Triết lý giao dịch trong xác suất

Năm 1987 là sinh nhật một trăm năm của nhà toán học Ấn Độ huyền thoại Ramanujan Srinivasa (1887-1920). Để tưởng nhớ ông, có một loạt các sự kiện. Nhà thống kê nổi tiếng đương đại, sinh ra ở Ấn Độ, C. Radhakrishna Rao (1920) cũng được mời làm ba bài thuyết trình.

• ### Trong phần mở đầu của ấn bản đầu tiên, Rao nói:

Khi còn là sinh viên, tôi đã học toán học, một loại logic dẫn ra kết quả từ những giả định đã được đưa ra. Sau đó, tôi đã học thống kê, một phương pháp lý trí học hỏi từ kinh nghiệm, và logic của giả định xác minh từ kết quả đã được đưa ra. Tôi đã nhận ra rằng toán học và thống kê có tầm quan trọng trong tất cả những nỗ lực của con người để nâng cao kiến thức tự nhiên và quản lý hiệu quả các vấn đề hàng ngày.

Tôi tin rằng:

• Trong phân tích cuối cùng, tất cả kiến thức đều là lịch sử.

• Theo nghĩa trừu tượng, tất cả các khoa học đều là toán học.

• Trong thế giới của lý trí, tất cả các phán đoán đều là thống kê.

  Câu nói này nói chung về tầm quan trọng của toán học và thống kê, và ý nghĩa của chúng.

  Trong một thời gian dài, toán học trung học bao gồm các chủ đề về xác suất, trong đó xác suất cổ điển (tức là xác suất được giải thích bằng các hàm có khả năng tương tự) chiếm một tỷ lệ lớn. Do đó, xác suất thường được kết hợp với các nhóm sắp xếp. Trong khi các nhóm sắp xếp là các hàm toán học phức tạp hơn. Mặc dù đôi khi học sinh bị các chủ đề phức tạp làm cho họ bị mất trí. Tuy nhiên, đó chỉ là khía cạnh kỹ thuật, về mặt nhận thức, nó thường không gây nhầm lẫn nhiều.

  Sau bài phát biểu của ông, Chủ tịch Hội nghị, Arthur Lyon Bowley, 1869-1957, đã nói trong bài phát biểu rằng ông không chắc chắn rằng sự tự tin này không phải là một trò chơi niềm tin. Khi khái niệm về phạm vi tin cậy của Naiman được đưa ra, hầu hết các nhà thống kê, bao gồm cả người được coi là người sáng lập thống kê hiện đại, người Anh Fisher (Sir Ronald Aylmer Fisher, 1890-1962, thường được R.A. Fisher gọi là) đều khó có thể chấp nhận được. Trong phạm vi tin cậy 95%, điều đó có nghĩa là gì?

  Nhiều năm trôi qua, hơn bảy mươi năm đã trôi qua, ngày nay các nhà thống kê, tất nhiên, đã hoàn toàn hiểu được ý nghĩa của các khu vực tin cậy. Tuy nhiên, trong các trường đại học, trong các cuốn sách giáo khoa như xác suất và thống kê, thống kê và thống kê toán học, các khu vực tin cậy thường thuộc về nửa sau của các chủ đề. Đó là, khi sinh viên đại học bắt đầu tiếp xúc với các khu vực tin cậy trong các khóa học liên quan, cơ sở thống kê xác suất đã khá đủ.

  Tại sao một chủ đề có chút sâu sắc như vậy lại được đưa vào các bài giảng toán trung học?

  Trong một số sách giáo khoa thống kê, vùng tin cậy chiếm một phần của một chương. Đối với các tham số khác nhau, phân phối khác nhau, có thể có các vùng tin cậy khác nhau; thậm chí nếu cùng một tham số và cùng một phân phối, có thể có các phương pháp khác nhau, có thể có các vùng tin cậy khác nhau. Đôi khi do điều kiện không đầy đủ, hoặc tính toán phức tạp, v.v., chỉ cần quay trở lại lần nữa, có được một khoảng tin cậy gần gũi. Tất nhiên, khi đó cần một số điều kiện, và sử dụng một số định lý.

  Trong một bài viết trên blog của mình, ông viết: “Trong những trường hợp như vậy, chúng ta có thể nói rằng sự phân bố bình thường, khoảng tin cậy và mức độ tin tưởng của con người là:

  Các kết luận thống kê ở cấp trung học chỉ ước tính giá trị mong đợi của các biến ngẫu nhiên, và lý thuyết đằng sau đó là thuyết giới hạn cực trung tâm. Để giới thiệu về thuyết giới hạn cực trung tâm, bạn cần giới thiệu về phân phối bình thường. Phần này chỉ là giới thiệu thông thường, xây dựng trực quan của học sinh về thuyết giới hạn cực trung tâm theo cách hoạt động. Đối với một mức độ tin tưởng cố định, đưa ra công thức khoảng cách tin cậy, sau đó cho học sinh mô phỏng hoặc thử nghiệm bảng số ngẫu nhiên n lần, đưa vào công thức khoảng cách tin cậy để giải thích ý nghĩa của mức độ tin cậy; và giải thích tại sao phần lớn học sinh sẽ có khoảng cách tin cậy bao gồm p.

  Bài này không chỉ có một số vấn đề, mà còn không thể nói rõ. Như trong câu đầu tiên, lý thuyết đằng sau nó là lý trí giới hạn cực trung tâm, không biết từ đâu phát sinh. Đây không phải là quan điểm trong thống kê. Do giải thích trong chương trình giảng dạy không rõ ràng, những giáo viên toán học trung học nghiêm túc, muốn dạy học sinh hiểu, chỉ cần tìm hiểu nguyên tắc của nó, giải thích riêng.

  Tại sao khái niệm khoảng tin cậy thường bị rơi vào một thế giới tương tự như những gì Liu Xiaobo đã nói? Để tìm hiểu sâu hơn, nhiều người học đã không hiểu đúng ý nghĩa của xác suất. Đó là động cơ của bài viết này.

• Ý nghĩa của xác suất

Có 6 mặt của một viên ngọc, dưới một viên ngọc, xác suất của số chẵn là bao nhiêu? Chắc chắn là không có gì khác biệt, giả sử rằng mỗi mặt đều có cùng xác suất, tức là ¹⁄₆ . Trong khi các mặt của số chẵn là 2, 4 và 6 và 3 . Do đó, xác suất được yêu cầu là 3 / 6. Đó là xác suất cổ điển, giả định cơ bản là tất cả các khả năng đều giống nhau.

Vào cuối tháng 7 và đầu tháng 8, Tiger Woods tham gia Buick Open tại Michigan, Hoa Kỳ. Ông đã chơi vòng 1, thua người dẫn đầu 8 điểm và xếp thứ 95.

Các cuộc thi thể thao, thường có các tài liệu có thể tham khảo, thì không nên sử dụng cùng một khả năng. Thành công 35 trong số 36 lần, tần suất tương đối là ³⁵⁄₃₆ (khoảng 0,972). Cách giải thích xác suất bằng tần suất tương đối này là một cách thường xuyên.

Một người đàn ông nhìn vào một cô gái, ngạc nhiên, nghĩ rằng đây là cô dâu của anh ta trong đời. Sau khi đánh giá đầy tự tin, cơ hội tự tin theo đuổi là 8 phần trăm. Nhưng người khác không nhìn tốt, hỏi anh ta 8 phần trăm con số này, làm thế nào nó xuất hiện?

Đương nhiên, xác suất chủ quan cũng có thể dựa trên xác suất nhận thức 35 đối với một số sự kiện khách quan. Chỉ là ngay cả khi đối mặt với cùng một dữ liệu, người khác nhau có thể có phán đoán khác nhau, do đó đưa ra xác suất chủ quan khác nhau ((thấy anh ta thực sự không thích bạn nhiều ((Hes Just Not That Into You) ư?

Ví dụ như theo đuổi một cô gái, có rất ít cô gái, sẽ cho bạn thử nghiệm, theo đuổi lặp đi lặp lại, và sau đó đếm một số trong số đó thành công một vài lần, để xác định xác suất cô ấy sẽ được bạn theo đuổi. Đối với những hiện tượng không thể quan sát lại, khi nói về xác suất, xác suất chủ quan thường được sử dụng.

Mặc dù là chủ quan, nhưng vẫn hợp lý. Ví dụ, bài kiểm tra có đủ và không đủ. Nếu nghĩ rằng xác suất đạt được điểm là 0.9, không có vấn đề gì, người ta luôn tự tin, nhưng nếu đồng thời lo ngại rằng xác suất đạt được 0,8 sẽ không đủ, thì không được.

Có một người đã từng tham gia giết người cùng tên với đứa cháu trai của mình, người tốt sẽ nói với đứa cháu của mình rằng đứa cháu đã tham gia giết người. Mẹ nói rằng đứa cháu không giết người, và tiếp tục vải. Một lúc sau, người khác nói rằng đứa cháu đã tham gia giết người. Mẹ vẫn tiếp tục vải của mình, con trai tốt như vậy có thể giết người như thế nào? Nhưng khi người thứ ba chạy đến nói rằng đứa cháu đã tham gia giết người, đứa cháu đã sợ hãi, bỏ dụng cụ vải và lật tường.

Tất nhiên, bạn có thể không tin tưởng, bất kể kết quả của việc ném, tất cả mọi người đều cho rằng đó chỉ là một tình huống ngắn ngủi, quyết tâm tin rằng đây là một tấm đồng công bằng. Điều này không có gì không thể, giống như có một người mẹ, ngay cả khi có nhiều người chứng kiến, cô ấy không tin rằng con trai sẽ giết người miễn là cô ấy không nhìn thấy trực tiếp.

Mặc dù đã có ba cách giải thích về xác suất ở trên, cũng bao gồm nhiều tình huống trong cuộc sống thực tế, các nhà toán học chắc chắn sẽ không dừng lại ở đây. Họ thích trừu tượng hóa và khái quát hóa. Giống như giải phương trình, họ sẽ tìm ra công thức để thể hiện giải pháp cho một loại phương trình, chứ không chỉ thỏa mãn với việc tìm ra giải pháp cho một ví dụ cụ thể. Sau khi hiểu rõ hệ thống số thực, họ sẽ xác định hệ thống số thực theo cách hợp lý.

Để đưa ra xác suất một cách chính thức, trước tiên cần có một tập hợp, gọi là không gian mẫu, là tập hợp của tất cả các kết quả có thể của một quan sát nào đó. Có thể thực sự có quan sát này, hoặc chỉ là ảo. Một số tập hợp con của không gian mẫu, chúng tôi quan tâm, đó là một sự kiện. Tất cả các sự kiện cũng tạo thành một tập hợp.

Trong đó không có yêu cầu lớn về không gian mẫu, nhưng không thể là tập hợp trống. Và tập hợp các sự kiện, phải đáp ứng một số điều kiện. Nói một cách đơn giản, các sự kiện bạn quan tâm không thể quá ít. Ví dụ, không thể chỉ quan tâm đến một sự kiện A xảy ra, nhưng không quan tâm đến A. Do đó, tập hợp các sự kiện đủ lớn, ít nhất một số phải được đưa vào.

Dưới cấu trúc của không gian xác suất, bất kể người dùng giải thích xác suất bằng cách nào, họ có thể thể hiện và tìm ra ý nghĩa xác suất của họ. Nhưng vì trừu tượng hóa, không còn bị giới hạn trong bảng đồng, nón và thẻ bài poker, họ có thể thảo luận về các vấn đề chung hơn, có đủ lý thuyết để khai thác.

Theo các lĩnh vực khác của toán học, lí thuyết xác suất được phát triển muộn hơn. Tuy nhiên, sau khi chính thức hóa, lí thuyết xác suất đã nhanh chóng phát triển sâu rộng và trở thành một lĩnh vực quan trọng trong toán học. Điều này là do nhà xác suất quan trọng của thế kỷ XX, người Nga Andrey Kolmogorov (1903-1987), xuất bản năm 1933 và đặt nền tảng cho lý thuyết xác suất trong cuốn sách nhỏ dưới 100 trang (Foundationssof the Theory of Probability). Trong cuốn sách này, ông nói:

Lý thuyết xác suất là một môn học toán học có thể và nên được phát triển từ các nguyên lý, giống như hình học và đại số.

• ### Khả năng là không có gì cả.

Pierre-Simon, Marquis de Laplace, 1749-1827, người được gọi là Newton của Pháp, đã nói:

Những câu hỏi quan trọng nhất của cuộc sống là, phần lớn, thực sự chỉ là vấn đề xác suất.

Xác suất là đối với các hiện tượng ngẫu nhiên. Nhưng không phải mọi thứ trên thế giới đều ngẫu nhiên, chúng ta đã nói rằng có sự cần thiết. Giả sử bạn ném một hoặc hai mặt là tấm đồng của đầu người, và quan sát sẽ nhận được mặt đó. Bạn biết đây là một hiện tượng cần thiết, nhưng vẫn có thể nói rằng xác suất xuất hiện đầu người là 1, và xác suất xuất hiện của các trường hợp khác là 0.

Một số nhà vật lý, chắc chắn cho rằng đối với ném tấm đồng, bởi tốc độ, góc, độ đàn hồi của mặt đất, hình dạng và trọng lượng của tấm đồng, các điều kiện cho phép tính toán tấm đồng sau khi hạ cánh, sẽ hướng về phía trên, vì vậy nó không phải là ngẫu nhiên. Đối với mở ra của ly, miễn là điều kiện ban đầu có thể đo được, thì sẽ mở ra quả bóng, cũng có thể tính toán, vì vậy nó cũng không phải là ngẫu nhiên.

Một số nhà thần học có thể nghĩ rằng mọi thứ thực sự được thực hiện theo ý muốn của Thiên Chúa, nhưng chúng ta không biết. Có lẽ là như vậy. Bạn đã xem Jason and the Argonauts? Đây là một bộ phim dựa trên thần thoại Hy Lạp, có liên quan đến Aries trong Bảy sao.

Với sự tiến bộ của công nghệ, người ta dần hiểu được nhiều hiện tượng. Ví dụ, chúng ta biết rằng khi phụ nữ mang thai, giới tính của em bé đã được xác định. Nhưng đối với một phụ nữ có bụng lớn, người tốt bụng không biết, vẫn có thể đoán được xác suất sinh con trai hay con gái của họ. Trước kỳ thi, mặc dù các sinh viên chuẩn bị kỹ lưỡng, nhưng họ vẫn mệt mỏi với những phỏng đoán, mỗi người nghĩ rằng họ đã kiểm tra các vấn đề có xác suất cao. Sau khi giáo viên biết, họ cảm thấy vui vẻ.

Nhưng đối với giáo viên đã đặt câu hỏi, để đánh giá xác suất câu hỏi đó sẽ được kiểm tra, không có ý nghĩa gì. Bởi vì đối với anh ta, xác suất mỗi câu hỏi sẽ được kiểm tra, chỉ có 1 hoặc 0, không phải là giá trị khác. Tương tự như vậy, đối với người nhìn thấy trái cây phía sau, xác suất trái cây sẽ là quả chuối hoặc quả táo, sẽ chỉ có thể nói là 1 hoặc 0.

• ### Khả năng giải thích

Trong phần 2, chúng ta giới thiệu xác suất bằng cách sử dụng không gian xác suất. Vì không gian mẫu có thể là ảo, thì các sự kiện cũng là ảo. Nhưng giả sử thực sự có một quan sát, ví dụ như ném một 4 mặt, 4 mặt đánh dấu điểm số 1, 2, 3, 4 và quan sát điểm số. Không gian mẫu là tập hợp 1, 2, 3, 4.

Ngay cả khi bạn đã chấp nhận khái niệm về không gian xác suất, một nhà toán học thường đưa ra một số định nghĩa tự hào, bạn vẫn có thể tự hỏi, xác suất 0.1 của số điểm 1 là gì? Có phải mỗi lần ném 10 lần, số điểm 1 xuất hiện một lần?

Giả sử n lần, điểm 1 xuất hiện a lần, thì tần số tương đối a / n với giá trị tuyệt đối khác nhau 0,1 sẽ lớn hơn xác suất của một số dương nhất định (không cần biết nó nhỏ như thế nào), sẽ đến gần 0 khi n đến gần vô hạn.

Bạn thực tế, rất có thể không nghĩ rằng giải thích như vậy là thực tế. Bạn đặt câu hỏi đầu tiên về cái gì là gần vô hạn? Bạn cứ tiếp tục ném, không thể dừng lại, mặt trời mọc và mặt trời lặn, mùa xuân đến mùa thu, tiếp tục ném, ngay cả khi bạn đã thành công trong việc đuổi theo mặt trời, vô hạn vẫn chưa đạt được, bạn vẫn phải ném. Một sinh viên tốt nghiệp toán học, khi nghe bạn hỏi về vô hạn, giống như cá được nước, đây là một trong những mẹo tuyệt vời mà anh đã học được trong bốn năm học toán học. Bạn phải dừng lại vô hạn.

Nhưng dù sao, bạn cũng nên hiểu rằng, đối với 4 mặt trên, chỉ cần ném 1 lần, là không thể hiển thị số điểm 1 xuất hiện với xác suất 0.1, nghĩa là 0.1. Sự xác suất không chỉ là kết quả của việc nhìn vào một vài lần. Sự xác suất chỉ xuất hiện dưới một mẫu lớn (n rất lớn).

Theo giải thích của sinh viên toán học trước đó, đây là một phiên bản đơn giản của một trong những định luật số lớn. Về mặt toán học, có nghĩa là tần suất tương đối của sự kiện xảy ra, xác suất gặp gỡ kết hợp với xác suất sự kiện xảy ra. Trong một thế giới ngẫu nhiên, vẫn có một số quy tắc cần tuân theo, và định luật số là một trong những điều quan trọng.

Sự kiện có thể xảy ra miễn là xác suất là dương. Vì vậy, bất kể số lượng quan sát lớn hơn thế nào, không thể loại trừ sự kiện rất lệch lạc (ví dụ như quan sát 1.000.000 lần, số điểm 1 xuất hiện là 0, hoặc 1.000.000 lần). Tuy nhiên, tại thời điểm này, nhà thống kê có thể nhảy ra, có thể kiểm tra xem xác suất xuất hiện của số điểm 1 có thực sự là 0.1 hay không, đây là phạm vi của giả định kiểm tra giả thuyết trong thống kê.

Nếu nó thuộc loại bất thường, thì giả định ban đầu không nên được chấp nhận. Một phụ đề, khi giả định một tấm đồng là công bằng, thì nó được ném 100 lần, xuất hiện ít nhất 80 lần tích cực, so với 10 lần, xuất hiện ít nhất 8 lần tích cực, cái trước là bất thường hơn, bởi vì xác suất nó xảy ra, nhỏ hơn nhiều so với cái sau. Vì vậy, với cùng một số lượng mặt tích cực hơn 80%, số lượng ném càng lớn sẽ khiến chúng ta tin rằng tấm đồng này không công bằng, và chấp nhận xác suất xuất hiện của nó là tích cực, ít nhất là 0,8. Điều này cho thấy trong thống kê, số lượng bản sao càng lớn, sẽ làm cho suy luận của chúng ta chính xác hơn.

Trong một thế giới ngẫu nhiên, người ta thường không biết cái nào là thật. Chúng ta thường không thể chứng minh được cái gì là thật. Chỉ là một giả định, tùy thuộc vào việc bạn chấp nhận giả định đó. Khả năng xuất hiện của số điểm 4 mặt 1 là 0,1, thậm chí nếu ném nhiều lần, bạn không thể chứng minh được sự thật của nó.

Ngoài ra, đối với một 4 mặt, cũng có thể ước tính xác suất xuất hiện của điểm số 1, có một số phương pháp ước tính khác nhau, có thể có được số lượng ước tính khác nhau. Trong toán học, sử dụng các phương pháp khác nhau, phải dẫn đến kết quả tương tự. Cái gọi là sự khác biệt. Nhưng trong thống kê, trừ khi làm một số hạn chế, thường không có phương pháp nhất định. Đối với tương lai không thể đoán trước, chúng ta thường phải ước tính, thống kê có thể đóng vai trò tốt trong lĩnh vực này.

• ### Phòng tin cậy

Chúng ta thường ước lượng một số lượng không biết. Số lượng không biết có thể là xác suất xảy ra một sự kiện, tham số của một phân phối (như giá trị mong đợi và số biến, v.v.) hoặc tuổi thọ của một vật phẩm. Những số lượng không biết này có thể được gọi là tham số. Đôi khi tham số được ước tính bằng một vùng, và vùng này sẽ bao gồm tỷ lệ xác suất của tham số.

Dữ liệu là cơ sở chính để các nhà thống kê đưa ra quyết định. Nếu không có dữ liệu, họ thường không làm gì cả. Hãy nhìn vào một tình huống đơn giản và phổ biến. Giả sử muốn ước tính xác suất xuất hiện của một mặt đồng p. Đương nhiên, bạn sẽ ném một vài lần, ví dụ như n lần, và quan sát kết quả của n lần. Quá trình này được gọi là lấy.

Ở đây, vì nó liên quan đến phân phối hai, tính toán phức tạp hơn, nếu n đủ lớn (n quá nhỏ thì không được), chúng ta thường có thể sử dụng phân phối bình thường để gần gũi. Điều này sử dụng một định luật quan trọng khác trong lý thuyết xác suất là lý thuyết giới hạn trung tâm.

Tính xác suất p của một mặt dương đối với một tấm đồng ước tính, trước khi lấy mẫu, khoảng độ tin cậy là một khoảng ngẫu nhiên, nếu mức độ tin cậy được đặt là 95%, thì có một ((hoặc nói chính xác là có một số nếp nhăn, nếu khoảng độ tin cậy chỉ là xấp xỉ) xác suất 0,95, khoảng độ tin cậy sẽ bao gồm p. Sau khi lấy mẫu, để có được một khoảng cố định.

Chúng tôi giải thích ví dụ sau đây. Giả sử một cửa hàng đại chúng kỷ niệm, khách hàng mua sắm đến một số tiền nhất định, bạn có thể rút 1 quả bóng từ số 1 đến 10. Nếu rút số 5, bạn có thể nhận được 30% phiếu giảm giá trong chi phí của công ty hôm nay. Trước khi rút quả bóng, bạn biết rằng có xác suất 0.1 để có được phiếu giảm giá, cơ hội không nhỏ. Một khi rút ra, một lần xem là số 3, xác suất nhận phiếu giảm giá tất nhiên là 0.

Có rất nhiều ví dụ như vậy. Trước khi đánh gậy, có thể nói rằng tỷ lệ cược là 0.341, kết thúc hoặc không phải là người chơi, 0.341 đã không được sử dụng. Hãy cho một ví dụ khác. Giả sử một ngân hàng phát hành xổ số, mỗi lần từ số 1 đến 42, mở ra 6 thẻ là số giải thưởng hàng đầu.

Bạn có thể nghĩ rằng, p là cơ bản là đặt trước, mô phỏng một trong những thành phần cố định, có p rơi vào trong đó, một cái nhìn, làm thế nào có thể nói rằng các khu vực bao gồm các p của xác suất là 0,95? ngay cả khi bạn không mô phỏng, nhưng thực sự lấy một tấm đồng ném, thì p chỉ là không biết, nhưng cho một giá trị nhất định (nhưng nói rằng không phát hành tấm đồng đơn vị biết) sau khi đưa ra kết quả của việc ném, các khu vực tin cậy cố định, đã ngẫu nhiên, nó sẽ chỉ bao gồm p, hoặc không bao gồm p. có thể nghĩ rằng, cùng một tấm đồng, mỗi người có 95% các vùng tin cậy khác nhau, làm thế nào có thể tuyên bố, bao gồm các p của xác suất là 950.

Vậy thì 0.95 có nghĩa là như chúng ta đã giải thích về xác suất ở phần trước. Nhưng hãy nhớ rằng, đối với cùng một p, nếu toàn bộ 40 người trong lớp, có 4095% trong đó có p không quá 85% (tức là không quá 34 người) thì cũng không quá ngạc nhiên. Khả năng này là khoảng 0.01388 (như ghi chú 2) không quá lớn, nhưng chỉ cần có đủ lớp thì nó có thể xảy ra. Chương trình giảng dạy 98 nói rằng hầu hết các học sinh trong lớp đều có thể bao gồm p, do thiếu khái niệm máy móc.

• ### Giải thích tình huống

Vì xác suất liên quan đến thói quen sống của chúng ta, nên nếu sử dụng xác suất tốt, sẽ giúp đưa ra quyết định chính xác hơn trong thế giới ngẫu nhiên. Tuy nhiên, thường không dễ áp dụng xác suất, giá trị xác suất được nhận ra thường được coi là sai. Và cũng có nhiều người nói, đưa ra giá trị xác suất khác nhau.

Trong quá khứ, trong các bài học toán học, chúng ta sẽ gặp phải những gì gọi là các vấn đề ứng dụng. Khi bạn hiểu vấn đề, sau khi viết ra các phương trình toán học, bạn sẽ giải toán.

Trong bộ phim 21 (tiếng Anh là 21), giáo sư toán học đặt ra một câu hỏi trong lớp học. Có ba cánh cửa, một trong số đó là xe hơi và hai cánh cửa khác là dê. Sau khi bạn chọn cửa đầu tiên, người dẫn chương trình mở cửa thứ hai và thấy dê.

Yes, because my chance of getting the carwill increase from 33.33% to66.67% by switching from door 1 to door 3.

Giáo sư nói: “Very good! , đồng ý với quan điểm của họ, nghĩa là nên thay đổi”.

Cách nói chính xác hơn là, nếu người dẫn chương trình biết trước rằng xe ô tô ở phía sau cánh cửa đó, anh ta sẽ mở 1 cánh cửa và sau đó là cánh cửa dê (đây là cách hợp lý hơn, nếu không, trò chơi sẽ không thể được thực hiện) Khi đó nếu chọn cửa thứ 3, như học sinh trong phim nói, xác suất lấy xe ô tô sẽ tăng ¹⁄₃ lên ²⁄₃. Nhưng nếu người dẫn chương trình không biết trước rằng xe ô tô ở phía sau cánh cửa đó (đó là một trường hợp hiếm hoi) chỉ chọn một trong các cánh cửa thứ 2 và thứ 3 một cách ngẫu nhiên, và cánh cửa được mở, và ngay sau đó là con dê, thì không cần thay đổi, thay đổi hoặc không, xác suất lấy xe thay đổi, tất cả đều là ¹⁄₂.

Nhưng bạn có thể không nhận thấy rằng trong trường hợp người dẫn chương trình biết trước rằng chiếc xe đang ở phía sau cánh cửa đó, chúng tôi thực sự ngụ ý đưa ra một giả định. Đó là nếu sau cánh cửa thứ 2 và thứ 3 là dê, người dẫn chương trình sẽ mở cửa thứ 2 hoặc thứ 3 một cách ngẫu nhiên (tức là mỗi có xác suất ¹⁄₂). Trên thực tế, có thể có giả định chung hơn.

Một cặp vợ chồng mới chuyển đến một cộng đồng, tất cả mọi người đều biết họ có hai đứa con, không biết giới tính. Một ngày nọ, một quản lý cộng đồng nhìn thấy mẹ của gia đình này đang chơi với một đứa trẻ trong nhà. Nếu đứa trẻ là con gái, hãy hỏi gia đình này về khả năng cả hai đứa trẻ đều là con gái. Nhiều người nghĩ rằng câu hỏi này không khó, cho rằng xác suất được yêu cầu là ¹⁄₃.

Cuối cùng, hãy nhìn vào một ví dụ khác thường xuất hiện trong sách giáo khoa về xác suất. Trên mặt phẳng có một vòng đơn vị, vẽ một dây ngẫu nhiên, tìm kiếm các dây dài hơn chiều dài của các cạnh của tam giác ngang cạnh bên trong của vòng tròn. Sử dụng hình học, các cạnh của tam giác ngang cạnh bên trong của vòng đơn vị có thể được tìm ra. Nhưng làm thế nào để vẽ một dây ngẫu nhiên?[0,1] và lấy 1 một cách ngẫu nhiên, có nghĩa là số này sẽ rơi vào[Khả năng của bất kỳ một interval nào trong 0,1], là chiều dài của interval đó. Nhưng dây vẽ ngẫu nhiên, là cách vẽ như thế nào? Ở đây, có nhiều cách giải thích cho thuật ngữ ngẫu nhiên .

Những ví dụ trên cho chúng ta thấy, khi xử lý vấn đề xác suất, tình huống cần được xác định rõ ràng. Nói theo thuật ngữ, đó là không gian xác suất cần được đưa ra rõ ràng, nếu không sẽ dẫn đến những lời nói khác nhau. Đôi khi không có không gian xác suất, nhưng tình huống đơn giản hơn, mọi người có quan điểm chung, không đặc biệt nhấn mạnh rằng không gian xác suất là gì, không có vấn đề.

Ngoài việc giải thích theo ngữ cảnh, một số khái niệm độc đáo trong xác suất, như xác suất điều kiện, độc lập và lấy mẫu ngẫu nhiên, cũng được lưu ý khi áp dụng xác suất.