লেটটি মাটিতে পড়ার পরে, সেই দিকটি উপরে উঠবে, সুতরাং এটি এলোমেলো নয়।

কিছু ধর্মতত্ত্ববিদ মনে করতে পারেন যে সবকিছুই আসলে ঈশ্বরের ইচ্ছায় চলেছে, তবে আমরা জানি না। সম্ভবত এটি সত্য। আপনি কি জেসন প্রিন্স এবং আর্গোনাটস দেখেছেন? এটি গ্রীক পুরাণের উপর ভিত্তি করে তৈরি একটি চলচ্চিত্র, যা দ্বাদশ নক্ষত্রের বৃষ রাশির সাথে সম্পর্কিত, 1963 সালে নির্মিত। যদিও আমি ছোটবেলায় দেখেছি, তবুও আমি এখনও মুগ্ধ। চলচ্চিত্রটিতে প্রিন্স জেসন তার ছেলের সাথে মুখোমুখি হওয়া বিভিন্ন আকস্মিক বিপর্যয় এবং বারবার বীরত্বের সাথে মিলিত হয়, তবে পরমেশ্বর হেরা এবং দেবদূত জিউস পৃথকভাবে লড়াই করে, আক্রমণ করে এবং সহায়তা করে।

প্রযুক্তিগত অগ্রগতির সাথে সাথে, লোকেরা ধীরে ধীরে অনেকগুলি ঘটনার প্রবাহ এবং প্রবাহ বুঝতে শুরু করেছে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানি যে একবার মহিলা গর্ভবতী হলে, শিশুর লিঙ্গটি নিশ্চিত হয়ে গেছে। তবে একটি বড় পেটের মহিলার জন্য, ভাল কর্তা অজান্তেই তার পুত্র-কন্যা জন্মের সম্ভাবনা অনুমান করতে পারে। পরীক্ষার আগের দিন, শিক্ষার্থীরা যত্ন সহকারে প্রস্তুতি নিয়েছে, তবে মস্তিষ্কের অনুমানগুলি শেষ করে, প্রত্যেকেরই মনে হয় যে তারা খুব সম্ভাব্য বিষয়গুলি নিয়ে পরীক্ষা করেছে। শিক্ষকরা যখন জানতে পেরেছিল, তখন তারা হাসতে লাগল। ক্লাসে বারবার ইঙ্গিত দেওয়া হয়েছিল যে পরীক্ষার বিষয়গুলি প্রায় নিশ্চিত হয়ে গেছে, কেন আরও অনুমান করা দরকার?

কিন্তু যে শিক্ষক প্রশ্নটি ঠিক করে রেখেছেন, তার কাছে কোন প্রশ্নের উত্তর পাওয়ার সম্ভাবনা নেই। কারণ তার কাছে, প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর পাওয়ার সম্ভাবনা ১ বা ০, অন্য কোন মান নয়। একইভাবে, যারা ফলটি দেখেছে তাদের জন্য ফলটি হল হলুদ বা আপেলের সম্ভাবনা ১ বা ০। এলোমেলোতা আর নির্বিচারের মধ্যে পার্থক্য রয়েছে। আমরা বলেছি, সম্ভাবনার মধ্যে যে যুক্তি আছে, তা যথেষ্ট স্থিতিস্থাপক, যাতে মানুষ ঝুলতে পারে, তবে তা এখনও যুক্তিসঙ্গত, অন্যথায় এটি উত্তোলন করা হয়। যদি আপনি স্পষ্টভাবে জানতে চান যে এটি একটি আপেল, তবে এটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা ০.৫; অথবা স্পষ্টভাবে বলতে পারেন যে ডাক্তারের কাছ থেকে সমস্ত তথ্য পাওয়ার জন্য অপেক্ষা করা হচ্ছে, এবং এটিও বলা হয়েছে যে পুরুষ এবং মহিলাদের জন্মের সম্ভাবনা ০.৫, তাহলে আমরা সম্ভাবনার কথা বলছি না।

• ### ব্যাখ্যা সম্ভাবনা

ধারা ২-এ আমরা সম্ভাব্যতাকে সম্ভাব্যতা স্পেসের মাধ্যমে উপস্থাপন করেছি। যেহেতু নমুনা স্থানটি ভার্চুয়াল হতে পারে, তাই ঘটনাটিও ভার্চুয়াল। কিন্তু যদি আমরা সত্যিই একটি পর্যবেক্ষণ করি, যেমন একটি 4 টি পৃষ্ঠার চারটি দিকের সংখ্যা 1, 2, 3, 4 এবং পর্যবেক্ষণের সংখ্যা। তাহলে নমুনা স্থানটি 1, 2, 3, 4 এর একটি সেট। ঘটনাগুলির সেটটি সবচেয়ে বড়, যা এই স্থানটির সমস্ত সন্তানের সমন্বয়ে গঠিত একটি সেট। আপনি যদি সারিবদ্ধ সংমিশ্রণটি অধ্যয়ন করেন, তবে আপনি জানতে পারবেন যে সবচেয়ে বড় ঘটনাগুলির সেটটিতে মোট 162 টি উপাদান রয়েছে।

এমনকি আপনি যদি সম্ভাব্যতার স্থান সম্পর্কে ধারণাটি গ্রহণ করে থাকেন, যেহেতু গণিতবিদরা প্রায়ই কিছু স্বার্থক সংজ্ঞা দেয়, আপনি এখনও জানতে চাইতে পারেন যে, “0.1” এর সম্ভাব্যতা কি? এটা কি 10 বার, এবং “1” এর সম্ভাব্যতা 1 বার? না! একটি সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সাথে যুক্ত একটি গণিত বিভাগের স্নাতক আপনাকে এইভাবে ব্যাখ্যা করেছেনঃ

অনুমান করা যায় যে, n বার, বিন্দু সংখ্যা 1 a বার দেখা দেয়, তাহলে আপেক্ষিক ঘনত্ব a/n এবং 0.1 এর পার্থক্যের পরম মান, একটি প্রদত্ত ধনাত্মক সংখ্যা (যতই ছোট হোক না কেন) এর সম্ভাব্যতার চেয়ে বড় হবে, n এর কাছাকাছি আসার সাথে সাথে 0 এর কাছাকাছি যাবে।

বাস্তববাদী আপনি সম্ভবত এই ব্যাখ্যাটি ব্যবহারিক বলে মনে করবেন না। প্রথমে প্রশ্ন করুন যে, অসীমতার কাছাকাছি কি? আপনি বিক্ষিপ্তভাবে নিক্ষেপ করছেন, থামতে পারবেন না, সূর্যোদয় এবং সূর্যাস্ত, বসন্ত থেকে শরৎ, বিক্ষিপ্তভাবে নিক্ষেপ করুন, এমনকি যদি ক্যাভারেজ সফল হয়, অসীমতা এখনও পৌঁছায় না, তবে আপনাকে অবশ্যই নিক্ষেপ করতে হবে। গণিত বিভাগের স্নাতক, যখন আপনি অসীমতা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেন, তখন মাছের মতো পানির মতো, এটি তার গণিত বিভাগের চার বছরের শীতল উইন্ডোতে শিখেছেন এমন কয়েকটি কৌশলগুলির মধ্যে একটি। আপনি কখনই অসীমতার বিষয়টি বন্ধ করতে বাধ্য হন, কারণ ক্যাভারেজ, আপনি কি মনে করেন যে এটি সফল হবে? আপনি কীভাবে সম্ভাব্যতা ব্যাখ্যা করতে পারেন, যা অসীমতার সাথে জড়িত? তবে আপনি কিছুটা বিরক্ত হন যে আমি সম্ভাব্যতার মূল্য বুঝতে পারি না, তবে কীভাবে সম্ভাব্যতার ধারণাটি আমাকে ব্যাখ্যা করতে হবে?

সম্ভাব্যতার মান ব্যাখ্যা করার জন্য, এটি সম্ভাব্যতা এবং অসীমতা, স্তর এবং স্তর দ্বারা ঘূর্ণিত হবে। এটি একটি বিন্দু কি সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করার মতো, ফলাফলটি একটি লাইন গ্রুপের মধ্যে আটকে পড়ার মতো হবে। অবশেষে, শুধু বলতে হবে, বিন্দুটি একটি অনির্ধারিত নাম্বার। তবে যাই হোক না কেন, আপনি বুঝতে হবে যে, উপরের 4 টি দিকের জন্য, কেবলমাত্র 1 টি বিন্দু প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.1 প্রদর্শিত হবে না, অর্থাৎ 0.1।

গণিত বিভাগের স্নাতক এর ব্যাখ্যা, এটি একটি সহজ সংস্করণ যা ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি একটি বড় সংখ্যার আইন। গাণিতিকভাবে, ঘটনার আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি, মিটিংয়ের সম্ভাবনা ঘটনার সম্ভাবনার সাথে একত্রিত হয়। এটি একটি র্যান্ডম জগতে, এখনও কিছু নিয়ম অনুসরণ করা দরকার, এবং বৃহত্তর আইনটি একটি গুরুত্বপূর্ণ একটি। অবশ্যই আমরা উল্লেখ করেছি যে, প্রকৃতপক্ষে ঘটনাটি অসীম সংখ্যক বার পর্যবেক্ষণ করা সম্ভব নয়। এটি কি বলতে পারে যে, ঘটনার আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি, যখন পর্যবেক্ষণের সংখ্যা যথেষ্ট বড়, ঘটনার সম্ভাবনার কাছাকাছি হওয়া উচিত?

একটি ঘটনা ঘটতে পারে যতক্ষণ না তার সম্ভাব্যতা ইতিবাচক। সুতরাং, পর্যবেক্ষণের সংখ্যা যতই বড় হোক না কেন, খুব পক্ষপাতদুষ্ট (যেমন, 1,000,000 বার পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে, পয়েন্ট 1 এর সংখ্যা 0 বা 1,000,