संभाव्यता में ट्रेडिंग दर्शन

1987 में, प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन (1887-1920) के जन्म की शताब्दी थी। उनकी स्मृति में, कई कार्यक्रम आयोजित किए गए थे। भारत में जन्मे प्रसिद्ध आधुनिक सांख्यिकीविद सी. राधाकृष्ण राव (1920) को तीन भाषणों के लिए आमंत्रित किया गया था। बाद में, भारतीय सांख्यिकी संस्थान (Indian Statistical Institute) ने राव के भाषणों के आधार पर, 1989 में, उनकी पुस्तक सांख्यिकी और सत्य प्रकाशित की। 1997 में इसका दूसरा संस्करण जारी किया गया था।

• पहले संस्करण के प्रस्तावना में, राउ ने उल्लेख कियाः

  जब मैं एक छात्र था, तो मैंने गणित में एक प्रकार की तर्कशास्त्र का अध्ययन किया, जो दिए गए आधार पर निष्कर्ष निकालता है। बाद में मैंने सांख्यिकी में एक प्रकार की तर्कसंगत पद्धति का अध्ययन किया, जो अनुभव से सीखी जाती है, और एक प्रकार की तर्कशास्त्र, जो दिए गए परिणामों से पूर्वानुमानों को सत्यापित करती है। मैंने गणित और सांख्यिकी को मान्यता दी है, जो प्राकृतिक ज्ञान को बढ़ाने और दैनिक मामलों के प्रभावी प्रबंधन के लिए मानव के सभी प्रयासों में महत्वपूर्ण है।

  मेरा विश्वास हैः

  • अंततः, सभी ज्ञान इतिहास है।

  • एक अमूर्त अर्थ में, सभी विज्ञान गणित हैं।

  • तर्क की दुनिया में, सभी निर्णय सांख्यिकीय हैं।

    यह वाक्य गणित और सांख्यिकी के महत्व और उनके संबंधित अर्थों के बारे में बताता है।

    लंबे समय से, उच्च विद्यालय के गणित में संभावनाओं के विषय शामिल हैं, जिनमें से क्लासिक संभावनाओं का एक बड़ा हिस्सा है। इसलिए, संभावनाएं अक्सर क्रमबद्ध संयोजनों से जुड़ी होती हैं। जबकि क्रमबद्ध संयोजन एक अधिक जटिल गणित का विषय है। हालांकि, छात्र कभी-कभी जटिल विषयों से भ्रमित हो जाते हैं। हालांकि, यह केवल एक तकनीकी पहलू है, संज्ञानात्मक रूप से, यह आमतौर पर बहुत भ्रमित नहीं होता है। हाल के वर्षों में, सांख्यिकी के महत्व को देखते हुए, उच्च विद्यालय के गणित में, सांख्यिकीय विषयों को धीरे-धीरे जोड़ा गया है।

    एक और प्रसिद्ध सांख्यिकीविद्, पोलैंड में जन्मे और 1938 में संयुक्त राज्य अमेरिका में बसने वाले जेरज़ी नेमन (1894-1981) द्वारा विश्वास क्षेत्र की अवधारणा की शुरुआत की गई थी। यह पहली बार 1934 में एक भाषण में प्रस्तावित की गई थी। अपने भाषण के अंत में, कांग्रेस के अध्यक्ष आर्थर लियोन बॉली (1869-1957) ने अपने संबोधन में कहा, "मुझे यकीन नहीं है कि यह विश्वास विश्वास का खेल नहीं है।" जब नेमन विश्वास क्षेत्र की अवधारणा की शुरुआत की गई थी, तो अधिकांश सांख्यिकीविदों, जिसमें आधुनिक सांख्यिकी के संस्थापक के रूप में पहचाने जाने वाले ब्रिटिश फिशर (सर रोनाल्ड एइल फिशर, 1890-1962, जिसे अक्सर आरए फिशर के नाम से जाना जाता है) शामिल थे, इसे स्वीकार करना मुश्किल था। 95% विश्वास क्षेत्र में, क्या यह वास्तव में 95% की संभावना है?

    वर्षों के बाद, सत्तर से अधिक वर्षों के बाद, आज के सांख्यिकीविदों, निश्चित रूप से पूरी तरह से विश्वास क्षेत्र के अर्थ को समझ गए हैं। केवल विश्वविद्यालयों में, चाहे संभावना और सांख्यिकी, सांख्यिकी, और गणितीय सांख्यिकी जैसे पाठ्यपुस्तकों में, विश्वास क्षेत्र आमतौर पर उत्तरार्ध के विषयों में से एक है। यानी, जब विश्वविद्यालय के छात्र संबंधित पाठ्यक्रमों में विश्वास क्षेत्र से संपर्क करना शुरू करते हैं, तो लगभग पर्याप्त संभाव्यता सांख्यिकीय आधार है। अब यह विषय गणित में लोकप्रिय हो गया है, और 95 पाठ्यक्रमों के बाद (98 पाठ्यक्रमों के बाद 99 शैक्षणिक वर्षों में लागू किया गया है) इसे बरकरार रखा गया है। लेकिन पर्याप्त प्रारंभिक ज्ञान की कमी के कारण, उच्च माध्यमिक छात्रों को अवशोषित करना आसान नहीं है, बल्कि अपेक्षित है।

    यह अनुमान लगाने का मुख्य कारण इसकी महत्ता है। यह केवल मीडिया में प्रकाशित होने वाले विभिन्न सर्वेक्षणों के परिणामों के बारे में विश्वास की रेंज और विश्वास के स्तर को देखकर समझा जा सकता है।

    कुछ सांख्यिकीय पाठ्यपुस्तकों में, विश्वास क्षेत्र एक अध्याय का हिस्सा है। विभिन्न मापदंडों के लिए, विभिन्न वितरण, विभिन्न विश्वास क्षेत्रों हो सकता है; यहां तक कि एक ही मापदंड और एक ही वितरण, विभिन्न तरीकों से, विभिन्न विश्वास क्षेत्रों प्राप्त कर सकते हैं। कभी-कभी अपर्याप्त परिस्थितियों, या गणना की जटिलता आदि के कारण, बस वापस जाने के लिए, एक करीबी विश्वास क्षेत्र प्राप्त करें। बेशक, यह कुछ शर्तों की आवश्यकता है, और कुछ सिद्धांतों का उपयोग करना। विश्वास क्षेत्रों की तुलना करना बेहतर है।

    सामान्य वितरण, भरोसे के दायरे और विश्वास के स्तर के बारे में व्याख्या करते हुए, वे कहते हैं:

    माध्यमिक स्तर के सांख्यिकीय निष्कर्ष केवल यादृच्छिक चर के अपेक्षित मानों का अनुमान लगाते हैं, इसके पीछे सिद्धांत केंद्रीय समापन सिद्धांत है। केंद्रीय समापन सिद्धांत को पेश करने के लिए, सामान्य वितरण को पेश करने की आवश्यकता है। यह भाग केवल सामान्य ज्ञान का परिचय है, सक्रिय रूप से छात्रों के लिए केंद्रीय समापन सिद्धांत की अंतर्दृष्टि का निर्माण करता है। एक निश्चित आत्मविश्वास स्तर के लिए, एक भरोसेमंद अंतराल सूत्र दिया जाता है, फिर छात्रों को एक यादृच्छिक तालिका के साथ अनुकरण करने या प्रयोग करने के लिए कहा जाता है।

    इस अनुच्छेद में कुछ प्रश्न हैं, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है। जैसे कि पहले वाक्य में यह कहा गया है कि इसके पीछे का सिद्धांत केंद्रीय ध्रुवीय परिसीमित तर्क है, यह नहीं पता कि यह कहां से आया है। यह गैर-सांख्यिकीय धारणा है। पाठ्यक्रम में व्याख्या अस्पष्ट है, जो गंभीरता से पढ़ाते हैं, जो छात्रों को पढ़ाना चाहते हैं, वे केवल इसके सिद्धांतों को समझते हैं। कुछ लेखों में यह भी दावा किया गया है कि वे इन अवधारणाओं को स्पष्ट करने में सक्षम हैं। यह सिर्फ व्याख्या है, जो अक्सर सटीक नहीं है।

    विश्वास के अंतराल के बारे में सोचने के बाद, यह अक्सर एक ऐसी स्थिति में गिर जाता है, जैसा कि किम जोंग उन ने कहा था। क्या यह वास्तव में है कि कई शिक्षार्थियों ने संभावना के अर्थ को सही ढंग से समझने में विफल रहे हैं?

• संभावना का अर्थ

  एक गड्ढे में 6 पक्ष होते हैं, और एक गड्ढे के नीचे, एक सम संख्या की संभावना क्या है? गड्ढे में कोई भिन्नता नहीं है, यह मानते हुए कि प्रत्येक पक्ष के समान होने की संभावना है, यानी 1/6। जबकि सम संख्याओं में 2, 4, 6 और 3 हैं। इसलिए, वांछित संभावना 3/6 है। यही वह संभावना है जिसे क्लासिक कहा जाता है, जो कि एक ही संभावना है। पहले, हम कुछ संभावित अवलोकनों को देखते हैं, और फिर हम उनमें से कुछ में रुचि रखते हैं। बाद के लोगों को बाहर निकालने से पहले, यह वांछित संभावना है। हालांकि यह क्लासिक गड्ढे है, संभावना का यह अर्थ अभी भी हर जगह देखा जा सकता है।

  जुलाई के अंत में और अगस्त के शुरू में, 2009 में, टाइगर वुड्स, गोल्फ के विश्व चैंपियन, ने अमेरिका के मिशिगन में बुइक ओपन में भाग लिया। उन्होंने पहला राउंड पूरा किया, जो अग्रणी से 8 अंक पीछे था, और 95 वें स्थान पर था। इसने उनके करियर में पहली बार दो लगातार टूर्नामेंटों से बचने के लिए प्रेरित किया, जिसे पहले ब्रिटिश ओपन (द ओपन चैम्पियनशिप, जिसे ब्रिटेन के बाहर अक्सर ब्रिटिश ओपन कहा जाता है) के रूप में जाना जाता था।

  खेलों के खेल, अक्सर अतीत के आंकड़े उपलब्ध होते हैं, और इस समय समान संभावनाओं का उपयोग करना उचित नहीं है। 36 में से 35 बार सफल, 35/36 की सापेक्ष आवृत्ति के साथ। (लगभग 0.972) । इस सापेक्ष आवृत्ति के साथ संभावनाओं की व्याख्या करने के लिए, यह एक सामान्य तरीका है। दोहराए जाने वाले अवलोकनों की घटनाओं के लिए लागू किया जा सकता है। क्या कोई ठंड का विस्फोट नहीं होगा? बेशक केवल एक विशेष घटना के लिए। अतीत में कई बार एक ही स्थिति में, घटना की सापेक्ष आवृत्ति, अगली घटना की संभावना का अनुमान लगाने के लिए, अधिक जानकारी के बिना, आमतौर पर एक दर्शक विधि के अंतर्गत माना जाता है।

  एक आदमी एक लड़की को देखता है और सोचता है कि यह उसकी जीवन की दुल्हन है। आकलन के बाद, आत्मविश्वास से भरा है, 8 प्रतिशत की संभावना है कि वह खुद को स्वीकार कर लेगा। बाकी लोग अच्छे नहीं दिखते हैं, उससे पूछते हैं कि यह 8 प्रतिशत संख्या कैसे सामने आई? वह आदमी एक कैलेंडर का हवाला देता है, एक के बाद एक संकेत, दिखाता है कि लड़की उसके साथ अच्छी तरह से पसंद करती है। यह 0.8 की संभावना, जिसे व्यक्तिपरक संभावना कहा जाता है।

  व्यक्तिपरक संभावनाएं निश्चित रूप से कुछ वस्तुनिष्ठ तथ्यों पर आधारित हो सकती हैं। केवल एक ही जानकारी के सामने, विभिन्न लोगों के अलग-अलग निर्णय हो सकते हैं, और इसलिए अलग-अलग व्यक्तिपरक संभावनाएं दी जा सकती हैं ((क्या आपने देखा है कि वह वास्तव में आपको उतना पसंद नहीं करता है ((He<unk>s Just Not That Into You))? फिल्म में गिगी नाम की लड़की, अक्सर लड़के द्वारा बताए गए संदेश को गलत समझती है) । कुछ घटनाओं को दोहराया नहीं जा सकता है। जैसे कि परमाणु ऊर्जा संयंत्र की दुर्घटना, और धूमकेतु पृथ्वी से टकराता है।

  उदाहरण के लिए, लड़कियों को पीछा करने के लिए, लगभग कुछ लड़कियां हैं, जो आपको एक प्रयोग करने के लिए कहेंगी, बार-बार पीछा करें, और फिर उनमें से कुछ सफल हों, यह निर्धारित करने के लिए कि वह आपके द्वारा पीछा की जाने की संभावना है। इस तरह की घटनाओं के लिए जो बार-बार नहीं देखी जा सकती हैं, जब संभावना की बात की जाती है, तो व्यक्तिपरक संभावना अक्सर उपयोग में आती है। हर सुबह बाहर निकलने के बाद, क्या हम आकाश को देखने के लिए उपयोग नहीं करते हैं और अगले दिन बारिश होने की संभावना का आकलन करते हैं? बस अक्सर माता-पिता को लगता है कि संभावना अधिक होगी, और बच्चे को लगता है कि संभावना कम होगी।

  यद्यपि यह बहुत ही व्यक्तिपरक है, फिर भी यह तर्कसंगत है। उदाहरण के लिए, परीक्षा में उत्तीर्ण होने और उत्तीर्ण न होने की संभावना है। यदि यह माना जाता है कि उत्तीर्ण होने की संभावना 0.9 है, तो यह ठीक है, तो व्यक्ति को हमेशा थोड़ा आत्मविश्वास होना चाहिए, लेकिन यदि आप एक ही समय में डरते हैं कि 0.8 की संभावना नहीं है, तो यह ठीक नहीं है। विभिन्न संभावनाओं की संभावनाएं 1 हैं। यहां तक कि अगर यह व्यक्तिपरक है, तो यह एक अनन्य बहस हो सकती है, फिर भी यह कहना आवश्यक है। यह नहीं कहा जा सकता है कि, चूंकि यह व्यक्तिपरक है, तो आप स्वतंत्र रूप से घटनाओं की संभावना निर्धारित कर सकते हैं। इसलिए, न तो यह संभावना के बारे में एक व्याख्या है, जो स्वाभाविक रूप से संतुष्ट है, या कुछ सामान्य नियम हैं। यह सभी को समझना चाहिए।

  उपरोक्त तीन संभावनाओं के सामान्य व्याख्याएं हैं, जो ज्यादातर लोगों के लिए घटना की संभावना के आकार का आकलन करने के लिए कई प्रकार की मानसिकता हैं। हालांकि वे विभिन्न परिस्थितियों के लिए हैं, लेकिन अक्सर परस्पर लागू होते हैं। हम सभी ने एक हत्यारे के बारे में सुना है! एक व्यक्ति ने एक ही नाम के एक हत्यारे के साथ एक हत्यारे को मार डाला, एक दयालु व्यक्ति ने अपनी दादी को बताया कि दादी ने हत्या की थी। माँ ने कहा कि उसका बेटा हत्यारा नहीं था, उसने कपड़े बुना जारी रखा। एक पल के बाद, एक और व्यक्ति ने कहा कि दादी ने हत्या की थी। दादी ने अभी भी कपड़े बुना जारी रखा, इतना अच्छा बेटा कैसे मार सकता है?

  बेशक, आप विश्वास कर सकते हैं, कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या नतीजा निकलता है, सभी को लगता है कि यह केवल एक क्षणिक स्थिति है, यह दृढ़ता से लगता है कि यह एक न्यायसंगत तांबे की थाली है। यह नहीं है कि यह नहीं हो सकता है, जैसे कि एक माँ होगी, यहां तक कि अगर कोई और गवाह है, तो वह नहीं मानती कि उसका बेटा किसी को मार देगा जब तक कि उसने इसे अपने आंखों से नहीं देखा था। यादृच्छिक घटनाओं को जानने के लिए, घटनाएं तब तक हो सकती हैं जब तक कि संभावना सकारात्मक है, चाहे संभावना कितनी भी छोटी क्यों न हो। आखिरकार, तांबे की थाली के सकारात्मक होने की संभावना क्या है, केवल भगवान ही जानता है। लेकिन संभावना और आंकड़ों को पेश करने से हमें निर्णय लेने में मदद मिलती है ताकि हम अधिक सटीक हो सकें। और निर्णय समय के साथ आगे बढ़ सकते हैं, लेकिन यह नहीं कि स्थिति बदल जाए। जैसे कि मौसम में तूफान कितनी बारिश लाएगा, हमें नए कार्यों को बारीकी से पकड़ना होगा, और समय-समय पर व्यवस्थित रूप से संशोधित करना होगा। जैसा कि लॉक्स ने कहा था, जैसा कि पहले कहा गया था, परीक्षण के परिणामों के आधार

  हालांकि संभावनाओं के बारे में तीन व्याख्याएं हैं, जो वास्तविक जीवन में कई स्थितियों को कवर करती हैं, लेकिन गणितज्ञ निश्चित रूप से यहां नहीं रुकते हैं। वे अमूर्त और सामान्यीकरण पसंद करते हैं। जैसे कि एक समीकरण को हल करने के लिए, वे किसी प्रकार के समीकरण का समाधान व्यक्त करने के लिए एक सूत्र की तलाश करेंगे, न कि केवल एक विशेष उदाहरण के समाधान के लिए। फिर, जब आप वास्तविक संख्या प्रणाली को पूरी तरह से समझते हैं, तो आप इसे तर्कसंगत तरीके से परिभाषित करते हैं। यानी, एक सेट, यह नहीं कहना कि संख्याओं का एक सेट, आप इसके तत्वों के लिए द्विआधारी संक्रिया को परिभाषित करते हैं, और 10 सिद्धांतों का पालन करते हैं (अक्षीयों, नियम) ।

  क्या एक axiomatic तरीके से, संभावनाओं को पेश करने के लिए? पहले एक संग्रह है, कहा जाता है नमूना अंतरिक्ष, एक अवलोकन के सभी संभावित परिणामों का संग्रह के रूप में. यह वास्तव में अवलोकन किया जा सकता है, या केवल आभासी. नमूना अंतरिक्ष के कुछ उप-समूह, हम रुचि रखते हैं, ये एक घटना है. सभी घटनाओं को भी एक संग्रह है.

  इसमें नमूने के स्थान की बहुत अधिक आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह खाली संग्रह नहीं हो सकता है। और घटनाओं का संग्रह, कुछ शर्तों को पूरा करने के लिए। सरल शब्दों में, यह है कि आपके लिए रुचि की घटनाएं बहुत कम नहीं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, आप केवल एक घटना A में रुचि नहीं ले सकते हैं, लेकिन A में कोई दिलचस्पी नहीं है। इसलिए घटनाओं का संग्रह पर्याप्त बड़ा है, कम से कम कुछ को शामिल किया जाना चाहिए। यह शादी से पहले अतिथि सूची की तरह है। बहुत कम लोगों को आमंत्रित किया जा सकता है, जैसे कि केवल दोनों पक्षों के माता-पिता। एक बार जब आप किसी व्यक्ति को सूचीबद्ध करते हैं, तो उसके करीबी लोगों को भी आमंत्रित किया जाना चाहिए। इसलिए प्रत्येक 1 व्यक्ति की सूची में केवल 1 व्यक्ति को जोड़ना पर्याप्त नहीं होगा, लेकिन इसके साथ ही कुछ और वृद्धि होगी।

  संभावना अंतरिक्ष की संरचना के तहत, जो भी संभावना को व्याख्या करने का तरीका अपनाता है, वह अपने आप को व्यक्त कर सकता है और संभावना का अर्थ पा सकता है। लेकिन अमूर्तता के कारण, यह तांबे के तख्ते, छड़ और पोकर कार्ड आदि तक सीमित नहीं है, और सामान्य समस्याओं पर चर्चा करने के लिए पर्याप्त सिद्धांतों का पता लगाया जा सकता है।

  गणित के अन्य क्षेत्रों की तुलना में, संभाव्यता का विकास देर से हुआ था। हालांकि, औपचारिकता के बाद, संभाव्यता सिद्धांत ने तेजी से गहरा विकास किया और गणित में एक महत्वपूर्ण क्षेत्र बन गया। यह बीसवीं शताब्दी के प्रमुख संभाव्यताविद, रूस के आंद्रेई कोल्मोगोरोव (Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-1987) के लिए धन्यवाद है, जिन्होंने 1933 में प्रकाशित अपने 100 से कम पन्नों की पुस्तिका (Foundationssof the Theory of Probability) में संभाव्यता सिद्धांत की नींव रखी थी। इस पुस्तक में, उन्होंने कहाः

  एक गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता का सिद्धांत, ज्यामिति और बीजगणित की तरह, सिद्धांतों से विकसित किया जा सकता है और विकसित किया जाना चाहिए।

• संभावनाएं कहाँ हैं?

  लैप्लास, जिसे फ्रेंच न्यूटन के नाम से जाना जाता है, ने कहाः

  यह विज्ञान, जो खेल के विचार में उत्पन्न हुआ, मानव ज्ञान का सबसे महत्वपूर्ण वस्तु होना चाहिए था। जीवन के सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न, अधिकांश भाग के लिए, वास्तव में केवल संभावना की समस्याएं हैं।

  संभावनाएं यादृच्छिक घटनाओं के लिए होती हैं. लेकिन दुनिया में सब कुछ यादृच्छिक नहीं है, हमने कहा है कि वहाँ भी अनिवार्यता है. मान लीजिए कि एक या दो पक्षों को फेंकना मानव सिर के तांबे के तख्ते हैं, और देखने के लिए एक पक्ष मिलेगा. आप जानते हैं कि यह एक अनिवार्य घटना है, लेकिन फिर भी यह कहा जा सकता है कि मानव सिर की संभावना 1 है, जबकि अन्य स्थितियों की संभावना 0 है.

  कुछ भौतिकविदों का मानना है कि एक ताम्रपत्र को फेंकने के लिए, दी गई गति, कोण, जमीन की लोच, ताम्रपत्र के आकार और वजन जैसी स्थितियों के आधार पर, यह गणना की जा सकती है कि ताम्रपत्र जमीन पर गिरने के बाद, वह उस दिशा में जाएगा, इसलिए यह यादृच्छिक नहीं है।

  कुछ धर्मशास्त्रियों का मानना है कि सब कुछ वास्तव में भगवान की इच्छा के अनुसार होता है, लेकिन हम नहीं जानते। शायद ऐसा ही है। क्या आपने जेसन प्रिंस की लड़ाई देखी है? (जेसन एंड द अर्गोनाइट्स) यह ग्रीक पौराणिक कथाओं पर आधारित एक फिल्म है, जो बारह सितारों में से एक वृषभ राशि से संबंधित है, 1963 में बनाई गई थी। मैंने इसे बचपन में देखा था, लेकिन अभी भी प्रभावित हूं। फिल्म में प्रिंस जेसन के साथ अचानक होने वाली सभी आपदाएं, और एक बार फिर वीरता से मिलने वाली वीरता, लेकिन बाद में हेरा और देवदूत ज़ीउस अलग-अलग संघर्ष कर रहे हैं, लेकिन सहायता कर रहे हैं।

  तकनीकी प्रगति के साथ, लोगों को धीरे-धीरे कई घटनाओं के बारे में पता चलता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि एक बार जब एक महिला गर्भवती हो जाती है, तो बच्चे का लिंग निश्चित हो जाता है। लेकिन एक महिला के लिए एक बड़ा पेट, भले लोग अभी भी अनजाने में लड़के या लड़की के जन्म की संभावना का अनुमान लगा सकते हैं। परीक्षा की पूर्व संध्या पर, छात्रों ने गंभीरता से तैयारी की, लेकिन फिर भी वे अनुमान लगाने के लिए अपने दिमाग को बर्बाद कर देते हैं, हर कोई सोचता है कि वे बहुत अधिक संभावना वाले विषयों पर विचार कर रहे हैं। जब शिक्षक को पता चला, तो उन्हें अच्छा लगा। कक्षा में बार-बार संकेत दिया गया कि वे प्रश्न लगभग निश्चित हैं, और अनुमान लगाने की आवश्यकता क्यों है? वास्तव में, विषयों का परीक्षण किया गया है, और छात्र परीक्षा के बारे में नहीं जानते हैं, और शिक्षक के संकेतों और संकेतों को पहले से नहीं देखा है, इसलिए आप अभी भी एक बड़ा अनुमान लगा सकते हैं, जैसे कि कोई और बाहर दस्तक देता है। क्या आप उत्सुक हैं, क्या आप एक जिज्ञासु महिला हैं?

  लेकिन एक शिक्षक के लिए, जो एक प्रश्न पूछता है, यह निर्धारित करने के लिए कि उस प्रश्न की संभावना क्या होगी, इसका कोई मतलब नहीं है। क्योंकि उसके लिए, प्रत्येक प्रश्न की संभावना केवल 1 या 0 होगी, कोई अन्य मूल्य नहीं होगा। इसी तरह, जो लोग पीछे के फल को देखते हैं, वे केवल 1 या 0 कहेंगे। यादृच्छिकता के विपरीत यादृच्छिकता। हमने कहा है कि संभावनाओं में से तर्क, जो काफी लचीला है, लोगों को लहरा सकता है, लेकिन फिर भी यह उचित है, अन्यथा यह उठाया जाता है। यदि आप जानते हैं कि यह एक सेब है, तो यह एक सेब की संभावना 0.5 है; या यह स्पष्ट है कि एक प्रसूति चिकित्सक से सभी जानकारी प्राप्त की गई है, और यह भी कहा गया है कि जीवित रहने के लिए, पुरुषों और महिलाओं की संभावना 0.5 है, अन्यथा हम संभावनाओं के बारे में बात कर रहे हैं।

• व्याख्या की संभावना

  खंड 2 में हम संभावनाओं को संभावनाओं के स्थान के रूप में पेश करते हैं। चूंकि नमूना स्थान आभासी हो सकता है, इसलिए घटनाएं भी आभासी होती हैं। लेकिन मान लीजिए कि वास्तव में एक अवलोकन है, जैसे कि एक 4 पक्षों को फेंकना, 4 पक्षों में अंक 1, 2, 3, 4 को चिह्नित करते हैं, और अंक प्राप्त होते हैं। तो नमूना स्थान 1, 2, 3, 4 का एक समूह है। घटनाओं का एक समूह सबसे बड़ा हो सकता है, जो कि इस अंतरिक्ष के सभी बच्चों के सेट से बना है। यदि आप क्रमबद्ध संयोजन सीखते हैं, तो यह पता चलता है कि सबसे बड़े घटनाओं के सेट में कुल 162 तत्व हैं।

  यदि आप संभावनाओं के स्थान की अवधारणा को स्वीकार करते हैं, तो भी आप सोच रहे होंगे कि 0.1 की संभावना क्या है? क्या यह है कि 1 अंक हर 10 बार में एक बार आता है? नहीं! एक गणितज्ञ जो संभावनाओं के सिद्धांत को जानता है, ने आपको समझाया कि

  मान लीजिए कि n बार, बिंदु 1 एक बार आता है, तो सापेक्ष आवृत्ति a / n और 0.1 के अंतर का निरपेक्ष मान, किसी दिए गए धनात्मक संख्या की संभावना से अधिक होगा (चाहे वह कितना भी छोटा हो), n के करीब आने के साथ अनंत तक बढ़ जाएगा, और 0 के करीब।

  व्यावहारिक आप, शायद नहीं लगता है कि इस तरह की व्याख्या बहुत व्यावहारिक है. सबसे पहले सवाल पूछने के लिए क्या असीम के करीब है? आप फेंक रहे हैं, रोक नहीं है, सूर्योदय और सूर्यास्त, वसंत और शरद ऋतु, फेंकने के लिए जारी है, यहां तक कि अगर Quartz दिन का पीछा करने में सफल रहा है, असीम अभी तक नहीं मिला है, फिर भी फेंक दिया. गणित के स्नातक, जब आप असीम के बारे में पूछते हैं, तो मछली पानी की तरह है, यह उन कुछ चालों में से एक है जो उन्होंने गणित के चार साल के लिए सीखा है। आपको असीम के बारे में बात करना बंद करना होगा, क्योंकि Quartz दिन का पीछा करना, क्या आपको भी सफलता मिलती है? कैसे संभावना की व्याख्या को स्वीकार किया जा सकता है, जिसमें असीम भी शामिल है? लेकिन आप थोड़ा परेशान हैं कि मैं नहीं जानता कि संभावना का अर्थ क्या है, लेकिन मुझे यह बताने के लिए संभावना की अवधारणा का उपयोग कैसे करें?

  संभाव्यता मूल्य के अर्थ को समझाने की कोशिश करने पर, संभावना और असीमता में, एक परत के बाद एक परत की बारी होगी। यह कुछ ऐसा है जैसे बिंदु को परिभाषित करना है, और परिणाम के रूप में लाइन समूह में फंस जाना है। अंत में, बस इतना कहें कि बिंदु एक अपरिभाषित संज्ञा है। लेकिन किसी भी तरह से, आपको यह समझना चाहिए कि उपरोक्त 4 पक्षों के लिए, केवल एक बार फेंकने का मतलब है कि बिंदु संख्या 1 की संभावना 0.1 दिखाई नहीं दे सकती है। संभाव्यता केवल कुछ बार फेंकने के परिणाम को देखने का मतलब नहीं है। संभावना बड़े नमूने में है (n बहुत बड़ा है) ।

  पहले के गणित के स्नातक की व्याख्या है, तो यह एक साधारण संस्करण है. यह है कि बड़ी संख्या के कानूनों में से एक का एक सरल संस्करण. गणितीय अर्थ है, घटना की घटना की संभावना के लिए घटना की घटना की संभावना के लिए घटना की घटना की संभावना के साथ मेल खाता है. यादृच्छिक दुनिया में, वहाँ अभी भी कुछ नियमों का पालन करने के लिए कर रहे हैं, और बहुमत के कानून के लिए एक बहुत महत्वपूर्ण है.

  एक घटना तब तक हो सकती है जब तक कि इसकी संभावना सकारात्मक हो। इसलिए, भले ही अवलोकन की संख्या अधिक हो, एक बहुत ही पक्षपाती घटना को खारिज नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, 1,000,000 बार अवलोकन किया गया, 1 अंक 0 या 1,000,000 बार) । हालांकि, इस समय, एक सांख्यिकीविद् बाहर निकलता है, यह जांचने के लिए कि क्या 1 अंक की संभावना वास्तव में 0.1 है, यह सांख्यिकी में एक परिकल्पना की जांच करने के लिए एक श्रेणी है। सरल शब्दों में, क्या यह असामान्य है कि एक निश्चित परिकल्पना के तहत, इस तरह के परिणाम का अवलोकन किया जाएगा? असामान्य का अर्थ है कि घटना की संभावना बहुत कम है, एक निश्चित पूर्वानुमान से कम है।

  यदि यह असामान्य है, तो प्रारंभिक परिकल्पना को स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए। इसके अतिरिक्त, जब एक तांबे की प्लेट को निष्पक्ष माना जाता है, तो 100 बार फेंक दिया जाता है, जिसमें कम से कम 80 सकारात्मक होते हैं, जबकि 10 बार फेंक दिया जाता है, जिसमें कम से कम 8 सकारात्मक होते हैं, जो कि असामान्य है, क्योंकि इसकी संभावना बाद की तुलना में बहुत कम होती है। इसलिए, सकारात्मक पक्षों की संख्या का आठ प्रतिशत से अधिक प्राप्त करने के साथ, जितनी अधिक संख्या में फेंक दी जाती है, उतना ही हमें विश्वास होता है कि तांबे की प्लेट निष्पक्ष नहीं है, और इसे स्वीकार करने की संभावना कम से कम 0.8 है। यह दर्शाता है कि सांख्यिकीय रूप से, अधिक संख्या में, हमारे निष्कर्षों को अधिक सटीक बनाया जाएगा।

  यादृच्छिक दुनिया में, वास्तव में कौन सा सच है, यह अक्सर अज्ञात होता है। हम अक्सर यह साबित नहीं कर पाते कि क्या सच है। यह केवल एक परिकल्पना है, यह देखते हुए कि आप उस परिकल्पना को स्वीकार करते हैं। 4 पहलू अंक संख्या 1 की संभावना, क्या यह सच है, 0.1 है, भले ही इसे कई बार फेंक दिया जाए, इसकी सच्चाई को साबित नहीं किया जा सकता। यह केवल इतना कह सकता है कि डेटा दिखाता है कि तिल तिल को स्वीकार कर सकते हैं, या तिल तिल को स्वीकार नहीं कर सकते हैं।

  इसके अलावा, एक चौथाई के लिए, एक अंक संख्या 1 के होने की संभावना का अनुमान लगाया जा सकता है, अनुमान लगाने के कुछ अलग तरीके हैं, जो अलग-अलग अनुमानों को प्राप्त कर सकते हैं। गणित में, विभिन्न तरीकों का उपयोग करने से, एक ही परिणाम प्राप्त करना होगा। तथाकथित विशिष्टता। लेकिन आंकड़ों में, जब तक कुछ सीमाएं नहीं की जाती हैं, तब तक अक्सर एक ही तरीका नहीं होता है। भविष्य के लिए, हम अक्सर अनुमान लगाते हैं, और आंकड़े इस संबंध में एक अच्छी भूमिका निभा सकते हैं। जैसे कि तांबे की पट्टियों के सकारात्मक होने की संभावना, और लोगों की रोग जीवित रहने की दर आदि, सभी का अनुमान लगाया जा सकता है। लेकिन कभी-कभी एक अनुमान के साथ, हालांकि स्पष्ट है, अनुमानित मूल्य वास्तविक मूल्य के बराबर होना मुश्किल है, एक झटके में, अक्सर विश्वास के अंतराल की अवधारणा का अनुमान नहीं लगाया जाता है, जिससे उत्पन्न होता है।

• भरोसे का क्षेत्र

  हम अक्सर किसी अज्ञात मात्रा का अनुमान लगाते हैं। अज्ञात मात्रा किसी घटना की संभावना हो सकती है, किसी वितरण के पैरामीटर (जैसे कि अपेक्षित मूल्य और चर संख्या आदि) या किसी वस्तु का जीवनकाल आदि। इन अज्ञात मात्राओं को पैरामीटर कहा जा सकता है। कभी-कभी पैरामीटर को एक क्षेत्र में अनुमानित किया जाता है, और इस क्षेत्र में पैरामीटर की संभावना की दर दी जाती है। यह तथाकथित क्षेत्र का अनुमान है, जो विश्वास के क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। क्षेत्र में पैरामीटर की संभावना को कवर करने वाले क्षेत्र को विश्वास का स्तर कहा जाता है।

  आंकड़े (data) सांख्यिकीविदों के निर्णय लेने के लिए मुख्य आधार होते हैं। आंकड़ों की कमी में, वे अक्सर कुछ भी नहीं करते हैं। एक सरल और सामान्य स्थिति पर विचार करें। एक तांबे की पट्टिका के सकारात्मक होने की संभावना का अनुमान लगाने के लिए p। स्वाभाविक रूप से, कई बार फेंक दिया जाता है, उदाहरण के लिए, n बार, और n बार के परिणामों का अवलोकन किया जाता है। इस प्रक्रिया को लेने के रूप में जाना जाता है। इस मामले में, प्रत्येक बार के परिणामों की कुल संख्या महत्वपूर्ण नहीं है।

  यहाँ क्योंकि इसमें दो वितरण शामिल हैं, गणना अधिक जटिल है, यदि n पर्याप्त बड़ा है (यदि n बहुत छोटा नहीं है), तो हम अक्सर सामान्य वितरण का उपयोग करके अनुमान लगा सकते हैं। यह संभाव्यता सिद्धांत में एक और महत्वपूर्ण नियम, केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग करता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल सामान्य वितरण के साथ अनुमान लगाने के लिए, केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, न कि निर्भरता के अंतराल के बीच इस प्रमेय का उपयोग करना।

  अनुमानित तांबे की पट्टी के लिए सकारात्मक की संभावना p, नमूनाकरण से पहले, विश्वास क्षेत्र एक यादृच्छिक क्षेत्र है, यदि विश्वास स्तर 95% पर सेट किया गया है, तो वहाँ है (या सटीक रूप से कहा जाए, अगर विश्वास क्षेत्र केवल अनुमानित है) 0.95 की संभावना, विश्वास क्षेत्र में p शामिल होगा। नमूनाकरण के बाद, एक निश्चित क्षेत्र प्राप्त करें। तो p इस क्षेत्र में होने की संभावना है, 1 0 नहीं होगा, और p नहीं होगा। ऐसा क्यों है? कई लोग अक्सर इसके बारे में भ्रमित होते हैं।

  हम निम्नलिखित उदाहरण के साथ शुरू करते हैं। मान लीजिए कि एक स्टोर कंपनी की सालगिरह है, और ग्राहक एक निश्चित राशि की खरीदारी करते हैं, तो आप 1 से 10 नंबरों में से 1 रंगीन गेंद खींच सकते हैं। यदि आप 5 नंबर खींचते हैं, तो आज कंपनी के खर्च पर, आपको 30% क्रेडिट वाउचर मिलेगा। गेंद खींचने से पहले, आप जानते हैं कि क्रेडिट वाउचर प्राप्त करने की संभावना 0.1 है, मौका बहुत छोटा नहीं है। एक बार जब आप 3 नंबर खींचते हैं, तो क्रेडिट वाउचर प्राप्त करने की संभावना निश्चित रूप से 0 है।

  इस तरह के उदाहरण बहुत सारे हैं। हाथों को मारने से पहले, यह कहा जा सकता है कि एनीमेशन की संभावना 0.341 है, और अगर यह पूरा नहीं हुआ है, तो यह अनीमेशन नहीं है, 0.341 का उपयोग नहीं किया गया है। एक और उदाहरण दें। मान लीजिए कि किसी बैंक द्वारा जारी लॉटरी में, 1 से 42 तक, 6 यार्ड शीर्ष पुरस्कार संख्या के रूप में खोले जाते हैं। आपने 6 यार्ड का दांव लगाया है, और जीतने से पहले, आप जानते हैं कि कम से कम 1 यार्ड को खोलना आसान है, क्योंकि संभावना लगभग 0.629 है (देखें अनुलग्नक 1) । जैसे कि जीतने के बाद, आपके लॉटरी में कम से कम 1 यार्ड की संभावना होगी, 1 (यदि कम से कम 1 यार्ड है) या 0 (यदि 1 यार्ड नहीं है) ।

  फिर देखो जैसा कि पाठ्यक्रम में कहा गया है, यह भी यादृच्छिक तालिका अनुकरण में सकारात्मक दिखाई दे सकता है (अनुक्रम में कोई सकारात्मक अनुकरण शब्द नहीं है, इसका कोई मतलब नहीं है) संभावना पी के लिए तांबे की चादर n बार, भरोसे का दायरा प्राप्त करने के लिए। आप देखते हैं, पी मूल रूप से पूर्व निर्धारित है, एक निश्चित क्षेत्र को अनुकरण करने के लिए, क्या पी उसके बीच में है, एक नज़र में, यह कैसे कहा जा सकता है कि यह क्षेत्र पी की संभावना 0.95 को कवर करता है? भले ही आप अनुकरण नहीं करते हैं, लेकिन वास्तव में एक तांबे की चादर का प्रक्षेपण करते हैं, तो पी केवल अज्ञात है, लेकिन एक निश्चित मूल्य के लिए (कहा जाता है कि तांबे की चादर का प्रक्षेपण नहीं किया जा सकता है) प्रक्षेपण के बाद निश्चित विश्वास का दायरा, यादृच्छिक है, यह केवल पी को कवर करेगा, या पी को कवर नहीं करेगा। यह सोचा जा सकता है कि एक ही तांबे की चादर, प्रत्येक व्यक्ति के 95% विश्वास के बीच अलग-अलग क्षेत्र हैं, हम कैसे घोषणा कर सकते हैं कि इसकी संभावना p950.

  95% का क्या उपयोग है? 0.95 एक संभावना है, और संभावना कभी भी एक प्रयोग के परिणाम को देखने के लिए नहीं होती है। लगभग यह कहा जा सकता है कि यदि एक बार-बार प्रयोग किया जाता है, और बहुत सारे विश्वास क्षेत्र प्राप्त किए जाते हैं, तो इसमें p का विश्वास क्षेत्र होता है, जो सभी क्षेत्रों का लगभग 95% होता है। इसलिए, 0.95 का अर्थ वही है जो हमने पिछले खंड में संभावना के बारे में समझाया था। लेकिन ध्यान रखें कि, यदि एक ही p के लिए, पूरे वर्ग में 40 लोग हैं, तो 4095% विश्वास क्षेत्र प्राप्त होते हैं, जिसमें p की संख्या 85% से अधिक नहीं है (अर्थात 34 से अधिक नहीं) । यह संभावना लगभग 0.01388 है (संलग्नक 2) यह बहुत बड़ी नहीं है, लेकिन जब तक कक्षाओं की संख्या पर्याप्त है, यह होना मुश्किल नहीं है।

• परिदृश्य की व्याख्या

  चूंकि संभावना हमारे जीवन की आदतों से जुड़ी हुई है, इसलिए यदि हम इसे अच्छी तरह से उपयोग कर सकते हैं, तो यह यादृच्छिक दुनिया में अधिक सटीक निर्णय लेने में मदद करेगा। हालांकि, संभावनाओं को लागू करना आसान नहीं है, प्राप्त संभावना मूल्य को अक्सर गलत माना जाता है। इसके अलावा, लोग अलग-अलग संभावना मूल्य के बारे में बात करते हैं। इनमें से एक कारण क्या है? एक मुख्य कारण यह है कि स्थिति की व्याख्या गलत है।

  अतीत में, गणित के पाठ्यक्रमों में, हम तथाकथित अनुप्रयोग प्रश्नों का सामना करेंगे। विषय को समझने के लिए, गणितीय सूत्र लिखने के बाद, यह गणित को हल करने के लिए है। इस समय मूल रूप से लंबी कथा को छोड़ दिया जा सकता है। लेकिन संभावनाओं में, कुछ सरल प्रतीत होने वाली स्थितियां हैं, क्योंकि व्याख्या अलग-अलग है, दक्षिण और उत्तर के निष्कर्षों को जन्म देगी। नीचे कुछ उदाहरण देखें।

  फिल्म 21 में, गणित के प्रोफेसर ने कक्षा में एक प्रश्न पूछा। तीन दरवाजे हैं, जिनमें से एक के पीछे एक कार है, और दो दरवाजे बकरी के लिए हैं। जब आप पहला दरवाजा चुनते हैं, तो मेजबान दूसरा दरवाजा खोलता है और बकरी को देखता है। एक छात्र ने पूछा कि क्या आपको तीसरा दरवाजा नहीं चुनना चाहिए?

  Yes, because my chance of getting the carwill increase from 33.33% to66.67% by switching from door 1 to door 3.

  प्रोफेसर ने कहा, "बहुत अच्छा! ठीक है, उनके विचार के साथ सहमत हैं, यानी इसे बदलना चाहिए। कुछ लोगों ने इस पर सवाल उठाया।

  तुलनात्मक रूप से सही यह होना चाहिए कि यदि मेजबान को पहले से पता था कि कार उस दरवाजे के पीछे है, तो वह 1 दरवाजे के बाद बकरी का दरवाजा खोलेगा (यह एक अधिक तर्कसंगत तरीका है, अन्यथा खेल जारी नहीं रह सकता है) और यदि वह 3 दरवाजे को बदलता है, तो कार की संभावना, जैसा कि फिल्म में छात्र ने बताया, 1/3 से बढ़कर 2/3 हो जाएगी। लेकिन अगर मेजबान को पहले से पता नहीं है कि कार उस 1 दरवाजे के पीछे है (यह निश्चित रूप से दुर्लभ है) और केवल यादृच्छिक रूप से 2 और 3 दरवाजे में से एक को खोलता है, और दरवाजे के ठीक बाद बकरी है, तो इसे बदलने की आवश्यकता नहीं है, कारण या नहीं, कारों को बदलने की संभावना सभी 1/2 है।

  लेकिन पाठक को पता नहीं है कि यदि मेजबान को पहले से पता था कि कार उस दरवाजे के पीछे है, तो हम एक अनुमान लगाते हैं। यदि दूसरे और तीसरे दरवाजे के पीछे सभी बकरी हैं, तो मेजबान यादृच्छिक रूप से दूसरे या तीसरे दरवाजे को खोलता है (यानी, प्रत्येक की संभावना 1/2) । वास्तव में, एक और अधिक सामान्य अनुमान हो सकता है। जब दूसरे और तीसरे दरवाजे के बाद सभी बकरी हैं, तो मान लें कि मेजबान ने क्रमशः 1?q की संभावना के साथ दूसरे या तीसरे दरवाजे को खोला है, जिसमें 0≤q≤1 है।

  एक और उदाहरण देखें। एक दंपति एक समुदाय में बस गए थे, और सभी को पता था कि उनके दो बच्चे हैं, लेकिन लिंग ज्ञात नहीं है। एक दिन, एक समुदाय के प्रबंधक ने देखा कि इस परिवार के पिता एक बच्चे के साथ खेल रहे थे। यदि बच्चा लड़की है, तो उसने कहा कि इस परिवार में दोनों बच्चे लड़कियों की संभावना है। बहुत से लोगों को लगता है कि यह सवाल मुश्किल नहीं है, वे मानते हैं कि संभावना 1/3 है। वास्तव में, यह सवाल जितना हम सोचते हैं उससे कहीं अधिक जटिल है। कुंजी यह है कि इस परिवार के पिता से मिलने के लिए, घर में एक लड़की के साथ, इसे उचित संभावना स्थान घटनाओं में कैसे परिवर्तित किया जाए।

  अंत में, एक और उदाहरण जो अक्सर संभावनाओं की पाठ्यपुस्तकों में दिखाई देता है। एक इकाई चक्र है, एक स्ट्रिंग को समतल पर यादृच्छिक रूप से खींचें, और स्ट्रिंग को इस सर्कल के समकोण त्रिभुज की लंबाई से अधिक की लंबाई की संभावना के लिए खोजें। ज्यामिति का उपयोग करके, इकाई चक्र के समकोण त्रिभुज की लंबाई की गणना की जा सकती है। लेकिन एक स्ट्रिंग को यादृच्छिक रूप से कैसे खींचें? 1 से n तक की सकारात्मक पूर्णांक में से, 1 को यादृच्छिक रूप से चुनें, जिसका अर्थ स्पष्ट है कि प्रत्येक संख्या में ली गई सभी संभावनाएं 1/n हैं।[0,1] में से 1 को यादृच्छिक रूप से चुनें, जिसका अर्थ यह है कि यह संख्या[0,1] के किसी भी अंतराल की संभावना, उस अंतराल की लंबाई के लिए। लेकिन यादृच्छिक रेखांकन कैसे किया जाता है? यहाँ पर यादृच्छिक रेखांकन शब्द के लिए कई तरह की व्याख्याएं हो सकती हैं। व्याख्या अलग-अलग है, स्ट्रिंग खींचने का तरीका अलग होगा, इसलिए परिणाम की संभावना भी अलग होगी।

  उपरोक्त उदाहरणों से हमें पता चलता है कि जब संभावनाओं की समस्या से निपटने की बात आती है, तो स्थिति को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए। शब्दावली में, संभावनाओं का स्थान स्पष्ट रूप से दिया जाना चाहिए, अन्यथा यह सभी को अलग-अलग कहने का कारण बन जाएगा। कभी-कभी संभावनाओं का स्थान नहीं दिया जाता है, लेकिन स्थिति सरल है, सभी के पास एक सामान्य विचार है, इस समय विशेष रूप से संभावनाओं का स्थान पर जोर नहीं दिया जाता है, कोई समस्या नहीं है। जैसे कि एक निष्पक्ष जूता फेंकना, 4 से अधिक संभावनाएं हैं। हालांकि यह केवल एक सरल विवरण है, लेकिन यह संदिग्ध नहीं है। जब स्थिति के बारे में संदेह हो, जैसे कि चोंग ने अपने लेख में कहा था, तो कृपया अपने जूता के आधार पर संभावनाओं का स्थान निकालें। जैसे कि राजनीतिक या सामाजिक रूप से, जब कोई महत्वपूर्ण विवाद होता है, तो संविधान को देखना चाहिए, यह संवैधानिक नहीं है, और इसे महान कानून द्वारा समझाया जाना चाहिए। एक अधिकारी द्वारा दी गई स्थिति के बारे में बहुत सावधान रहें, अन्यथा, यहां तक कि पेशेवर सांख्यिकीविद भी, संभावनाओं को गलत तरीके से पढ़ सकते हैं।

  संदर्भ व्याख्या के अलावा, संभावनाओं में कुछ विशिष्ट अवधारणाओं, जैसे कि सशर्त संभावना, स्वतंत्रता, और यादृच्छिक नमूनाकरण, को भी संभावनाओं को लागू करते समय सावधानी से देखा जाना चाहिए।