最近比较对套利感兴趣，今天我们来分享一个比较复杂的套利思路。先前的我们使用 EWY 和三星、海力士进行了套利，但是毕竟需要你对市场有一个准确判断的眼光，那么有没有办法帮助我们筛选出目标标的进行套利呢，今天我们来谈一下。

一、EWY 那笔交易，你真正付出的成本是什么

先把上次的事情讲清楚。EWY 是韩国 ETF，三星和海力士是它里面最重的两个成分。当 EWY 相对成分股显得贵了，空 EWY、多成分，等价格回到该在的位置。

这笔交易没问题。但它有一个隐含成本，很少有人算过：你为了找到这三个标的，事先付出了多少认知。

你得知道 EWY 是韩国 ETF；得知道三星海力士在里面权重最大；得知道存储周期怎么传导；得知道韩元汇率会在多大程度上污染这个价差。这些东西不在数据里，在你脑子里。它们是你多年积累的资产，但也正因为是资产，它不可复制、不可扩展、不可外包给机器。

于是就有了这个策略的全部动机：

全市场几百个标的，两两组合几万对，三个一组几百万组。你能盯几个？

配对交易的天花板不在收益率上，在你一次只能想清楚一件事上。今天我们要做的，是把"想清楚哪些标的该绑在一起"这一步，从人手里拿走，交给一个可以每天重跑一遍的流程。

二、第一步：把价格摆成矩阵

所有事情从一个非常朴素的动作开始——把价格摆成一张表，横轴时间、纵轴标的、格子里填对数价格。

            python
            
            
P = np.array([[series[s][t] for s in kept] for t in ts], dtype=float)
L = np.log(P)          # T×N 的对数价格矩阵

用对数不是为了好看。套利关心的永远是比例关系，而对数把比例变成了差：股价从 10 到 20 和从 100 到 200，在对数上是同一个数字。你后面所有的线性代数——加权、投影、回归——才有意义。

这个矩阵 X，T 行 N 列，就是接下来全部工作的对象。它长什么样，决定了这堆标的之间有没有可套的东西。

三、十只半导体股票，其实只有一只

把一段时间的半导体标的摆进去看：AMD、ARM、ASML、INTC、MRVL、NVDA、TSM，再加上 QQQ 和 SPY。

肉眼就能看出来：这些列高度雷同。一个涨大家涨，一个跌大家跌。

这在数学上叫低秩——矩阵有 10 列，但实际的自由度远小于 10。把它拆开的工具是 SVD：

            python
            
            
_, S, Vt = np.linalg.svd(Xc, full_matrices=False)
V  = Vt.T
Vf = V[:, :k]      # 共同趋势方向
Vn = V[:, k:]      # 零空间

k 取几，是整个策略的第一个真问题。 取小了，把真信号当噪声，套利组合里残留了方向性风险；取大了，把噪声当信号，你在赌一个不存在的结构。

不能拍脑袋，也不能用碎石图目测。这里用 Marchenko-Pastur：随机矩阵理论给出了"纯噪声情况下特征值最大能到多少"的解析上界。凡是超过这个上界的，就不可能是噪声凑出来的。

            python
            
            
def mp_factor_count(returns):
    T, N = returns.shape
    q = float(N) / float(T)
    upper = (1.0 + math.sqrt(q)) ** 2    # 纯噪声的特征值上界
    ev = np.linalg.eigvalsh(C)
    return int(np.sum(ev > upper))       # 超出的才算真因子

这个判据的好处是它自带样本量修正——q = N/T 直接进公式。你训练窗口越短、标的越多，上界越高、门槛越严。这正是应该的：数据少的时候本来就不该相信自己看到的结构。

跑出来的结果值得停下来看一眼：上面那 10 个标的，k = 1。

一个共同因子。十只半导体，从统计上说就是一只，加九份各自的偏离。

四、零空间：一次给你九个正交的赌注

这里是整套方法真正拉开差距的地方。

10 个标的、1 个共同因子，意味着剩下 9 个维度是"共同趋势之外"的东西。这个空间叫零空间，它的定义就是与共同趋势正交。

含义非常直接：按零空间里的任何方向配权重，共同趋势被完全抵消。

半导体整体涨 5%，你的组合不动；整体崩 8%，还是不动。留在组合里的只有一件事——谁相对偏离了。

而 EWY 那笔交易，本质就是用人脑在这个空间里手工摸到了一个方向。你猜出了一组权重，让韩国大盘因子约掉。你猜对了，所以它赚钱。

SVD 的差别在于：

它把这个空间里的 9 个正交方向一次性全给你。

正交这个词是关键。它不是"九种说法描述同一个赌注"，而是九个统计上独立的赌注。一个方向回归失败，不影响另外八个。配对交易只有一个自由度，你押错就是押错；矩阵套利有 r 个，风险天然被摊开。

这就是"矩阵套利"和"配对套利"的分水岭——不是标的多了几个，是赌注的维数变了。

图 1｜矩阵套利真正增加的不是标的数量，而是共同趋势之外、可以被独立监控的偏离维数。

五、这个空间能不能用，取决于奇异值间隙

但 SVD 吐出来的东西不能照单全收，这里有个足以让整套方法失效的陷阱。

SVD 按奇异值大小排序，前 k 个划给共同趋势，后面的划给零空间。问题在于，这条分界线画得稳不稳。

如果第 k 个奇异值是 100、第 k+1 个是 20，这条线稳如磐石，明天重估还是这个划分。如果是 51 和 49，那么下一次重估时，某个方向完全可能从零空间跳到因子空间去——你昨天精心算好的权重，今天指向了完全不同的组合。

这不是经验之谈，是有严格界的。Davis-Kahan / Wedin sinθ 定理给出：

            text
            
            
子空间的旋转   ≤   噪声大小 / 奇异值间隙

分母就是那个间隙。它是稳定性的定量度量，不是修辞。间隙翻倍，同样噪声下的旋转减半。

所以它是一道硬门槛：

            python
            
            
gap = float(S[k - 1] / S[k])
if gap < MIN_GAP:                 # 默认 1.30
    return None, "奇异值间隙不足 {:.2f}<{:.2f}".format(gap, MIN_GAP)

理论保证之外，还要做一次实证。方法很直接：把训练窗口劈成前后两半，各估一次零空间，量两者的主夹角。

            python
            
            
half = eff // 2
angles = []
for seg in (train[:half], train[half:]):
    Sc = seg - seg.mean(axis=0)
    _, _, vt = np.linalg.svd(Sc, full_matrices=False)
    angles.append(principal_angles_deg(Vn, vt.T[:, k:]))

if max(angles) > MAX_ANGLE_DEG:   # 默认 20°
    return None, "子空间旋转 {:.1f}°>{:.1f}°".format(max_angle, MAX_ANGLE_DEG)

这一问非常尖锐：前半段数据算出来的套利方向，和后半段算出来的，指的是同一个方向吗？

夹角小，说明这个结构是真实存在的经济关系；夹角大，说明你只是在给一段特定时期的噪声起了个名字。

看这一关刷掉了什么：

            text
            
            
6   BMNR,COINX,CRCLX,HOODX,MSTRX,ORCLX     子空间旋转 49.6°>20.0°
6   AMZNX,GOOGLX,IBM,METAX,MSFT,PLTRX      子空间旋转 87.0°>20.0°
13  AAPLX,AMZNX,BABA,CXMT,FUTUON,GOOGLX    子空间旋转 80.0°>20.0°

87 度，几乎正交——前后两段给出的"套利方向"完全不相干。

注意这一关的性质：它拦掉的恰恰是最有说服力的那批。 大科技股相关性肉眼可见，任何一个人来手工挑篮子都会先挑它们。相关性高不等于关系稳定，而可交易的从来是后者。这一步替你省掉的钱，比它带来的机会更多。

图 2｜奇异值间隙比负责检查因子空间与零空间的分界，主夹角负责检查这组套利方向在时间上有没有旋转。

六、两个统计量：一个找错位，一个防接刀

篮子定下来，进入实时监控。这里需要两个统计量，职责完全不同。

Q-score：结构错位有多深

把当前价格投影到零空间，用训练期的残差协方差做马氏距离：

            python
            
            
rvec = xc @ Vn
q_raw = float(rvec @ np.array(model["resid_inv"]) @ rvec)

为什么必须是马氏距离而不是欧氏距离？ 因为零空间里的 r 个方向波动量级完全不同，有的方向天然活跃、有的方向常年贴着零。用同一个绝对阈值去卡，等于只监控了波动最大的那一两个方向，剩下的形同虚设。马氏距离用每个方向自己的历史协方差做归一化，把 r 个方向拉到同一个尺度上。

回报是：如果协整成立，这个量服从 χ²(r)。阈值不用你调，直接查分布：

            python
            
            
"q_entry": float(sps.chi2.ppf(0.995, r)),   # 千五分位，报警
"q_exit":  float(sps.chi2.ppf(0.80,  r)),   # 回到八十分位，离场

这是一个被低估的好处：参数越少，过拟合的空间越小。凡是能从分布里读出来的数，就不要留给自己去"优化"。

F-shock：整个因子空间是不是在剧烈重定价

这个统计量的存在意义只有一个：阻止你在错误的时候做正确的动作。

设想 Q-score 报警了，你冲进去做回归。但实际情况是美联储刚刚给出了超预期的表态，整个半导体板块在集体重新定价。价格不会回来，因为它本来就该去那儿。

所以要单独盯共同趋势本身的变动速度：

            python
            
            
f = xc @ Vf                          # 因子得分
d = f - np.array(prev["f"])          # 一阶差分
fshock = float(d @ np.array(model["f_inv"]) @ d)

开仓需要两个条件同时成立：

            python
            
            
"alarm":   q > model["q_entry"],           # 结构确实错位
"blocked": fshock > model["f_limit"],      # 但因子在剧烈变动 → 不开

这两个统计量的组合，其实是在回答同一个问题的两面：

Q 高、F 低 —— 系统性因素没变，个体相对位置错了。这是可交易的偏离。
Q 高、F 高 —— 系统性因素正在变。这不是偏离，是重定价。

顺带说一句，经典的 MSPC（多变量统计过程控制）里的 T²/Q 统计量假设变量是平稳的，而对数价格是 I(1) 的，不能直接套用。这里的改造点在于：Q 建在零空间残差上（协整成立时平稳），F 建在因子的一阶差分上（差分后平稳）。两个统计量都被显式地移到了平稳的地基上，否则卡方分布的假设根本不成立，阈值也就没意义。

图 3｜真正想要的是左上角：结构错位已经够深，但共同因子仍然平静。右上角更像事件驱动的重新定价。

七、归因：残差是组合的属性，不是标的的属性

Q-score 报警只告诉你"这个组合错位了"。它没有、也不可能告诉你是谁的问题——残差是投影出来的，它属于整个组合。

定位需要另一套东西：leave-one-out 回归。

            python
            
            
for i in range(N):
    others = [j for j in range(N) if j != i]
    A = np.column_stack([np.ones(eff), train[:, others]])
    b, _, _, _ = np.linalg.lstsq(A, train[:, i], rcond=None)
    res = train[:, i] - A @ b
    loo.append({"i": i, "others": others,
                "beta": b.tolist(), "sd": float(res.std(ddof=1))})

思路是：用其余 N−1 个标的去重构标的 i。如果重构得好，说明 i 没有特有偏离；如果重构残差异常大，偏离就落在 i 身上。

实时监控时每个标的算一个 z：

            python
            
            
pred = b[0] + float(b[1:] @ x[rec["others"]])
z = (x[rec["i"]] - pred) / rec["sd"]

实盘的一次输出：

            text
            
            
ARM:-5.604   NVDAX:-3.099   INTC:2.548   ASML:1.564

ARM 偏离 5.6 个标准差，方向为负——其余九个标的共同给出的定价明显高于 ARM 当前的价格。

仓位就据此展开：多 ARM，其余九条腿按回归系数 β 反向配平。

            python
            
            
sgn = 1.0 if top["z"] > 0 else -1.0
w = {top["symbol"]: -sgn}
for pos_j, j in enumerate(rec["others"]):
    w[model["members"][j]] = sgn * float(b[1 + pos_j])

这里有个容易被忽略的性质：权重不是你选的，是回归系数给的。而 OLS 的正规方程保证了残差与所有回归元正交——也就是说，这组权重天生对共同因子中性。你不需要额外去做 beta 中性化，它是从构造里掉出来的。

这就是自动化版本的 EWY 三角。只不过它有十条腿，而且每天重估一次。

八、三个坑：样本内完美，样本外稳定亏钱

上面是方法论。下面是我认为更值钱的部分——三个会让这套东西在实盘里持续失血的具体陷阱。它们的共同特征是：回测漂亮，实盘阴跌。

其一：杠杆 ETF 的波动率衰减

SOXL 是 3 倍做多半导体，TQQQ 是 3 倍做多纳指。它们和标的的相关系数能到 0.99，看上去是天赐的套利对手。

但杠杆 ETF 每日再平衡，这导致一个数学上必然的结果：

            text
            
            
ln(3x ETF)  ≠  3 × ln(标的)

差额是一个确定性向下的漂移，量级由标的波动率决定。你把它配进协整组合，样本内拟合会非常好（因为漂移在样本内也被 μ 吸收了一部分），上线之后每天亏一点，稳定地亏。这不是运气问题，是它的产品设计决定的。

识别方式：相关性极高但波动率显著更大的，判为杠杆版本。

            python
            
            
if abs(C[i, j]) >= DEDUP_RHO:                    # ρ > 0.97
    hi, lo = (i, j) if vol[i] > vol[j] else (j, i)
    if vol[hi] / vol[lo] >= DEDUP_VOL_RATIO:     # 波动比 > 1.40
        drop_idx.add(hi)

##剔除 SNXX，保留 SNDK，相关系数 0.9813，波动比 2.15x

但这只抓得住成对的。SOXL 是 3 倍指数，它和池子里任何单个成分的相关性都到不了 0.97，会大摇大摆走进篮子。所以篮子内部需要第二道：

            python
            
            
med_vol = float(np.median(vols))
out = [i for i in range(len(kept)) if vols[i] > VOL_OUTLIER_MULT * med_vol]

日志里的处理结果：

            text
            
            
6  AMD,ARM,INTC,MRVL,SOXL,TSM   剔除波动异常成员['SOXL']后规模不足

整个篮子作废，也不让它进来。这个取舍是对的——一个被污染的篮子的期望收益是负的，而放弃它的成本只是少一个候选。

其二：财报跳空，与"错位"在形态上完全一致

美股财报盘后发布，而这些永续 24 小时交易。

那一刻的画面是：整个板块几乎不动，单一标的瞬间跳 8%。

在 Q-score 和 LOO 归因看来，这与教科书级的套利机会在数据上无法区分：组合残差飙升，单腿 z 值拉到 6 以上，其余腿纹丝不动。

但这是永久性重估。价格不会回来，你做的不是均值回归，是接飞刀。

区分点不在幅度，在速度。流动性失衡是逐步拉开的，事件重定价是一步到位的：

            python
            
            
if q - prev["q"] > model["q_entry"] * JUMP_MULT:      # 单轮跳变超过报警线 60%
    jump_until = now + JUMP_COOL_S                    # 冷却 4 小时

这个判据不完美——它会误伤一部分真实的快速偏离。但错过一次机会的成本，和接一次财报刀的成本，不在一个量级上。在这种非对称下，宁枉勿纵是理性的。

其三：日内季节性，白天和深夜不能共用一把尺

永续 24 小时运行，但真实美股只在特定时段开盘。美股盘中时段的残差波动，和亚洲深夜时段可以差一个数量级。

如果混在一起估阈值，结果是双向失准：盘中太松，漏掉真机会；深夜太紧，满屏假报警。

有个诱人的懒办法是直接把非交易时段的数据丢掉。但这恰恰丢掉了最值钱的部分——财报就发在那个时候，那是"整队不动、单腿跳出去"最纯粹的形态。

正确做法是给每个时段配一把自己的尺子：

            python
            
            
Q_train = np.einsum("ij,jk,ik->i", Rn, resid_inv, Rn)
slots = ((ts[-eff:] // 3600000) % VOL_SLOTS).astype(int)
for h in range(VOL_SLOTS):
    sel = Q_train[slots == h]
    if len(sel) >= MIN_SLOT_BARS:
        slot_scale[str(h)] = float(np.median(sel)) / q_med_all

监控时用当前时段自己的因子归一化，效果直接体现在面板上：

            text
            
            
Q(季节归一) 10.17    Q(原始) 14.78    时段因子 1.453

原始值 14.78，但该时段基准波动本就高 45%，归一后 10.17，未触及 18.55 的报警线。不做这一步，这就是一次假信号，而且是会反复出现的那种。

九、样本内的均值回归，一个信息量为零的现象

这一节我想说得直白一些，因为它推翻的东西比它建立的更多。

你在样本内看到的所有漂亮回归图，都不构成任何证据。

z-score 的构造方式保证了 Σz = 0。这是一个代数恒等式，不是统计发现。把纯粹的随机游走喂进去，画出来的图一样会优美地围绕零轴穿越。

均值回归在样本内是被定义出来的，不是被观察到的。

唯一有信息量的检验只有一个：

冻住训练窗口估出的参数，看之后真实发生的偏离会不会回来。

所以这套系统把样本外统计放在了面板的第一屏，压在账户资金上面：

            python
            
            
def validation_stats(store):
    done = [a for a in store["alerts"] if a.get("resolved") is not None]
    ok = [a for a in done if a["resolved"]]
    return {
        "rate": len(ok) / len(done),                             # 报警后是否真的回归
        "median_min": times[len(times) // 2],                    # 回归耗时
        "mae": np.mean([a["peak_q"] / a["q0"] for a in done]),   # 回归前最坏偏到几倍
    }

三个数各有各的用处：

第三个尤其容易被忽略。它衡量的是"你在正确的判断上能不能活到收敛那一刻"——一个回归率 80% 但 MAE 高达 3 倍的策略，配上不合适的杠杆，照样会在收敛前爆掉。方向对和活下来是两件事。

篮子的 gap 多漂亮、ADF 的 t 值多显著，在这张表面前都不算数。它们是前置条件，不是结论。

十、最后一公里：信号正确，订单可能是错的

还有一个非常不"数学"、但足以毁掉一切的问题。

合约按张成交，只能取整。

假设某条腿的目标是 3.7 张，floor 之后是 3 张，19% 的误差。十条腿各来一次，你实际持有的组合已经不是那个中性组合了。

后果比"少赚一点"严重得多：β 一旦失真，头寸里就残留了方向性市场风险。你以为在赌"ARM 会向组合回归"，实际上你同时押了半导体的方向。那不是这个策略要承担的风险，也不是它有优势的风险。

所以下单前必须量一次实际权重与目标权重的夹角：

            python
            
            
tgt = np.array([w.get(sy, 0.0) for sy in w])
act = np.array([legs[sy]["notional"] * (1 if long else -1) ...])
fidelity = float(tgt @ act / (norm(tgt) * norm(act)))

if fidelity < MIN_HEDGE_FID:      # 默认 0.97
    return                        # 配不准，就不开

顺着这个约束可以反推出一个很实用的数字：这个篮子最少需要多少敞口才配得动。

            python
            
            
needs.append(float(np.max(FID_TARGET_CT * gran[nz] * aw.sum() / aw[nz])))
min_gross = float(np.median(needs))

面板上直接标出来：

            text
            
            
BB136E8   最小敞口 $11,938   当前可交易 ✅
B90094A   最小敞口 $4,597    当前可交易 ✅

资金不够就不该做这个篮子。 强行做的结果不是"小一点的套利"，而是"取整误差主导的方向性头寸"——性质完全变了。

另外一项常被漏掉的成本是资金费率。多空组合的 carry 不会自动抵消，各腿费率不同；而 TradFi 永续因为无法与现货套利，基差由持仓结构决定，往往有系统性偏离。这是 spread 上一项确定性漂移，不显式记账就会系统性高估收益：

            python
            
            
for sym, leg in pos["legs"].items():
    rate = mk["fundingRate"] * dt / mk["fundingInterval"]
    acc += notional * rate if leg["side"] == "long" else -notional * rate
pos["funding_paid"] += acc

十一、整条流水线

图 4｜筛选、验证、监控、执行和样本外统计构成闭环；前面所有门槛，最终都要接受样本外结果的裁决。

            text
            
            
全市场数百个合约
      ↓  流动性闸门（持仓量、多空用户数）
      ↓  排除 pre-IPO 合成品（无外部价格锚，协整无从谈起）
约 120 个候选标的
      ↓  层次聚类，距离用 √(2(1−ρ))，不引入任何行业先验
约 150 个候选篮子
      ↓  剔除杠杆版本
      ↓  MP 定因子数 k
      ↓  奇异值间隙 ≥ 1.30
      ↓  前后半窗子空间夹角 ≤ 20°
      ↓  ADF 检验 + OU 半衰期
2~6 个通过的篮子
      ↓  Q-score / F-shock 实时监控
      ↓  跳空过滤、日内季节性归一
      ↓  LOO 归因定位
      ↓  整数张取整 + 对冲保真度检查
下单
      ↓
样本外验证统计 ← 唯一的裁判

对照实盘输出读一遍：

            text
            
            
ID       N   k因子  r零空间  σ间隙  子空间夹角  ADF最优t  半衰期   稳定评分
BB136E8  10   1      6      4.476   11.96°     -5.704   17.8bar   0.807
         AMD, ARM, ASML, INTC, MRVL, NVDA, QQQ, SPY, TSM

这一行的意思是：这 10 个标的由 1 个共同因子驱动，剩余 6 个方向通过了平稳性检验；奇异值间隙 4.5 倍，分界稳固；前后半窗夹角 12°，结构在时间上一致；偏离后约 **18 根 K 线（4.5 小时）**衰减一半。

这就是机器版的 EWY 三角——十条腿，六个独立赌注，全程没有一个字来自人的判断。

十二、必须说清楚的三件事

第一，它没有强制收敛机制。 真正的套利之所以是套利，靠的是最终的物理交割：ETF 能申赎、期货能交割。而这些 TradFi 永续无法与真实美股实物交割。约束价格的只有资金费率、做市商库存和相对报价习惯——比真套利弱一个量级。所以它是统计套利，收敛是概率性的，不是保证。

第二，样本长度是当前最大的软肋。 这些合约上线不久，可能还没完整走过一个财报周期。协整关系在财报季前后会不会漂移，现有数据回答不了。所以样本外统计必须持续累积，而不是跑几天就下结论。

第三，前面所有的定理、门槛、检验，加起来只做了一件事——提高样本外成立的概率。 它们不提供保证。奇异值间隙、子空间夹角、ADF、MP 判据，全部都是必要条件而非充分条件。

所以整套东西最终只落在一张表上：

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🔬 样本外验证
累计报警  已了结  回归率  回归耗时中位数  最大不利偏移  结论
   1        0      —          —              —      样本不足，继续积累

回归率站上 60%，前提成立，可以谈仓位。
回归率长期低于 50%，前提不成立，关掉，别修参数。

中间没有第三种选项。修参数把回归率修上去这件事，本身就是过拟合的定义。

策略源码：TradFi 矩阵统计套利
策略默认运行在GateIo交易所，其他需要根据不同交易所进行切换；
默认paper 模式，不产生真实委托。先把样本外统计跑够，再谈钱。