গণিত এবং জুয়া খেলা

• আমরা জানি যে জুয়া একটি সম্ভাব্যতা খেলা, এবং এটি কিছু অদ্ভুত জুয়া ফলাফল যা গণিতবিদ পাস্কাল এবং মহান গণিতবিদ ফার্মাকে আগ্রহী করেছিল, যারা চিঠিপত্রের মাধ্যমে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের কিছু নীতি প্রস্তাব করেছিলেন, যার ফলে সম্ভাব্যতা তত্ত্ব প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। আজকের গণনাটি জুয়া খেলার কয়েকটি সম্ভাব্যতার আগ্রহের বিষয়গুলির সাথে পরিচয় করিয়ে দেয়, যাতে আমরা জানতে পারি যে জুয়া খেলার জন্য, আপনাকে সাবধানে চিন্তা করতে হবে।

• ১, নিখুঁত জুয়া খেলা

এনবিএ দলের লেকস এবং কোকস একটি খেলা আছে, এবং উভয় দলের অনুগত ভক্ত আছে, তাদের কঙ্গনা এবং কঙ্গনা বলো। ভক্তরা অবশ্যই মনে করে যে তাদের সমর্থিত দলটি জয়ের সম্ভাবনা বেশি, তাই তারা আপনার সাথে বাজি ধরতে চায়। ধরুন কঙ্গনা ভক্তরা মনে করে যে লেকস জয়ের সম্ভাবনা পি, কঙ্গনা ভক্তরা মনে করে যে কঙ্গনা জয়ের সম্ভাবনা কিউ, পি এবং কিউ উভয়ই 50% এর বেশি হওয়া উচিত। পরবর্তী অংশটি মজার, আমরা সবসময় সহজেই একটি পদ্ধতি ডিজাইন করতে পারি, যথাক্রমে কঙ্গনা ভক্ত এবং কঙ্গনা ভক্তদের সাথে বাজি ধরতে পারি, তবে ফলাফল যাই হোক না কেন, আমরা বাজি ধরতে পারি না!

এই পদ্ধতিটি হলঃ আমরা যথাক্রমে ফায়ারম্যান এবং ফায়ারবক্সের মতো একই কয়েন খেলি, যদি আমরা জিতি তবে আমরা y ডলার পাই, এবং যদি আমরা হেরে যাই তবে আমরা x ডলার হারাই, যতক্ষণ না y> x আমরা জিতব। এবং x এবং y কেবলমাত্র নিম্নলিখিত দুটি সহজ অসমতা পূরণ করতে হবে, ফায়ারম্যান এবং ফায়ারবক্সের প্রত্যাশিত লাভের জন্য ইতিবাচক, আমাদের সাথে বাজি ধরবেঃ

```
p * x - ( 1-p ) * y > 0
q * x - ( 1-q ) * y > 0
```

y>x এর সীমাবদ্ধতার সাথে, চিত্রটি তিনটি সরল রেখার দ্বারা বেষ্টিত একটি এলাকা, যার মধ্যে যে কোনও পয়েন্টের সমন্বয় মান ((x, y) একটি বিজয়ী সমাধান। p>q হলে, সমাধানটি নীচের চিত্রের নীল অংশঃ

এই প্রশ্নের উত্তর অনেকটা নিখুঁত মনে হলেও, আরেকটা প্রশ্ন আছে, যেটা পাঠক শীঘ্রই বুঝতে পারবেন যে এটা কতটুকু হাস্যকরঃ যেই বাঙালি বা বাঙালি বাঙালি, তাদের প্রত্যাশিত আয় ইতিবাচক, অর্থাৎ, তারা দীর্ঘমেয়াদে অর্থ উপার্জন করে, আর আমরা ধারাবাহিকভাবে লাভবান হই, তাহলে এত টাকা কোথা থেকে আসে, এবং সবাই কিভাবে তা পায়?

• ### ২-৩ কার্ডের জালিয়াতি

এটি আরেকটি চতুর জোকস, আমরা প্রথমে তিনটি কার্ড প্রস্তুত করি, ১ নম্বর কার্ডের বিপরীত দিকটি কালো, ২ নম্বর কার্ডের বিপরীত দিকটি লাল, ৩ নম্বর কার্ডটি একপাশে কালো, একপাশে লাল। তারপর কার্ডগুলিকে একটি বাক্সে রেখে ঝাঁকুনি দিয়ে প্রতিপক্ষকে টেবিলের উপর একটি সমতল কার্ড তুলতে দিন। তারপরে তিনি তার মুখের বিপরীত দিকের রঙ এবং মুখের সাথে একই রকম। এই জোকসটি ন্যায্য বলে মনে হচ্ছে, যেমন একটি পৃষ্ঠের উপরে কালো কার্ডটি টানুন, তাহলে কার্ডটি ১ নম্বর নয়, এটি ৩ নম্বর, বিপরীত দিকের রঙটি কালো নয়, এটি লাল, এবং স্বজ্ঞাতভাবে প্রতিটি সম্ভাব্যতা 1/2।

আসলে আমাদের জয়ের সম্ভাবনা ১/২ না, বরং ২/৩। এই খেলার সবচেয়ে বিভ্রান্তিকর অংশ হল কার্ডের দুই-মুখী রিং। খেলোয়াড়রা তিন-মুখী কার্ড না, বরং ছয়-মুখী কার্ড আঁকেনঃ তিনটি কালো এবং তিনটি লাল। আমরা এই ছয়টি দিককে A, B, C, D, E, F নাম্বার করিঃ

যখন খেলোয়াড় কালো দিকে টানেন, তখন A, C, D এর মত তিনটি সম্ভাব্য ঘটনা ঘটে, যার পিছনে D, F এবং A, কালো ঘটনাটি ²⁄₃ ভাগে ভাগ করে নেয়।

এই সমস্যাটি প্রথম ১৮৮৯ সালে ফরাসি গণিতবিদ জোসেফ লুই ফ্রান্সিওস বারট্রান্ডের দ্বারা উত্থাপিত হয়েছিল, এবং এই সমস্যার ফলাফলের কারণে এটি অপ্রত্যাশিত ছিল, এটিকে বারট্রান্ডের বাক্সের প্যারাডক্সও বলা হয়। ১৯৫০ সালে আমেরিকান গণিতবিদ ওয়ারেন ওয়েভার উপরের কার্ড খেলার পদ্ধতিটি উপস্থাপন করেছিলেন, যা মার্টিন গার্ডনার তিন-কার্ডের জালিয়াতি বলে অভিহিত করেছিলেন।

• ### ৩, অদ্ভুত আনারস A

কখনও কখনও আমরা জুয়া খেলার শুরুতে জল ছেড়ে দেব, প্রথমে অন্যকে কিছু টাকা জিততে দেব, লম্বা লাইন ধরে বড় মাছ ধরব, অবশেষে একটি নেট শেষ হয়ে যাবে। নীচে একটি দুর্দান্ত উদাহরণ রয়েছে। চারজন ব্রিজ খেলছে, আমি প্রথমে বলেছিঃ আসুন একটি রক খেলুন, আমার এখন একটি এ আছে, আপনি কি অনুমান করেছেন যে আমার আরও এ আছে? এই ক্ষেত্রে আপনি সম্ভবত হারাবেন, যখন আপনি মনের মধ্যে একটি রঙিন এ নির্ধারণ করবেন, উদাহরণস্বরূপ, বেগুনি এ, যখন কোনও রাউন্ডের পরে একটি বেগুনি এ ধরা পড়ে, তখন সুযোগ আসেঃ আসুন আরও একটি রক খেলুন, আমার এখন একটি বেগুনি এ আছে, আপনি কি অনুমান করেন যে আমার আর কোনও এ নেই?

অনেকের মনে হতে পারে যে, দুইটি টমেটোর মধ্যে কোন পার্থক্য নেই, আর একটি মাদুরের সাথেও কিছু যায় আসে না। কিন্তু তাদের মধ্যে যে পার্থক্য আছে তা অবিশ্বাস্য। আসুন আমরা প্রথম টমেটোর সম্ভাব্যতা গণনা করিঃ

  没有A的情形：C（48，13）
  至少有1张A的情形：C（52，13）－C（48，13）
  恰好有1张A的情形：4＊C（48，12）
  至少有2张A的情形：C（52，13）－C（48，13）－4＊C（48，12）
  事件X为至少有两张A，事件Y为至少有一张A，那么条件概率为：

  P（X｜Y）＝P（XY）／P（Y）=(C（52，13）－C（48，13）－4＊C（48，12）)/(C（52，13）－C（48，13）)≈37%

এই সময় আমি নিজেকে এবং A, হারানোর জন্য আরো সহজ হবে. কিন্তু প্রথম রিং এর সেলাই পরে, সবাই বাজি ইচ্ছার সক্রিয় করা হয়েছে, দ্বিতীয় রিং না শুধুমাত্র পোশাক পরিবর্তন করা হয়, বড় বাজি, তারপর আমি আরো A নেই, ঠিক আমাদের নিচে রিং. নীচে আমরা দ্বিতীয় রিং এর সম্ভাব্যতা অনেক ভিন্ন দেখতে পাবেনঃ

  有黑桃A的情形：C（51，12）
  没有其它A的情形：C（48，12）
  还有其它A的情形：C（51，12）－C（48，12）
  事件X为还有其它A，事件Y为有黑桃A，条件概率为：

  P（X｜Y）＝P（XY）／P（Y）＝（C（51，12）－C（48，12））／C（51，12）≈56%。

ডব্লিউএইচইউ পরিসংখ্যান থেকে পুনর্নির্দেশিত