امکان میں تجارتی فلسفہ

1987 میں ، ہندوستانی لیجنڈری ریاضی دان رامنویان (Srinivasa Ramanujan ، 1887-1920) کی صد سالہ سالگرہ تھی۔ ان کی یاد میں ایک سلسلہ سرگرمیاں کی گئیں۔ ہندوستان میں پیدا ہونے والے معاصر مشہور شماریات دان (سی رادھاکرشن راؤ ، 1920) کو بھی تین تقریریں کرنے کے لئے مدعو کیا گیا تھا۔ اس کے بعد ، ہندوستانی شماریاتی ادارہ (انڈین اسٹیٹسٹیکل انسٹی ٹیوٹ) نے راؤ کی تقریروں پر مبنی ، 1989 میں ، ان کی کتاب شماریات اور سچائی شائع کی۔ یہ کتاب 1997 میں جاری کی گئی تھی۔

• ### پہلے ایڈیشن کے تعارف میں ، راؤ نے کہا:

طالب علموں کے زمانے میں، میں نے ریاضی کی ایک ایسی منطق کی مہارت حاصل کی جس کے نتیجے میں دی گئی پیش گوئیوں سے نتیجہ اخذ کیا جاتا ہے۔ بعد میں میں نے شماریات کی ایک ایسی عقلی طریقہ کی یاد رکھی جو تجربے سے سیکھتا ہے، اور دی گئی نتائج سے تصدیق شدہ پیش گوئیوں کی منطق۔ میں نے اس بات کو تسلیم کیا ہے کہ ریاضی اور شماریات، قدرتی علم کو فروغ دینے اور روزمرہ کے معاملات کو موثر انداز میں منظم کرنے کے لئے انسان کی تمام کوششوں میں اہمیت رکھتی ہیں۔

میں یقین کرتا ہوں:

• آخر میں، تمام علم تاریخ ہے.

• تمام علوم ریاضی ہیں۔

• عقل کی دنیا میں، تمام فیصلے شماریاتی ہوتے ہیں۔

  اس جملے سے ریاضی اور اعداد و شمار کی اہمیت اور ان کے متعلقہ مفہوم کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔

  طویل عرصے سے ، ہائی اسکول ریاضی میں امکانات کے مضامین کا احاطہ کیا گیا ہے ، جس میں کلاسیکی امکانات (یعنی امکانات کو ایک ہی امکانات کے ساتھ بیان کرنے کے لئے استعمال کیا جاتا ہے) کا ایک بہت بڑا حصہ ہے۔ لہذا ، امکانات اکثر ترتیب والے گروپوں سے منسلک ہوتے ہیں۔ جبکہ ترتیب والے گروپ ریاضی کے زیادہ پیچیدہ ہیں۔ اگرچہ طلباء کو کبھی کبھی پیچیدہ موضوعات سے الجھا دیا جاتا ہے۔ لیکن یہ صرف تکنیکی پہلو ہے ، علمی پہلو میں ، زیادہ تر زیادہ الجھن میں نہیں پڑتا ہے۔ حالیہ برسوں میں ، اعدادوشمار کی اہمیت کو دیکھتے ہوئے ، ہائی اسکول ریاضی میں ، اعدادوشمار کے مضامین کو آہستہ آہستہ شامل کیا گیا ہے۔

  ایک اور مشہور شماریاتی ماہر ، پولینڈ میں پیدا ہونے والے اور 1938 میں امریکہ میں ہجرت کرنے والے جرسی نیمان (JerzyNeyman ، 1894-1981) کے ذریعہ اعتماد کا دائرہ پہلی بار 1934 میں ایک تقریر میں تجویز کیا گیا تھا۔ اس کی تقریر کے اختتام کے بعد ، کانفرنس کے صدر آرچر لیون باؤلی ، 1869-1957 نے اپنے خطاب میں کہا ، “مجھے یقین نہیں ہے کہ یہ اعتماد اعتماد کا کھیل نہیں ہے۔” جب نیمان اعتماد کے دائرے کا تصور پیش کیا گیا تھا ، تو زیادہ تر شماریاتی ماہرین ، بشمول جدید شماریات کے بانی ، انگریز فیشر (سر رونالڈ آئل فیشر ، 1890-1962 ، جسے اکثر آر اے فیشر کہا جاتا ہے) ، کے پاس اس بات پر اتفاق کرنا مشکل تھا۔ 95٪ اعتماد کے دائرے میں ، اس کا کیا مطلب ہے؟ کیا اس کا مطلب یہ ہے کہ 95٪ کا امکان ہے؟ اگر ایسا ہے تو ، تو پھر کیا امکان ہے؟ اگرچہ نیمان نے اتفاق سے اس اعتماد کے دائرے کا حوالہ کیا ، لیکن اس نے اس عمل کو ایک ہی چیز کے طور پر استعمال کیا ہے۔

  سال گزر چکے ہیں ، ستر سال سے زیادہ عرصہ گزر چکا ہے ، اور آج کے ماہرین شماریات ، یقینا ، اعتماد کے فرق کے معنی کو مکمل طور پر سمجھ چکے ہیں۔ لیکن یونیورسٹیوں میں ، چاہے امکانات اور اعدادوشمار ، اعدادوشمار ، اور ریاضی کے اعدادوشمار جیسے نصاب کی کتابوں میں ، اعتماد کا علاقہ عام طور پر مؤخر الذکر کے مضامین میں ہوتا ہے۔ یعنی ، جب یونیورسٹی کے طلباء نے متعلقہ نصاب میں اعتماد کے علاقوں سے رابطہ کرنا شروع کیا تو ، اس کے بارے میں کافی حد تک امکانات کی شماریاتی بنیاد موجود ہے۔ اب یہ موضوع ریاضی کے گھر والوں کی طرف سے پسند کیا جاتا ہے ، اور 95 کے بعد ، 98 نصاب (99 تعلیمی سال سے سالانہ طور پر نافذ کیا گیا ہے) اس موضوع کو برقرار رکھا گیا ہے۔ لیکن کافی تیاری کے علم کی کمی کی وجہ سے ، ہائی اسکول کے طلباء کو جذب کرنا آسان نہیں ہے ، بلکہ متوقع ہے۔

  اس کے باوجود ، اس مضمون کو ہائی اسکول کے ریاضی کے نصاب میں شامل کیا گیا ہے۔ اس کی بنیادی وجہ اس کی اہمیت ہے۔ یہ صرف میڈیا میں شائع ہونے والے مختلف سروے کے نتائج کے اعتماد کے فاصلے اور اعتماد کی سطح کو دیکھ کر ہی سمجھا جاسکتا ہے۔

  کچھ اعدادوشمار کی نصابی کتابوں میں ، اعتماد کے علاقوں میں ایک باب کا حصہ ہوتا ہے۔ مختلف پیرامیٹرز ، مختلف تقسیم کے لئے ، مختلف اعتماد کے علاقوں کا استعمال کیا جاسکتا ہے۔ یہاں تک کہ اگر ایک ہی پیرامیٹرز اور ایک ہی تقسیم ہو تو ، مختلف طریقوں سے ، مختلف اعتماد کے علاقوں کو حاصل کیا جاسکتا ہے۔ بعض اوقات ، شرائط کی کمی ، یا حساب کی پیچیدگی وغیرہ کی وجہ سے ، صرف پیچھے ہٹنا ہوتا ہے ، اور قریب تر اعتماد کے علاقوں کو حاصل کیا جاسکتا ہے۔ یقینا this اس کے لئے کچھ شرائط کی ضرورت ہوتی ہے ، اور کچھ نظریات کا استعمال بھی کیا جاسکتا ہے۔

  اس کے علاوہ ، یہ بھی کہا گیا ہے کہ “اس طرح کے اعداد و شمار کو سمجھنے کے لئے ، آپ کو اپنے آپ پر اعتماد کرنے کی ضرورت ہے۔”

  ہائی اسکول کی سطح کے اعدادوشمار کے نتائج صرف بے ترتیب متغیرات کی توقع کی قیمت کا اندازہ لگاتے ہیں ، جس کے پیچھے نظریہ مرکزی قطب کی حد بندی ہے۔ مرکزی قطب کی حد بندی کو متعارف کروانے کے لئے ، معمول کی تقسیم کو متعارف کروانا ضروری ہے۔ یہ حصہ صرف عمومی تعارف کے طور پر ہے ، جس سے طالب علموں کو مرکزی قطب کی حد بندی کے بارے میں سرگرمی سے بصیرت پیدا ہوتی ہے۔ اعتماد کے ایک مقررہ سطح پر ، اعتماد کے وقفے کا فارمولا دیا جاتا ہے ، اور پھر طالب علموں کو بے ترتیب اعداد کی میز پر ماڈلنگ کرنے یا تجربہ کرنے کے لئے کہا جاتا ہے جس میں مثبت امکانات کے ساتھ پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی پی

  اس فقرے میں کچھ مسائل ہیں ، لیکن یہ واضح نہیں ہے۔ جیسے کہ پہلے جملے میں اس کے پیچھے نظریہ مرکزی قطب کی محدود منطق ہے ، تو پتہ نہیں یہ کہاں سے پیدا ہوا ہے۔ یہ اعدادوشمار کا نظریہ نہیں ہے۔ نصاب میں تشریح کی وجہ سے یہ واضح نہیں ہے ، جو لوگ سنجیدگی سے پڑھاتے ہیں ، جو طلباء کو سمجھنا چاہتے ہیں ، وہ صرف اس اصول کو ڈھونڈتے ہیں ، اور خود ہی اس کی تشریح کرتے ہیں۔ کچھ ایسے مضامین بھی پیش کرتے ہیں جو خود کو ان تصورات کو واضح کرنے کے قابل سمجھتے ہیں۔ یہ صرف تشریح ہے ، جو اکثر درست نہیں ہوتا ہے۔

  اعتماد کے فاصلے کا تصور اکثر اس طرح کے نیچے کی طرف کیوں جاتا ہے؟ اس کے نتیجے میں ، بہت سے سیکھنے والوں نے امکان کے معنی کو صحیح طور پر سمجھنے میں ناکام رہے ہیں۔ یہ مضمون لکھنے کا محرک ہے۔

• امکان کا معنی

ایک جوڑی کے چھ پہلو ہوتے ہیں، اور ایک جوڑی کے نیچے، ایک عجیب تعداد کا امکان کیا ہوتا ہے؟ جوڑی بالکل ویسی ہی نظر آتی ہے، فرض کریں کہ ہر پہلو کا امکان ایک جیسا ہوتا ہے، یعنی ہر ایک کا امکان ¹⁄₆ ہے۔ جبکہ ایک عجیب پہلو 2، 4، 6 وغیرہ 3 ہے۔ اس لیے مطلوبہ امکان ³⁄₆ ہے۔ یہی وہ احتمال ہے جسے کلاسیکی کہا جاتا ہے، بنیادی مفروضہ یہ ہے کہ ہر ایک کا امکان ایک جیسا ہے۔ پہلے مشاہدہ شدہ مظاہر کی کئی اقسام ہیں، اور پھر ان میں سے کچھ ہمارے لئے دلچسپی کا باعث ہیں۔ آخری کو خارج کرنے سے پہلے، یعنی مطلوبہ احتمال۔ اگرچہ یہ کلاسیکی جوڑی ہے، اس احتمال کا مطلب اب بھی ہر جگہ نظر آتا ہے۔

جولائی 2009 کے آخر میں اگست کے اوائل میں ، ٹائیگر ووڈس ، جو گولف کا عالمی چیمپئن تھا ، نے ریاستہائے متحدہ امریکہ کے مشی گن میں بکی اوپن میں حصہ لیا۔ پہلے راؤنڈ میں ، وہ آٹھ پوائنٹس سے پیچھے رہ گیا ، اور 95 ویں نمبر پر تھا۔ اس نے اپنے کیریئر میں پہلی بار دو مسلسل مقابلوں سے بچنے کا امکان پیدا کیا (پہلا مقابلہ برطانوی اوپن تھا) ۔

کھیلوں کے مقابلوں میں ، اکثر ماضی کے اعداد و شمار دستیاب ہوتے ہیں ، لیکن اس وقت ایک ہی امکان کا استعمال کرنا مناسب نہیں ہے۔ 36 میں سے 35 کامیابیاں ، رشتہ دار تعدد ³⁵⁄₃₆ (تقریبا 0.972) ۔ اس رشتہ دار تعدد کے ساتھ ، امکانات کی وضاحت کرنے کا ایک عام طریقہ ہے۔ بار بار مشاہدہ کرنے کے قابل مظاہرے کے لئے۔ کیا ٹھنڈے پھوٹ پڑنے کا امکان نہیں ہے؟ یقینا only صرف ایک خاص واقعہ کے لئے۔ ماضی میں متعدد بار اسی طرح کے حالات میں ، اس واقعے کی رشتہ دار تعدد ، اگلے واقعے کے امکان کا اندازہ لگانے کے لئے ، مزید معلومات کے بغیر ، عام طور پر ایک ناظرین کے طریقہ کار میں شمار کیا جاتا ہے۔

ایک آدمی ایک لڑکی کو دیکھتا ہے ، حیرت زدہ ہے ، اور سوچتا ہے کہ یہ اس کی زندگی کی دلہن ہے۔ اس کا اندازہ لگانے کے بعد ، اعتماد سے بھرا ہوا ہے ، اور اس کے پیچھے پڑنے کا موقع آٹھ فیصد ہے۔ دوسروں کو یہ اچھا نہیں لگتا ہے ، اور اس سے پوچھتے ہیں کہ آٹھ فیصد یہ تعداد کیسے سامنے آئی؟ اس آدمی نے تاریخ کی نشاندہی کی ، ایک کے بعد ایک نشانیاں ، جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ وہ لڑکی اس کے ساتھ بہت اچھی طرح پسند ہے۔ یہ 0.8 کا امکان ، جسے موضوعی امکان کہا جاتا ہے۔

یقینا subjective ذہنی امکان بھی کچھ معروضی حقائق پر مبنی ہوسکتا ہے۔ صرف یہ کہ ایک ہی معلومات کے سامنے ، مختلف افراد مختلف فیصلے کرسکتے ہیں ، اور اس وجہ سے مختلف ذہنی امکانات دیئے جاتے ہیں۔

مثال کے طور پر ، لڑکیوں کے پیچھے چلنا ، تقریبا girls لڑکیاں کم ہیں ، جو آپ کو تجربہ کرنے ، بار بار پیچھا کرنے ، اور پھر ان میں سے کچھ کامیاب ہونے کا امکان طے کرنے کے ل. دیں گی۔ اس طرح کے ناقابل تکرار مشاہدے والے مظاہر کے بارے میں ، جب امکان کی بات کی جاتی ہے تو ، موضوعی امکان اکثر استعمال ہوتا ہے۔ ہر صبح باہر نکلنے کے بعد ، کیا ہم آسمان کو دیکھنے کے عادی نہیں ہیں اور فیصلہ کرتے ہیں کہ آج بارش کا امکان کتنے فیصد ہے؟ صرف یہ کہ اکثر والدین کا خیال ہے کہ امکان زیادہ ہوگا ، یہ بینڈو ، جبکہ بچے کا خیال ہے کہ بارش کا امکان کم ہوگا۔

اگرچہ یہ سبجیکٹیو ہے ، لیکن پھر بھی یہ معقول ہے۔ مثال کے طور پر ، امتحان میں قابلیت اور ناکامی ہے۔ اگر یہ خیال کیا جاتا ہے کہ اس میں قابلیت کا امکان 0.9 ہے ، تو یہ ٹھیک ہے ، انسان کو ہمیشہ کچھ اعتماد ہونا چاہئے ، لیکن اگر اس کے ساتھ ساتھ یہ خدشہ ہے کہ اس میں قابلیت کا امکان 0.8 نہیں ہے تو ، یہ ٹھیک نہیں ہے۔ مختلف امکانات کے امکانات کا مجموعہ 1 ہے۔ یہاں تک کہ اگر یہ سبجیکٹیو ہے تو ، اس کے بارے میں بات کرنا ضروری ہے۔ یہ نہیں کہا جاسکتا ہے کہ چونکہ یہ سبجیکٹیو ہے ، لہذا ہر واقعہ کی امکان کو آزادانہ طور پر طے کیا جاسکتا ہے۔ لہذا ، اس امکان کی کوئی بھی تشریح فطری طور پر مطمئن ہے ، یا کچھ مشترکہ اصولوں کے بارے میں بات کرنا ضروری ہے۔ یہ بات سب کو سمجھنی چاہئے۔

مذکورہ بالا تینوں احتمالات کی عام تشریحات ہیں ، زیادہ تر یہ ہے کہ لوگوں نے واقعات کے امکان کی مقدار کا اندازہ لگانے کے لئے کچھ سوچ رکھی ہے۔ اگرچہ یہ مختلف حالات کے لئے ہے ، لیکن یہ اکثر باہمی طور پر لاگو ہوتا ہے۔ ہم سب نے ایک ایسے شخص کے بارے میں سنا ہے جس نے ایک قتل میں حصہ لیا تھا۔ ایک نیک دل شخص نے بتایا کہ اس کے جڑواں بیٹے کے ساتھ اسی طرح کے قتل میں حصہ لیا تھا۔ ماں نے کہا کہ اس کا بیٹا قتل نہیں کرتا ہے ، اور وہ کپڑے بناتا رہتا ہے۔ تھوڑی دیر بعد ، ایک اور شخص نے کہا کہ اس نے قتل میں حصہ لیا تھا۔ ماں نے ابھی بھی اس کا کپڑا بنانا جاری رکھا ، اور اس طرح کا اچھا بیٹا کیسے قتل کرسکتا ہے؟ لیکن جب تیسرا شخص بھاگ کر آیا اور کہا کہ اس نے جڑواں بیٹے کو قتل کیا ہے ، تو وہ خوفزدہ ہوگئی اور کپڑے کا سامان پھینک دیا اور دیوار کو الٹ دیا۔ اس کی وجہ سے یہ کہانی خود ساختہ ہے۔ لہذا ، جب ایک تانبے کا تختہ لیا گیا ، تو یہ بات واضح ہوگئی کہ حکومت کی طرفداری اس طرح کے معاملات میں نہیں آئے گی۔

یقینا ، آپ کو یقین ہوسکتا ہے ، چاہے اس کا نتیجہ کیا ہی کیوں نہ ہو ، ہر کوئی یہ سمجھتا ہے کہ یہ صرف ایک عارضی صورتحال ہے ، اس بات پر یقین ہے کہ یہ ایک منصفانہ تانبے کی چادر ہے۔ یہ ایسا نہیں ہے ، جیسے کوئی ماں نہیں ہوگی ، یہاں تک کہ اگر اس کے پاس مزید گواہ ہوں ، تو وہ اس بات پر یقین نہیں کرے گی کہ اس کا بیٹا کسی کو مار ڈالے گا جب تک کہ اس نے اسے اپنی آنکھوں سے نہیں دیکھا ہے۔ یہ ایک بے ترتیب رجحان ہے ، اور اس بات پر یقین ہے کہ اس واقعے کا امکان مثبت ہے ، چاہے اس کا امکان کتنا ہی چھوٹا کیوں نہ ہو۔ آخر کار تانبے کی چادر کے مثبت ہونے کا امکان کیوں ہے ، صرف خدا ہی جانتا ہے۔ لیکن امکانات اور اعدادوشمار کو متعارف کرانے کا مقصد یہ ہے کہ ہمارے فیصلے کرنے میں مدد ملے۔

اگرچہ امکانات کے بارے میں مذکورہ بالا تینوں تشریحات موجود ہیں ، لیکن وہ عملی زندگی میں پیش آنے والے بہت سے حالات پر بھی احاطہ کرتے ہیں ، ریاضی دان یقینا here اس پر نہیں رکے ہیں۔ وہ تجرید اور عمومیات کو پسند کرتے ہیں۔ مساوات کو حل کرنے کی طرح ، وہ کسی خاص قسم کی مساوات کا حل ظاہر کرنے کے لئے ایک فارمولا تلاش کریں گے ، نہ کہ صرف ایک خاص مثال کے حل کی تلاش میں۔ پھر ، جب حقیقی اعداد کے نظام کو مکمل طور پر سمجھا جاتا ہے تو ، اس کی وضاحت منطقی انداز میں کی جاتی ہے۔ یعنی ، اعداد کا ایک مجموعہ ، اس کے عناصر کے لئے دو آپریشنوں کی وضاحت کریں ، اور 10 اصولوں پر عمل کریں (ایکسیوم ، قواعد) ۔

کیا کہا جاتا ہے ایک نظریاتی انداز میں، امکانات کو متعارف کرانے کے لئے؟ سب سے پہلے ایک مجموعہ، کہا جاتا ہے نمونہ کی جگہ، ایک مشاہدہ کے تمام ممکنہ نتائج کی ایک مجموعہ کے طور پر. آپ واقعی اس مشاہدے، یا صرف مجازی ہو سکتا ہے. نمونہ کی جگہ کے کچھ ذیلی سیٹ، ہم میں دلچسپی رکھتے ہیں، یہ ایک ایک واقعہ ہے. تمام واقعات بھی ایک مجموعہ تشکیل دیتے ہیں.

اس میں نمونہ کی جگہ کی زیادہ ضرورت نہیں ہے ، لیکن یہ خالی مجموعہ نہیں ہوسکتا ہے۔ اور واقعات کا مجموعہ ، کچھ شرائط کو پورا کرنا ہے۔ آسان الفاظ میں ، یہ ہے کہ آپ کو دلچسپی رکھنے والی واقعات بہت کم نہیں ہوسکتی ہیں۔ مثال کے طور پر ، آپ کو صرف ایک واقعہ A میں دلچسپی نہیں ہوسکتی ہے ، لیکن A میں دلچسپی نہیں ہے۔ لہذا واقعات کا مجموعہ کافی بڑا ہے ، کم از کم کچھ کو شامل کیا جانا چاہئے۔ یہ شادی سے پہلے مہمانوں کی فہرست کی طرح ہے۔ بہت کم لوگوں کو مدعو کیا جاسکتا ہے ، جیسے دونوں طرف سے صرف والدین۔ ایک بار جب آپ کسی شخص کی فہرست میں شامل ہوجاتے ہیں تو ، اس کے ساتھ قریبی افراد کو بھی مدعو کیا جاسکتا ہے۔ لہذا ، ہر ایک قطار میں صرف 1 شخص کا اضافہ نہیں ہوگا ، بلکہ اس کے ساتھ ساتھ کئی درجے بڑھ جائیں گے۔

امکانات کی جگہ کے ڈھانچے کے تحت ، جو بھی طریقہ استعمال کرتا ہے وہ امکانات کی وضاحت کرسکتا ہے ، وہ انفرادی طور پر اس کی وضاحت کرسکتا ہے اور اس کی وجہ سے اس کا مطلب تلاش کرسکتا ہے۔ لیکن تجریدی ہونے کی وجہ سے ، تانبے کے تختے ، جوتے ، اور پوکر کارڈ وغیرہ تک محدود نہیں ، اس سے زیادہ عام مسائل پر تبادلہ خیال کیا جاسکتا ہے ، اور اس میں کافی نظریہ کھدائی کی جاسکتی ہے۔

ریاضی کے دیگر شعبوں کے مقابلے میں، احتمال کی تھیوری کی ترقی دیر سے ہوئی تھی۔ تاہم، رسمی ہونے کے بعد، احتمال کی تھیوری نے تیزی سے گہرا اور دور تک ترقی کی اور ریاضی میں ایک اہم شعبہ بن گیا۔ اس کا شکریہ بیسویں صدی کے اہم احتمال دان، روس کے آندرے کوموگولوف (Andrey Nikolaevich Kolmogorov، 1903-1987) کو دیا جانا چاہیے، جنہوں نے 1933 میں اس کی اشاعت کی، جس میں 100 صفحات سے کم کتابچے احتمال کی تھیوری کی بنیاد رکھی گئی تھی۔ اس کتاب میں انہوں نے کہا:

ریاضی کے شعبے کے طور پر احتمال کا نظریہ جیومیٹری اور الجبرا کی طرح ایکسیومز سے تیار کیا جاسکتا ہے اور اس کی نشوونما ہونی چاہئے۔

• ### امکانات کہاں ہیں؟

فرانسیسی نیوٹن کے نام سے مشہور لیپلاس (پیئر سائمن ، مارکیس ڈی لیپلاس ، 1749-1827) نے کہا:

یہ سائنس ، جو گیمز آف چانس کے غور میں پیدا ہوئی ، کو انسانی علم کا سب سے اہم مقصد بننا چاہئے تھا۔ زندگی کے سب سے اہم سوالات ، زیادہ تر حصے کے لئے ، واقعی صرف امکانات کی پریشانی ہیں۔

امکانات تصادفی واقعات کے لئے ہیں۔ لیکن دنیا میں ہر چیز تصادفی نہیں ہے ، ہم نے کہا ہے کہ اس میں ناگزیریت بھی ہے۔ فرض کریں کہ ایک یا دونوں اطراف کو انسانی سر کی تانبے کی پلیٹ کے طور پر پھینک دیا جائے ، اور مشاہدہ کیا جائے تو وہ ایک طرف مل جائے گا۔ آپ جانتے ہیں کہ یہ ایک لازمی واقعہ ہے ، لیکن پھر بھی یہ کہا جاسکتا ہے کہ انسانی سر کا امکان 1 ہے ، اور دوسری صورتوں میں ہونے کا امکان 0 ہے۔

کچھ طبیعیات دانوں کا خیال ہے کہ پیتل کی پلیٹ کو پھینکنے کے لئے ، اس کی رفتار ، زاویہ ، زمین کی لچک ، تانبے کی شکل اور وزن جیسے شرائط سے ، یہ حساب لگایا جاسکتا ہے کہ تانبے کی پلیٹ زمین پر اترنے کے بعد ، اس کا رخ اوپر کی طرف ہوگا ، لہذا یہ بے ترتیب نہیں ہے۔

کچھ مذہبی ماہرین کا خیال ہے کہ سب کچھ خدا کی مرضی کے مطابق ہوتا ہے ، لیکن ہم نہیں جانتے ہیں۔ شاید ایسا ہی ہو۔ کیا آپ نے جیسن اور ارجنٹس کو دیکھا ہے؟ یہ یونانی افسانوں پر مبنی ایک فلم ہے ، جس کا تعلق بارہ ستاروں میں سے ایک عقاب سے ہے ، جو 1963 میں شائع ہوئی تھی۔ اگرچہ میں نے بچپن میں اسے دیکھا تھا ، لیکن اب بھی متاثر ہوا ہے۔ اس فلم میں شہزادہ جیسن کو ملنے والی مختلف اچانک آفتیں ، اور ایک بار پھر بہادری کا سامنا کرنا پڑتا ہے۔

ٹیکنالوجی کی ترقی کے ساتھ ، لوگوں نے آہستہ آہستہ بہت سارے مظاہر کی آمد و رفت کو سمجھ لیا ہے۔ مثال کے طور پر ، ہم جانتے ہیں کہ جب عورت حاملہ ہوجاتی ہے تو ، بچے کی جنس کا تعین ہوچکا ہے۔ لیکن ایک عورت کے بارے میں ، نیک آدمی ، اس کی لاعلمی کی وجہ سے ، ابھی بھی اس کے لڑکے یا لڑکی کی پیدائش کے امکانات کا اندازہ لگا سکتا ہے۔ امتحان کی شام سے پہلے ، طلباء اگرچہ سنجیدگی سے تیاری کرتے ہیں ، لیکن پھر بھی وہ اپنے دماغ کی قیاس آرائیاں کرتے ہیں ، ہر ایک نے سوچا کہ اس کا امکان بہت زیادہ ہے۔ جب اساتذہ کو یہ معلوم ہوا تو ، انہیں اچھا لگا۔ کلاس میں بار بار اشارہ کیا گیا کہ جو امتحانات ہوچکے ہیں ، وہ تقریبا sure یقینی ہیں ، کیوں مزید اندازہ لگانے کی ضرورت ہے؟ حقیقت یہ ہے کہ عنوان پرنٹ کیا گیا ہے ، اور طلباء نے امتحان نہیں بتایا ہے ، اور اساتذہ کے اشارے اور اشارے سے پہلے نہیں ملا ہے ، لہذا اب بھی ایک بڑا دروازہ اندازہ لگایا جاسکتا ہے۔

لیکن اساتذہ کے لئے ، اس بات کا اندازہ لگانے کا کوئی فائدہ نہیں ہے کہ اس مسئلے کا امکان کیا ہوگا۔ کیونکہ اس کے لئے ، ہر مسئلے کا امکان صرف 1 یا 0 ہوگا ، کوئی اور قدر نہیں ہوگی۔ اسی طرح ، اس شخص کے لئے جو پیچھے پھل دیکھتا ہے ، اس کا امکان یہ ہوگا کہ وہ ایک کیلا یا ایک سیب ہو گا ، صرف 1 یا 0 ہوگا۔

• ### وضاحت کے امکانات

سیکشن 2 میں ہم نے امکانات کو احتمال کی جگہ کے طور پر متعارف کرایا ہے۔ چونکہ نمونہ کی جگہ مجازی ہوسکتی ہے ، اس وقت واقعہ بھی مجازی ہے۔ لیکن فرض کریں کہ واقعی ایک مشاہدہ ہے ، جیسے کہ ایک 4 پہلوؤں کو پھینکنا ، 4 پہلوؤں میں پوائنٹس کی تعداد 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، اور پوائنٹس کی تعداد ملتی ہے۔ تو نمونہ کی جگہ 1 ، 2 ، 3 ، 4 کا مجموعہ ہے۔ واقعات کا مجموعہ سب سے بڑا ہوسکتا ہے ، یعنی اس مجموعہ کا امکان جس میں اس جگہ کے سبھی بچوں کو شامل کیا گیا ہے۔ اگر ہم صف بندی کا مجموعہ سیکھتے ہیں تو ، اس سے پتہ چلتا ہے کہ سب سے بڑے واقعے کے مجموعے میں ، مجموعی طور پر 162 عناصر ہیں۔

یہاں تک کہ اگر آپ کو امکان کی جگہ کے تصور کو قبول کر لیا ہے، ویسے بھی ریاضی دانوں کو عام طور پر کچھ خوشگوار تعریف دے، آپ کو اب بھی سوچنا ہو سکتا ہے، اس کا کیا مطلب ہے کہ نقطہ نمبر 1 ظاہر ہونے کا امکان 0.1 ہے؟ کیا یہ ہے کہ ہر 10 بار، نقطہ نمبر 1 صرف ایک بار ظاہر ہوتا ہے؟

فرض کیجیے کہ n بار ، نقطہ نمبر 1 ایک بار ظاہر ہوتا ہے ، تو پھر رشتہ دار تعدد a / n اور 0.1 کے فرق کی مطلق قیمت ، کسی دیئے گئے مثبت نمبر ((بغیر اس کے کہ یہ کتنا چھوٹا ہے) کے امکان سے زیادہ ہوگی ، n کے قریب ہونے کے ساتھ لامحدود حد تک قریب ہوجائے گی ، اور 0 کے قریب ہوجائے گی۔

عملی طور پر ، آپ کو شاید اس طرح کی وضاحت عملی نہیں لگتی ہے۔ سوال پوچھنا شروع کریں کہ لامحدود حد تک پہنچنا کیا ہے؟ آپ کو یہ بتانا ہے کہ آپ کو پھینکنا جاری ہے ، رکنا نہیں ہے ، سورج طلوع اور غروب ہوتا ہے ، موسم بہار اور موسم خزاں آتا ہے ، اور پھینکتے رہتے ہیں ، یہاں تک کہ اگر آپ کوارٹر کا تعاقب کامیاب ہوجاتا ہے تو ، لامحدود حد تک نہیں پہنچتا ہے ، پھر بھی آپ کو پھینکنا پڑتا ہے۔ ریاضی کے فارغ التحصیل ، جیسے ہی آپ نے لامحدود حد سے پوچھا ، جیسے مچھلی کو پانی ملتا ہے ، یہ ان چند چالوں میں سے ایک ہے جو اس نے ریاضی کے چار سال کی سرد ونڈو میں سیکھا تھا۔ آپ کو لامحدود حد تک اس موضوع کو روکنا پڑا ، کیوں کہ آپ کوارٹر کا تعاقب ، کیا آپ کو بھی کامیابی محسوس ہوتی ہے؟ آپ کو یہ کیسے قبول ہوسکتا ہے کہ امکان کی وضاحت ، لامحدود حد تک بھی شامل ہے؟ لیکن آپ اس بات سے بھی ناراض ہیں کہ آپ کوارٹر کے معنی کو نہیں جانتے ہیں ، لیکن آپ کوارٹر کی وضاحت کے لئے امکانات کے تصور کو کیسے استعمال کریں

احتمال کی قدر کی وضاحت کرنے کی کوشش کریں تو ، یہ احتمال اور لامحدود حد تک ، ایک سطح سے دوسری سطح تک گھومنے لگے گا۔ یہ اس بات کی طرح ہے کہ اس کی وضاحت کرنے کی کوشش کریں کہ اس کو کیا کہتے ہیں ، اور اس کے نتیجے میں ، لائن گروپ میں پھنس جائیں گے۔ آخر میں ، یہ کہنا کافی ہے کہ ، نقطہ ایک غیر متعین اسم ہے۔ لیکن کسی بھی صورت میں ، آپ کو یہ سمجھنا چاہئے کہ مذکورہ بالا 4 پہلوؤں کے لئے ، صرف ایک بار پھینکنا ، اس کا مطلب یہ ہے کہ نقطہ نمبر 1 کا امکان 0.1 ظاہر نہیں ہوسکتا ہے۔

اس سے پہلے کہ ریاضی کے شعبہ سے فارغ التحصیل کی وضاحت ، اس وقت اس کا استعمال کیا جاسکتا ہے۔ یہ ایک بڑی تعداد کے قانون کا ایک آسان ورژن ہے۔ ریاضی کا مطلب یہ ہے کہ ، واقعات کی نسبتا frequency کثرت ، ملاقات کا امکان واقع ہونے کے امکانات کے قریب ہوتا ہے۔ بے ترتیب دنیا میں ، پھر بھی کچھ قواعد پر عمل کرنا پڑتا ہے ، اور اکثریت کا قانون ان میں سے ایک بہت اہم ہے۔ یقینا ، ہم نے اشارہ کیا ہے کہ واقعتا events واقعات کو لامحدود تعداد میں مشاہدہ کرنا ممکن نہیں ہے۔ کیا یہ کہا جاسکتا ہے کہ واقعات کی نسبتا frequency کثرت ، جب مشاہدات کی تعداد کافی بڑی ہے تو ، واقع ہونے کے امکانات کے قریب ہونا چاہئے؟

واقعہ جب تک امکان مثبت ہوتا ہے ، ممکن ہوتا ہے۔ لہذا ، چاہے مشاہدات کی تعداد کتنی ہی زیادہ کیوں نہ ہو ، اس سے یہ بات مسترد نہیں کی جاسکتی ہے کہ ایک بہت ہی غیر جانبدار (جیسے 1،000،000 بار مشاہدہ کیا گیا ، نقطہ 1 کی تعداد 0 یا 1،000،000 بار) واقع ہوئی ہے۔ تاہم ، اس وقت شماریات دانوں نے چھلانگ لگائی ، وہ جانچ کر سکتے ہیں کہ آیا نقطہ 1 کی موجودگی کا امکان واقعی 0.1 ہے ، جو شماریات میں مفروضے کی جانچ پڑتال کے زمرے میں ہے۔

اگر غیر معمولی ہے تو ، ابتدائی مفروضے کو قبول نہیں کیا جانا چاہئے۔ اس کے علاوہ ، جب ایک تانبے کی تختی کو منصفانہ سمجھا جاتا ہے تو ، 100 بار پھینک دیا جاتا ہے ، جس میں کم از کم 80 مثبت ہوتے ہیں ، جبکہ 10 بار پھینک دیا جاتا ہے ، جس میں کم از کم 8 مثبت ہوتے ہیں ، یہ غیر معمولی ہے ، کیونکہ اس کے ہونے کا امکان اس سے کہیں کم ہے۔ لہذا ، اسی طرح 80 فیصد سے زیادہ مثبت تعداد حاصل کرنے کے بعد ، پھینکنے کی تعداد جتنی زیادہ ہوگی ، اس سے ہمیں یقین ہوجائے گا کہ تانبے کی تختی غیر منصفانہ ہے ، اور اس کے مثبت ہونے کا امکان کم از کم 0.8 ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ اعدادوشمار میں ، اسی طرح کی تعداد جتنی زیادہ ہوگی ، اس سے ہمارا نتیجہ زیادہ درست ہوگا۔

بے ترتیب دنیا میں ، یہ معلوم نہیں ہوتا ہے کہ کون سا سچ ہے۔ ہم اکثر یہ ثابت نہیں کرسکتے ہیں کہ کون سی چیز سچ ہے۔ یہ صرف ایک مفروضہ ہے ، اس بات پر منحصر ہے کہ آپ اس مفروضے کو قبول کرتے ہیں۔ چار پہلوؤں کے نقطہ نمبر 1 کے ظاہر ہونے کا امکان ، 0.1 ہے ، اور اس کی سچائی کو ثابت نہیں کیا جاسکتا ہے ، یہاں تک کہ اگر اس کو کئی بار پھینک دیا جائے۔ صرف اتنا ہی کہا جاسکتا ہے کہ اعداد و شمار سے پتہ چلتا ہے کہ چکن چکن کو قبول کرسکتے ہیں ، یا چکن چکن کو قبول نہیں کرسکتے ہیں۔

اس کے علاوہ ، 4 پہلوؤں پر ، 1 پوائنٹس کے ظہور کے امکانات کا اندازہ لگایا جاسکتا ہے ، اور اس کا اندازہ لگانے کے کچھ مختلف طریقے ہیں ، جس سے مختلف اندازے حاصل کیے جاسکتے ہیں۔ ریاضی میں ، مختلف طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ، ایک ہی نتائج کا باعث بننا ضروری ہے۔ یہ کہا جاتا ہے کہ ایک ہی راستہ ہے۔ لیکن اعدادوشمار میں ، جب تک کہ کچھ پابندیاں نہ لگائی جائیں ، اکثر ایک ہی طریقہ نہیں ہوتا ہے۔ مستقبل کے بارے میں ، ہم اکثر اندازہ لگاتے ہیں ، اور اعدادوشمار اس سلسلے میں بہت اچھا کردار ادا کرسکتے ہیں۔

• ### ٹرسٹ زون

ہم اکثر کسی نامعلوم مقدار کا تخمینہ لگاتے ہیں۔ نامعلوم مقدار کسی واقعہ کے ہونے کا امکان ، کسی تقسیم کے پیرامیٹرز (جیسے متوقع اقدار اور متغیرات وغیرہ) یا کسی شے کی زندگی وغیرہ ہوسکتی ہے۔ یہ نامعلوم مقدار ، عام طور پر پیرامیٹرز کہلاتی ہیں۔ کبھی کبھی پیرامیٹرز کا اندازہ ایک حد سے لگایا جاتا ہے ، اور اس حد میں پیرامیٹرز کا امکان شامل ہوتا ہے۔

اعداد و شمار اعداد و شمار کے ماہرین کے فیصلے کرنے کی بنیادی بنیاد ہے۔ اعداد و شمار کی کمی میں ، وہ اکثر ایک چھوٹا سا کام نہیں کرتے ہیں۔ ایک سادہ اور عام صورتحال پر نظر ڈالیں۔ فرض کریں کہ ایک تانبے کی بورڈ میں مثبت ہونے کے امکانات کا تخمینہ لگانا چاہتے ہیں۔ یہ قدرتی طور پر ہے کہ متعدد بار ، مثال کے طور پر n بار ، اور n بار کے نتائج کا مشاہدہ کریں۔ اس عمل کو لینے کے طور پر کہا جاتا ہے۔ اسی طرح ، اس معاملے میں ، ہر بار کے نتائج کی کوئی اہمیت نہیں ہے۔ مجموعی طور پر مثبت نمبر حاصل کرنا ، a کی نمائندگی کرنا۔

یہاں چونکہ اس میں دو تقسیم شامل ہیں ، حساب کتاب زیادہ پیچیدہ ہے ، اگر n کافی بڑا ہے (اگر n بہت چھوٹا نہیں ہے تو) ، ہم اکثر عام تقسیم کی مدد سے تخمینہ لگاسکتے ہیں۔ اس کا استعمال امکانات کے نظریہ میں ایک اور اہم قانون ، سینٹرل لمیٹ تھیوریم (Central limit theorem) کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے۔ یہ یاد رکھنا ضروری ہے کہ صرف عام تقسیم کے ساتھ تخمینہ لگانے کے لئے ، مرکزی انتہائی محدود اصول کا استعمال کرنا ضروری ہے ، نہ کہ انحصار کے درمیان اس اصول کا استعمال کرنا۔

اس بات کا امکان ہے کہ پیپ کا اندازہ لگایا گیا ہے کہ پیپ کا امکان p ، نمونے لینے سے پہلے ، اعتماد کا دائرہ ایک بے ترتیب دائرہ ہے ، اگر اعتماد کی سطح 95٪ مقرر کی جاتی ہے تو ، وہاں ہے ((یا اس بات کا یقین کرنے کے لئے کہ اگر اعتماد کا دائرہ صرف قریب قریب ہے) 0.95 کا امکان ، اعتماد کا دائرہ p کو شامل کرے گا۔ نمونے لینے کے بعد ، ایک مقررہ دائرہ حاصل کریں۔ پھر p اس دائرے میں شامل ہونے کا امکان ہوگا ، 1 0 نہیں ہوگا ، اور نہ ہی p ہوگا۔ ایسا کیوں ہے؟ بہت سے لوگ اکثر اس کے بارے میں الجھن میں رہتے ہیں۔

ہم مندرجہ ذیل مثال کے ساتھ شروع کریں گے۔ فرض کریں کہ کسی دکان کی سالگرہ منائی جارہی ہے ، اور گاہک ایک خاص رقم خریدتا ہے ، تو وہ 1 سے 10 تک 1 رنگ کی گیند کھینچ سکتا ہے۔ اگر آپ 5 نمبر کھینچتے ہیں تو ، آج اس کمپنی کے اخراجات میں ، آپ کو 30٪ کریڈٹ کوپن مل سکتا ہے۔ گیند کھینچنے سے پہلے ، آپ کو معلوم ہے کہ کریڈٹ کوپن حاصل کرنے کا امکان 0.1 ہے ، موقع کم نہیں ہے۔ ایک بار کھینچنے کے بعد ، 3 نمبر ، کریڈٹ کوپن حاصل کرنے کا امکان یقینا 0 ہے۔

اس طرح کی مثالیں بہت ساری ہیں۔ ہاتھ کو مارنے سے پہلے ، یہ کہا جاسکتا ہے کہ انڈے کا امکان 0.341 ہے ، اگر یہ ختم نہیں ہوتا ہے تو یہ انڈے نہیں ہے ، 0.341 اس کا کوئی فائدہ نہیں ہے۔ ایک اور مثال دیں۔ فرض کریں کہ کسی بینک کے ذریعہ جاری کردہ لاٹری میں ، 1 سے لے کر 42 تک ہر دورے میں ، 6 یارڈ بطور ٹاپ پرائز نمبر کھلتے ہیں۔ آپ نے 6 یارڈ شرط لگائی ، اور جیتنے سے پہلے ، آپ کو معلوم ہے کہ کم از کم 1 یارڈ جیتنا آسان ہے ، کیونکہ امکانات تقریبا 0.629 ہیں (ضمیمہ 1) ۔

اس کے بعد ، جیسا کہ نصاب میں کہا گیا ہے ، اسکرین شاٹ کے ساتھ مثبت نمبروں کی نمائش بھی کی جاسکتی ہے۔ (اسکرین شاٹ میں مثبت نمبروں کی نمائش کی کمی ہے ، اس کا کوئی مطلب نہیں ہے) پی کے پیتل کی پلیٹ n بار ، اعتماد کی گنجائش حاصل کرنے کے لئے۔ آپ دیکھتے ہیں ، پی بنیادی طور پر پہلے سے طے شدہ ہے ، اور اس میں سے ایک مقررہ گنجائش ہے ، کیا پی اس میں پڑتا ہے ، ایک نظر میں ، یہ کیسے کہا جاسکتا ہے کہ اس گنجائش میں پی کا امکان 0.95 ہے۔ یہاں تک کہ اگر آپ تخروپن نہیں کرتے ہیں ، لیکن اصل میں ایک پیتل کی پلیٹ ڈالتے ہیں ، تو پی صرف نامعلوم ہے ، لیکن کسی خاص قدر کے لئے (کہتے ہیں کہ پیتل کی پلیٹ جاری نہیں کی جاسکتی ہے یونٹ جانتا ہے) ، اس کے نتیجے میں مقررہ اعتماد کی گنجائش ، بے ترتیب ہے ، اس میں صرف پی کا احاطہ کیا جائے گا ، یا اس میں پی کا احاطہ نہیں کیا جائے گا۔ کیا یہ سوچا جاسکتا ہے کہ ایک ہی پیتل کی پلیٹ ، ہر شخص کے 95٪ اعتماد کے درمیان ایک الگ

اس 95٪ کا کیا فائدہ؟ 0.95 ایک احتمال کی قیمت ہے ، اور احتمال کی قیمت کبھی بھی صرف ایک بار کے تجربے کے نتائج کو دیکھنے کے لئے نہیں ہوتی ہے۔ اس کے بارے میں یہ کہا جاسکتا ہے کہ ، اگر بار بار تجربہ کیا جائے اور بہت سارے اعتماد کے فاصلوں کو حاصل کیا جائے تو ، اس میں p کے اعتماد کے فاصلوں کی تعداد شامل ہوگی ، جو تمام فاصلوں کی تعداد کا 95٪ بنتی ہے۔ لہذا ، 0.95 کا مطلب وہی ہے جو ہم نے پچھلے حصے میں احتمال کی وضاحت کی تھی۔ لیکن نوٹ کریں ، اگر ایک ہی p کے لئے ، اگر پوری کلاس میں 40 افراد ، 4095٪ اعتماد کے فاصلوں میں ، جس میں p کی تعداد 85٪ سے زیادہ نہیں ہے (یعنی 34 سے زیادہ نہیں ہے) ، تو یہ حیرت کی بات نہیں ہے۔ یہ امکان تقریبا 0.01388 (ضمیمہ 2) ہے ، لیکن یہ بہت زیادہ نہیں ہے ، لیکن جب تک کلاس کی تعداد کافی زیادہ نہ ہو ، اس میں کوئی دشواری نہیں ہوگی۔

• ### حالات کی تشریح

چونکہ امکانات ہماری زندگی کی عادات سے وابستہ ہیں ، لہذا اگر امکانات کو اچھی طرح سے استعمال کیا جائے تو ، اس سے بے ترتیب دنیا میں ، زیادہ درست فیصلے کرنے میں مدد ملے گی۔ تاہم ، امکانات کا اطلاق کرنا آسان نہیں ہوتا ہے ، جو امکانات کی قیمت حاصل کی جاتی ہے ، اسے اکثر غلط سمجھا جاتا ہے۔

ماضی میں ، ریاضی کے نصاب میں ، آپ کو ایپلی کیشنز کے نام سے جانا جاتا تھا۔ اس موضوع کو سمجھنے کے لئے ، ریاضی کے فارمولے لکھنے کے بعد ، ریاضی کو حل کرنا ہے۔ اس وقت ، آپ پہلے کی لمبی کہانی کو چھوڑ سکتے ہیں۔ لیکن امکانات میں ، کچھ آسان سیاق و سباق ، مختلف تشریحات کی وجہ سے ، جنوب اور شمال کے مابین فرق کے نتیجے میں جاسکتے ہیں۔ ذیل میں کچھ مثالیں ملاحظہ کریں۔

فلم 21 (انگریزی کا نام 21 ہے) میں، ریاضی کے پروفیسر نے کلاس میں ایک سوال پوچھا۔ تین دروازے ہیں، جن میں سے ایک دروازے کے پیچھے کار ہے، اور دو دروازے بکریوں کے لئے ہیں۔ آپ نے پہلا دروازہ منتخب کرنے کے بعد، میزبان نے دوسرا دروازہ کھول دیا اور بکری کو دیکھا۔ آپ سے پوچھا کہ کیا آپ کو تیسرا دروازہ تبدیل کرنا چاہئے؟ ایک طالب علم نے جواب دیا:

Yes, because my chance of getting the carwill increase from 33.33% to66.67% by switching from door 1 to door 3.

پروفیسر نے کہا: “بہت اچھا!” اور ان کے خیال سے اتفاق کرتے ہوئے کہا: “ہاں، بدلنا چاہیے۔” کچھ لوگوں نے اس پر سوال اٹھایا۔

اس کے مقابلے میں یہ کہنا درست ہوگا کہ اگر میزبان کو پہلے سے معلوم ہوتا ہے کہ گاڑی اس دروازے کے پیچھے ہے تو وہ 1 دروازہ کھولتا ہے اور پھر بکری کا دروازہ ہوتا ہے (یہ ایک زیادہ معقول عمل ہے ، ورنہ کھیل نہیں چل سکتا) ۔ اس وقت اگر تیسرا دروازہ منتخب کیا جائے تو ، جیسا کہ فلم میں اس طالب علم نے بیان کیا ہے ، کار حاصل کرنے کا امکان ¹⁄₃ سے بڑھ کر ²⁄₃ ہوجائے گا۔ لیکن اگر میزبان کو پہلے سے معلوم نہیں تھا کہ کار اس دروازے کے پیچھے ہے۔ (یہ یقینا rare کم ہی ہوتا ہے) صرف 2 اور 3 دروازوں میں سے ایک کو بے ترتیب طور پر منتخب کریں ، اور جب دروازہ بکری کا ہوتا ہے تو ، اس کی ضرورت نہیں ہے ، اس کی وجہ سے یا اس کے بغیر ، کار کی تبدیلی کا امکان ، سبھی ¹⁄₂ ہے۔

لیکن کیا آپ نے دیکھا ہے کہ اگر میزبان کو پہلے سے معلوم ہو کہ گاڑی اس دروازے کے پیچھے ہے تو ہم ایک مفروضہ پیش کر رہے ہیں۔ یعنی اگر دوسرے اور تیسرے دروازے کے پیچھے بکریاں ہوں تو میزبان تصادفی طور پر دوسرا یا تیسرا دروازہ کھولتا ہے۔ دراصل، اس سے زیادہ عام مفروضہ ہو سکتا ہے۔ جبکہ دوسرے اور تیسرے دروازے بکریوں کے پیچھے ہوں تو فرض کریں کہ میزبان نے دو یا تیسرے دروازے کو کھولنے کا امکان q=1؟q، جہاں 0≤q≤1 ہے۔ پھر تیسرے دروازے کو منتخب کریں، اور گاڑی کا امکان 1/{\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 2\displaystyle 1\displaystyle 2\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 2\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 1\displaystyle 2\\displaystyle 1

ایک اور مثال دیکھیے۔ ایک جوڑے نے ایک کمیونٹی میں نیا گھر بسایا تھا اور سب کو معلوم تھا کہ ان کے دو بچے ہیں، لیکن ان کی جنس معلوم نہیں تھی۔ ایک دن کمیونٹی کے ایک منتظم نے دیکھا کہ اس گھر کی ماں اپنے گھر میں ایک بچے کے ساتھ کھیل رہی ہے۔ اگر بچہ لڑکی ہے تو اس گھر میں دونوں بچے لڑکیوں کے ہونے کا امکان ہے۔ بہت سے لوگوں کا خیال ہے کہ یہ سوال اتنا مشکل نہیں ہے، بلکہ اس کا امکان ایک تہائی ہے۔ دراصل یہ سوال اس سے کہیں زیادہ پیچیدہ ہے جتنا کہ ہم سوچتے ہیں۔ اس بات کی کلید یہ ہے کہ اس گھر کی ماں سے ملاقات کیسے کی جائے، جس کے گھر میں ایک لڑکی ہے، اور اسے مناسب امکانات والے واقعات میں تبدیل کیا جائے۔ یعنی یہ بات واضح کی جائے کہ بچوں کو گھر سے نکال دیا جائے۔ یہ بات ذہن میں رکھی جائے کہ مذکورہ واقعہ اس گھر میں کم از کم ایک لڑکی کے ہونے کے برابر نہیں ہے۔

آخر میں ایک اور مثال ملاحظہ کریں جو اکثر احتمالات کی نصابی کتابوں میں پایا جاتا ہے۔ ایک یونٹ دائرے پر ، ایک تار کو تصادفی طور پر کھینچیں ، اور اس دائرے سے زیادہ اندرونی مساوی مثلث کے کنارے کی لمبائی تلاش کریں۔ جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے ، یونٹ دائرے کے اندرونی مساوی مثلث کے کنارے کی لمبائی حاصل کی جاسکتی ہے۔ لیکن تار کو تصادفی طور پر کس طرح کھینچنا ہے؟ یہ جاننا ضروری ہے کہ 1 سے n تک کے مثبت عدد میں سے ، 1 کو تصادفی طور پر منتخب کریں ، اس کا مطلب یہ ہے کہ ہر ایک نمبر کا امکان 1 / n ہے۔[اور اس کا مطلب یہ بھی ہے کہ یہ نمبر[0,1] کی کسی بھی اولاد کے وقفے کا امکان، اس اولاد کے وقفے کی لمبائی کے لئے۔ لیکن بے ترتیب ڈرائنگ تار، کس طرح ڈرائنگ؟ یہاں کے لئے بے ترتیب ڈرائنگ اصطلاح کے لئے، بہت سے اقسام کی تشریح ہو سکتی ہے۔ مختلف تشریح، ڈرائنگ تار کا طریقہ م